离散数学作业题

第2章集合、关系与映射

P133 习题三：7、9、11、17

1.AB，A∈B能否同时成立，说明原因 

求集合A＝{a，{a}}的幂集  

2.证明：若BC，则P(B) P(C)

3.如果A∪B=A∪C，是否有B=C？ 

  如果A⊕B=A⊕C，是否有B=C？

4.试求1到10000之间不能被4，5或6整除的整数个数.

5.列出所有从A={a,b,c}到B={s}的关系，并指出集合A上的恒等关系和从A到B的全域关系.

6.给出A上的关系及其关系图和矩阵表示.{|0≤x-y＜3}  A={0，1，2，3，4}

7.已知S={a,b}. R ={〈x,y〉|x,y∈A∧xy∧A为集合族ρ(S)}.试写出关系R.

8.已知： A={a,b,c}, R={〈a,b〉,〈a,c〉,〈b,c〉}该关系具有什么性质？

       (自反，反自反，对称，反对称，传递性)

9. 设A={a,b,c},R={〈a,b〉,〈a,c〉} 计算：r(R)，sr(R)，tr(R)，str(R).

10.设A是含有4个元素的集合，试求：

      (1)在A上可以定义多少种对称关系？

      (2)在A上可以定义多少种既是自反的，又是对称的关系？

(3)在A上可以定义多少种既不是自反的，也不是反自反的二元关系？

11.设集合A={0，1，2，3，4}. R={|x+y=4,x,y∈A} ，S={|y-x=1,x,y∈A}.

      试求：R◦S，R◦R，(R◦S)◦R，R◦(S◦R).

12.证明：R是A上的传递关系R◦RR.

13.A={1,2,3,4,5},R={|x,y∈A∧x-y可被2整除}，试问R是否是A上的等价关系？如果是，求出R的各等价类.

14.A={1,2,3,4,5},A上的划分∏={{1,2},{3,4},{5}}，给出由∏所诱导出的A上的等价关系R的集合表达式.

15.试给出一个单射但非满射的函数.(对某一集合而言)

16.设f：N→N×N，f(n)=,则：

       (1)说明f是否为单射和满射，并说明理由.  

       (2) f的反函数是否存在？并说明理由.  

       (3)求ranf.  

17.已知如果从无限集合A到集合B存在单射f，则B也是无限集合。

设X是无限集合，集合Y≠φ，证明：X与Y的笛卡儿积X×Y是无限集合。

第六章 代数结构

P247  习题六：4（1）（3）、6、16、21

1.以下集合和运算是否构成代数系统？如果构成，说明该系统是否满足结合律、交换律？求出该运算的幺元、零元和所有可逆元素的逆元.

1)P(B)关于对称差运算⊕，其中P(B)为幂集.  

2)A={a,b,c}，*运算如下表所示：

2.设集合A={a,b}，那么（1）在A上可以定义多少不同的二元运算？（2）在A上可以定义多少不同的具有交换律的二元运算？

3.设A={1,2},B是A上的等价关系的集合.

1)列出B的元素. 

2)给出代数系统V=的运算表.

3)求出V的幺元、零元和所有可逆元素的逆元. 

4)说明V是否为半群、独异点和群？  

4.设A={a,b,c}，构造A上的二元运算*，使得a*b=c,c*b=b，且*运算满足幂等律、交换律.

1)给出关于*运算的一个运算表.

2)*运算是否满足结合律，为什么？

5.设是一个代数系统。

*是R上的一个二元运算，使得对于R(实数集合)中的任意元素a,b都有a*b=a+b+a·b

(·和+为数集上的乘法和加法).

      证明：: 是独异点.

6.如果是半群，且*是可交换的.

       证明：如果S中有元素a,b,使得a*a=a和b*b=b，则(a*b)*(a*b)=a*b.

7.设是一个群,则a,b,c∈S。  试证明： 群G中具有消去律,即成立:  如果a·b=a·c ,b·a=c·a 那么b=c.

8.设是群，a∈G .

      现定义一种新的二元运算⊙：x⊙y=x*a*y，x,y∈G .

   证明：也是群 .   

9.试写出模6加法群的每个子群及其相应的左陪集. 

10.设A={1,2,5,10,11,22,55,110}.

1)A关于整除关系是否构成偏序集？

2)如果构成偏序集合，画出其对应的哈斯图.

3)如果构成偏序集，该偏序集合构成哪种格？ (分配格、有界格、有补格、布尔格).

第七题  图论

1.是否存在7阶无向简单图G，其度序列为1、3、3、4、6、6、7.给出相应证明.

2.求下图的补图.(无答案)

3. 1）试画一个具有5个顶点的自补图

2）是否存在具有6个顶点的自补图，试说明理由。

4. 设图G为n(n>2且为奇数)阶无向简单图，证明：G与G的补图中奇度顶点个数相等.

5. 无向图G中只有2个奇度顶点u和v，u与v是否一定连通.给出说明或证明。

6.图G如下图所示：

1)写出上图的一个生成子图.（不唯一）

2)δ(G)，κ(G)，λ(G).  

7. 在什么条件下无向完全图Kn为欧拉图？   

8. 证明：有割边的图不是欧拉图.

9.证明：有割边的图不是哈密尔顿图.

10.树T有2个4度顶点，3个3度顶点，其余顶点全为树叶，问T有几片树叶？

11.给出全部互不同构的4阶简单无向图的平面图形。  

12.如果G是平面图, 有n个顶点、m条边、f个面，G有k个连通分支。试利用欧拉公式证明:：n-m+f=k+1.