折叠作为研究几何图形性质的一种方法

——几何图形的折叠问题浅析

         来紫堡     陆娟娟

几何图形的折叠作为研究几何图形性质的一种方法，被广泛使用，尤其在研习性学习过程中占重要的地位，这些都是由它的直观性，可操作性决定的。在教学过程中使用折叠的方法，不仅能培养学生动手和抽象思维能力，而且激发了学生探究问题的学习兴趣，极大的调动了学生学习的主动性。

几何图形的折叠问题在中考时经常被涉及到，学生对自认为简单易学的这一个考点往往得分不高，易出现偏差。究其原因学生一般都认为折叠再简单不过，一方面思想上重视不够，另一方面学习时没有深入对照图形，对于折叠前后的图形关联没有弄清楚，以致无从下手。    

针对这些问题我认为首先要学生弄清几何图形折叠的依据及性质；其次要学生在初步学习几何图形折叠时加强他们的抽象思维能力的培养，以便接受由易到难的的几何图形折叠，从中寻找到图形折叠前后关于折痕对称的关联，尽量避免错误的出现。现就这两点做一简单的叙述。

一 几何图形折叠的依据及性质.折叠使图形（或图形的部分）重合，即使图形的全等，但折叠中的全等又不同与一般意义上的图形全等，但依然具有着全等的特性——对应线段、对应角分别相等，这些学生在折叠的过程中已体会过，并认识得很清楚，但一经折叠必定有折痕的存在，这条折痕其实就是对称图形的对称轴上的一部分，即折叠问题同样具有对称图形的性质——对应线段、对应角分别相等，只多了一点对应点的连线被对称轴（折痕）垂直平分，这就是说折叠问题可以从全等角度解释，也可以从对称角度说明。当然在解决问题的过程中，选择适合自己或适合题目的方法即可，这是没有定法的。

二 抽象思维能力的培养.抽象思维能力的培养，要在学生初步学习折叠是多加注重。由于此阶段学生没有形成完全的抽象认知能力，对于折叠后的直观图形尚能接受，但对折叠重合的对象被展开复原的图形认识不足，无法抽象出折叠前后的整体图形，也就找不到对应线段、对应角，势必会出现偏差。

我觉得应该在学生学习过程中不仅要求动手折叠，关键要动手展开，使学生有原图形与折叠图形的对照的意识，以便复原折叠前后的整体图形，同时一定要求学生动手作原图形与折叠后的图形（即一折二展三作图）。这样让学生从思想上重视了展开，也就有了复原整体图形的意识，逐步的培养了学生的抽象思维能力，就不存在找不到折叠图形中的等量关系的问题。比如，在学习简单的轴对称图形时，利用折叠认识线段与角是轴对称图形过程中，就可以让学生依照一折二展三作图的思路学习，有折叠不忘展开，比如，将一个角∠AOB对折，使OB与OA重合，折痕为OE，再将折叠的角展开，画出下图（图1），从而有∠AOE=∠EOB’；      

   图1               

     再如，将线段AB对折，使OB与OA重合，折痕为EF, 再将折叠的线段展开，画出下图（图2），从而有AO=OB’.

图2

通过这样的训练与培养，学生在初步学习折叠时树就立起了复原图形的意识，有了对折叠的基础知识掌握与对应关系的理解，既有利于学生掌握折叠的特性，又有利于学生抽象思维的培养，对于解决折叠问题便有了充分的准备，不会再出现简单问题易失分的现象，真正做到严谨，不遗不漏，在今后的学习复杂图形的折叠过程中就游刃有余了。

现就折叠问题常见的几种题型做一简单分析，按照折叠对象的不同一般分为三类情形：

一 折叠使点重合（即对应点对称）.平行四边形ABCD中，将点B折叠与点D重合，从而有EF为折痕，复原整体图形如 (图3)所示，其中存在的等量关系有A’E=AE，AD=A’B’，B’E=ED，FB’=FD，

∠A=∠A’， ∠EDF=∠EB’F，∠B’EF=∠DEF，∠B’ FE=∠DFE.一般情形都要求证明四边形DEB’F是菱形.一种方法是利用三角形全等，即△A’B’E≌△ADE，△ADE≌△CDF，得到对应边相等，从而得证；另一种方法是利用轴对称的特性，即点B’与点D关于EF对称，线段B’D被折痕EF垂直平分(B’D⊥EF)，从而连接B’D与EF相交于点O，即OB’=OD, ∠B’OF=∠EOB,又由A’B∥B’C得∠BEF=∠B’FE，可证△B’OF≌△EO B’，从而得OF=OE.从而结论得证.

                                                图  3

二 沿线（折痕）折叠，使图形成轴对称. 矩形ABCD中，将△ABC沿对角线AC折叠，AC即为折痕，复原整体图形如(图4)所示，其中的等量关系有BC=CB’,AB=AB’ ,∠ B=∠B’ ∠ACB=∠ACB’ ，∠ BAC=∠CAB’，一般情况下利用勾股定理与一元二次方程相结合在△BCF或△ADF中解题；

                           图  4

三 将平角折叠后折痕夹角为90。 .在平角AOB上，任取一点M，将MA、MB折叠，使其共线，复原的整体图形如(图5)所示，其中的等量关系有∠AME=∠A’ME, ∠BMF=∠B’MF，即隐含∠EMF=90。.可根据这些等量与信息解决问题.

                                     图  5

     2010年中考题就涉及到了几何图形的折叠问题，题目设计的图形如第三类情形，然而解题时仅仅简单的应用了折叠图形对应边、对应角相等的特性，然后与函数、圆综合应用，在这里做一个简单的分析：

题目：   如图所示， 矩形OABC在平面直角坐标系内，点D在OC边上，折叠线段ODDC，使点C落在AB边上的点C1处，点B的坐标为（-3，3），∠OAD=30。.

(1)求C1的坐标；

(2)求过点O、C、C1的二次函数解析式，并求出其顶点坐标；

(3)若有一个的圆心在此抛物线上，且与X、Y轴都相切，求此圆的半径.                            

分析：（1）此题恰好将平角OCD沿着ED、DA折叠，使线段DC1、DF共线，则∠EDA=90。，OA=OF，∠ AOD=∠AFD=∠AF C1= 90。, 

∠OAD=∠DAF，因为∠BAO=90。，∠DAO=30。 ，所以∠FAC1=30。，就有△DAO≌ △AFD≌△AFC1 ，即OD=OC1，只在△AOD 中求得线段OD的长度即可.又有B点坐标可知道，OA=3，所以AD=2，  ,即OC1=2，点C1坐标即为（-2， 3）；

（2）有二次函数过O（0，0）、C（-3，0）、C1（-2， 3）三点，可设二次函数的解析式为y= a x (x+3)=ax2 +3ax，从而可得所求的解析式，并可得其顶点坐标;

(3)有圆的圆心在抛物线上，且与X、Y轴都相切，可得当抛物线上的点满足纵、横坐标的距离相等时符合题意，即要求y=x或y=-x时成立，此时联立（2）、（3）中的解析式即可.

解：（略）.                         

 通过简单的叙述，就几何图形的折叠问题中常出现的类型做了一个归纳，并简单分析了折叠问题对于学生培养抽象思维的一点拙见，有不恰当之处请多多指正.