直线的点斜式方程教案

一、教学目标

   1、知识与技能

     （1）理解直线方程的点斜式、斜截式的形式特点和适用范围；

     （2）能正确利用直线的点斜式、斜截式公式求直线方程；

     （3）体会直线的斜截式方程与一次函数的关系。

   2、过程与方法

      在已知直角坐标系内确定一条直线的几何要素——直线上的一点和直线的倾斜角的基础上，通过师生探讨，得出直线的点斜式方程；学生通过对比理解“截距”与“距离”的区别。

   3、情态与价值观

      通过让学生体会直线的斜截式方程与一次函数的关系，进一步培养学生数形结合的思想，渗透数学中普遍存在相互联系、相互转化等观点，使学生能用联系的观点看问题。

二、教学重点、难点

       （1）重点：直线的点斜式方程和斜截式方程的概念；

       （2）难点：直线的点斜式方程和斜截式方程的应用。

三、教学设想

（一）回顾直线的倾斜角与斜率的定义

    1、倾斜角：直线与 x轴相交时，以x轴作为基准，x轴正向与直线L向上方向之间所成的角α叫做直线L的倾斜角。

      当直线L与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°。

      所以α的取值范围为0°≤α＜180°。

    2、斜率：一条直线的倾斜角α≠90°时，把它的正切值叫做这条直线的斜率，用K表示，K=tanα。

 （二）直线的方程

     1、直线的方程与方程的直线：①如果以一个方程的解为坐标的点都在某条直线上。②这条直线上的点的坐标都是这个方程的解。同时满足①②，把这个方程叫做直线的方程，把这条直线叫做方程的直线。

     2、点斜式：

直线L经过点P。(x。, y。),且斜率为K，设点P(x,y)是直线L上不同于点P。的任意一点，因为直线的斜率为K，由斜率公式得K=y－y。／x－x。,即y－y。＝K﹙x－x。﹚⑴.

由上述推导过程我们可知：

 ①过点P。(x。, y。),斜率为K的直线L上的每一点的坐标都满足方程⑴；

 反过来我们还可以验证

 ②坐标满足方程⑴的每一点都在过点P。,斜率为K的直线L上，

 事实上，若点P·﹙x·, y·﹚的坐标x· ，y·满足方程⑴，即y·－y。＝K﹙x·－x。﹚，若x·＝x。 ，则y·＝y。 ，说明点P·与P。重合，于是可得点P·在直线L上；若x·≠x。 ，则K＝y·－y。／x·－x。 ，这说明过点P·和P。的直线的斜率为K，于是可得点P·在过点P。(x。， y。)，斜率为K的直线L上。

 上述  ①②成立，说明方程⑴恰为过点P。，斜率为K的直线L上的任意一点的坐标所满足的关系式，我们称方程⑴为过点P。，斜率为K的直线L的方程。

 方程⑴由直线上一定点及斜率确定，把它叫做直线的点斜式方程，简称点斜式。

    3、特殊情况

思考：是否所有的直线方程都可以用点斜式方程来表示？

    当直线L的α＝0°时，tan0°＝0，即K＝0，这时直线L与x轴平行或重合，L的方程就是y＝y。 ；

    当α＝90°时，直线斜率不存在，直线与y轴平行或重合，L的方程就是x＝x。 .

    4、斜截式

      如果直线L的斜率为K，且与y轴的交点为(0，b)，代入直线的点斜式方程，得y－b＝K﹙x－0﹚，即y＝Kx＋b ⑵ ,

      我们把直线L与y轴交点﹙0，b﹚的纵坐标b叫做直线L在y轴上的截距，方程⑵由直线的斜率K与它在y轴上的截距b确定，所以方程⑵叫做直线的斜截式方程，简称斜截式。

  （三）讲解例题

       例1、直线L经过点P。(-2，3),且倾斜角α＝45°，求直线L的点斜式方程，并画出直线L.

       例2、已知直线L1:y＝k1x＋b1 ，L2：y＝k2x＋b2 ，试讨论：⑴L1∥L2的条件是什么？ ⑵L1⊥L2的条件是什么？

   （四）归纳小结

1、点斜式、斜截式的概念；

2、点斜式与斜截式的运用。

       （五）作业布置

P95页：练习1、3题