微分几何(专升本)A

一、判断题（每小题3分，共15分）。

1.等距变换一定是保角变换.  (  ×  )

2.空间曲线的形状由曲率与挠率唯一确定. (   √  )

3.极小曲面的高斯曲率K小于等于0.  (   √   )

4.连接曲面上两点的所有曲线段中，测地线一定是最短的.  (  ×   )

5.坐标曲线网是正交网的充要条件F=0，这里是第一基本量.  (  √   )

二、填空题(每小题4分，共40分)

1. 曲线在处的切向量为（ ｛1，1，0｝ ）.

2. 使法曲率达到最大值和最小值的方向是（  主方向  ）.

3.切线和固定方向成固定角的曲线称为（  一般螺线  ）.

4. 已知向量场，若其（   绝对微分  ）为零，则称其为平行向量场.

5. 设曲面的第一基本形式为Ⅰ, 第二基本形式为Ⅱ,则曲面在一点处沿切方向上的的法曲率为（   1   ）.

6.圆柱螺线在的切线（   ）.

7.三次曲线在点的法平面（  ）.

8.曲面为可展曲面的一个充要条件是它是单参数平面族的（    包络    ）.

9.曲面上坐标网为渐进网的充要条件为（    L=N=0     ）.

10.曲纹坐标网中曲线的微分方程为（    du=0     ）.

三、综合题（第1、2、3小题各10分，第4小题15分，共45分）

1.求圆柱螺线的曲率和挠率.

解:有圆柱螺线方程 

   ，

  ..................................3分

于是有

          ................... 7分

由曲率和挠率公式得

               ................... 10分

2. 求螺旋线在点处的切线、法平面、密切面、主法线及从切平面方程.

解：

，

把t=0代入得     ，   ............. 3分

则切线方程为

    ................................. 5分

法平面方程为：    Y+Z=0  

密切面方程为：   -Y+Z=0  .......................... 7分

从切平面方程为：  X-1=0  

主法线方程为：    Y=Z=0   .......................... 10分

3.求球面的第一基本形式和第二基本形式.

解： 

故   E=   F=0   G=    ..........................  3分

n=    .......................... 5分 

  ..................8分

故  L=   M=0    N=-R

第一基本形式 ： 

第二基本形式 ：    ................. 10分

4.求证：如果方向是主方向，则，其中，是曲面沿方向的法曲率.

解：略