2021-2022学年湖南省永州市高二(上)期末数学试卷+答案解析(附后)

一、单选题（本大题共8小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.直线的斜率是( )

A. B. C. D.

2.已知向量，若，则( )

A. 1

B.

C.

D. 2

3.在数列中，，则( )

A. 2

B.

C.

D. 1

4.已知双曲线，其中一条渐近线与x轴的夹角为，则双曲线的渐近线方程是( )

A. B. C. D.

5.若为等差数列，其前n项和为，，则( )

A. 10

B. 12

C. 14

D. 16

6.已知椭圆方程为，点在椭圆上，右焦点为F，过原点的直线与椭圆交于A，B 两点，若，则椭圆的方程为( )

A. B. C. D.

7.2021年是中国党百年华诞，3月24日，中宣部发布中国党成立100周年庆祝活动标识如图

其中“100”的两个“0”设计为两个半径为R的相交大圆，分别内含一个半径为r的同心小圆，且同

心小圆均与另一个大圆外切如图已知，则由其中一个圆心向另一个小圆引的切线长与两大圆的公共弦长之比为( )

A. B. 3 C. D.

8

.长方体中，，

M 为侧面内含边界的动点，

且满足，则四棱锥

体积的最小值为( )

A.

B.

C.

D.

二、多选题（本大题共4小题，共20分。在每小题有多项符合题目要求）9.已知数列，下列说法正确的是( )

A. 若，

，则

为递减数列 B. 若

，

，则为等比数列 C. 若等比数列的公比

，

，则

为递减数列

D. 若

的前 n 项和为

，

，则

为等差数列

10.已知抛物线的焦点为F ，点P 为C 上任意一点，若点

，下列结论正确的是( )

A.

的最小值为2

B. 抛物线C 关于x 轴对称

C. 过点M 与抛物线C 有一个公共点的直线有且只有一条

D. 点P 到点M 的距离与到焦点F 距离之和的最小值为411.在棱长为2的正方体中，点M ，N 分别是棱BC 和

中点，下列结论正确的是

( )

A.

B.

直线MN 与平面平行

C. 点N 到面的距离为

D. 平面AMN 截正方体所得截面的面积为

12.已知双曲线

的左、右焦点分别为，

，P 为双曲线C 右支上的动点，过P 作

两渐近线的垂线，垂足分别为A ，若圆

与双曲线C 的渐近线相切，则( )

A. 的最小值为

B.

为定值

C. 双曲线C的离心率

D. 当点P异于顶点时，的内切圆的圆心总在直线上

三、填空题（本大题共4小题，共20分）

13.抛物线的焦点坐标为__________.

14

.直线：与直线：间的距离为__________.

15

.设椭圆的焦点为和，P是椭圆上任一点，若的最大值为，则此椭圆的离心率为__________.

16.已知集合，将中的所有元素

按从大到小的顺序排列构成一个数列，则数列的前n项和的最大值为__________.

四、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.本小题10分

在空间直角坐标系中，O为原点，已知点，，设向量，

求与夹角的余弦值；

若与互相垂直，求实数k的值．

18.本小题12分

已知等比数列的公比，

求数列的通项公式；

令，若，求满足条件的最大整数

19.本小题12分

如图所示在多面体中，平面ABC，四边形ACFD是正方形，

，

求证：直线平面BDE；

求平面BDE与平面CDE夹角的余弦值.

20.本小题12分

已知数列的前n项和，满足，

求证：数列是等差数列；

令，求数列的前n项和

21.本小题12分

如图所示，第九届亚洲机器人锦标赛VEX中国选拔赛永州赛区中，主办方设计了一个矩形坐标场地

包含边界和内部，A为坐标原点，AD长为10米，在AB边上距离A点4米的F处放置一只电子狗，在距离A点2米的E处放置一个机器人，机器人行走速度为v，电子狗行走速度为2v，若电子狗和机器人在场地内沿直线方向同时到达场地内某点M，那么电子狗将被机器人捕获，点M叫成功点．求在这个矩形场地内为成功点M的轨迹方程；

为矩形场地AD边上的一动点，若存在两个成功点到直线FP的距离为，且直线FP与点M的轨迹没有公共点，求P点横坐标的取值范围．

22.本小题12分

已知椭圆的上顶点在直线上，点在椭圆上.

求椭圆C的方程；

点P，Q在椭圆C上，且，点G为垂足，是否存在定圆恒经过A，G两点，若存

在，求出圆的方程；若不存在，请说明理由.答案和解析

1.【答案】D

【解析】【分析】

本题考查的知识要点：直线的斜率的求法，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．将直线方程化为斜截式可求出直线的斜率．

【解答】

解：直线化为，其斜率为

故选

2.【答案】B

【解析】【分析】

本题考查空间向量共线的充要条件及向量模长的计算，以及空间向量的坐标运算，属于基础题.

根据空间向量共线的充要条件求出m，然后利用向量的模的计算公式求解即可.

【解答】

解：由题意，向量，

因为，

所以，即，

所以，

故选

3.【答案】A

【解析】【分析】

由题意，利用递推公式直接求解即可．

本题考查数列的递推公式，考查学生的运算能力，属于基础题．

【解答】

解：由，

可得，

所以，

故选：

4.【答案】C

【解析】【分析】

本题考查了双曲线的性质，属于基础题．

根据条件可知一条渐近线的倾斜角为，从而得，即得渐近线方程．

【解答】

解：因为双曲线的渐近线方程为：，

又一条渐近线与x轴的夹角为，

所以，

所以渐近线方程为，

故选：

5.【答案】B

【解析】【分析】

本题主要考查等差数列的通项公式及求和公式，考查学生的逻辑推理和运算求解的能力，属于基础题．根据题意结合等差数列的通项公式及求和公式，即可求出的值．

【解答】

解：是等差数列，其前n项和为，

，

，

解得，

故选：

6.【答案】A

【解析】【分析】本题考查椭圆的对称性及定义的应用，属于基础题．

取椭圆的左焦点，由椭圆的对称性及A，B的对称性，可得，由题意可得2a的值，即求出a的值，再由椭圆过的点的坐标，可得b的值，进而求出椭圆的方程．

【解答】

解：取左焦点，连接，

由椭圆的对称性及A，B的对称性可得，

所以，可得，

由点在椭圆上，可得，

所以椭圆的方程为：，

故选

7.【答案】C

【解析】【分析】

本题主要考查直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系等知识，属于基础题．

作出图形，进而根据勾股定理并结合圆与圆的位置关系即可求得答案．

【解答】

解：如示意图，

由题意，则，

又，

所以，

所以

故选：8.【答案】D

【解析】【分析】

取CD的中点O，以点O为坐标原点，、、的方向分别为x、y、z轴的正方向建立空间直角坐标系，分析可知点M的轨迹是以点C、D为焦点的椭圆，求出椭圆的方程，可知当点M为椭圆与棱

或的交点时，点M到平面ABCD的距离取最小值，由此可求得四棱锥体积的最小值．本题主要考查锥体体积的计算，立体几何中的最值与范围问题等知识，属于中等题．

【解答】

解：取CD的中点O，以点O为坐标原点，

、、的方向分别为x、y、z轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系，

设点，其中，则、，

因为平面，平面，则，

所以，同理可得，

所以，

所以点M的轨迹是以点C、D为焦点，且长轴长为的椭圆的一部分，

则，，

所以点M的轨迹方程为，

点M到平面ABCD的距离为z，当点M为曲线

与棱或棱的交点时，点M到平面ABCD的距离取最小值，

将代入方程，得，

因此，四棱锥体积的最小值为

故选：

9.【答案】AB

【解析】【分析】

本题考查数列的单调性、等差数列判定，等比数列判定，等比数列通项公式，属于中档题.

利用等差数列、等比数列的定义和性质逐一判断各选项即可.

【解答】

解：若，则，所以为递减数列，故A正确；

若，，则，所以为等比数列，故B正确；

若等比数列的公比，则，所以，

所以不是递减数列，故C错误；

若的前n项和为，则，时，可得，

所以不为等差数列，故D错误；

故选

10.【答案】CD

【解析】【分析】

本题考查了抛物线的几何性质，考查了直线与抛物线的位置关系，属于中档题.

根据抛物线的相关知识逐一判断即可.

【解答】

解：抛物线的焦点，准线，

A 选项，由抛物线的定义可知，设，则，

又抛物线的焦点为，所以

当时，等号成立，所以的最小值是1，故A错误；

B选项，由抛物线C的焦点在y轴上，关于y轴对称，故B错误；

C选项，当过点M的直线斜率不存在时，直线为，此时与抛物线C有一个公共点，

当过点M的直线斜率存在时，设直线为，

与抛物线方程联立消去y得，所以，所以当过点M的直线斜率存在时，直线与抛物线有两个交点，故C正确；

D选项，过P作PN垂直抛物线的准线，垂足为N，

由抛物线的定义可知，

当且仅当M，P，N三点共线时取等号，所以的最小值为4，故D正确;

故选

11.【答案】AC

【解析】【分析】

以D为坐标原点，以DA为x轴，DC为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法进行求解判断．

本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．

【解答】

解：以D为坐标原点，以DA为x轴，DC为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，

，，，

，

对于A，，

，故A正确；

对于B，设平面的法向量，

，

则，取，得，

，直线MN与平面不平行，故B错误；

对于C，设平面的法向量，

，，

则，取，得，

点N到平面的距离为，故C正确；

对于D，平面AMN截正方体所得的截面为等腰梯形，

则，，高为，

平面AMN截正方体所得截面的面积为：

，故D错误．

故选：

12.【答案】BCD

【解析】【分析】

本题考查了双曲线的性质及几何意义和圆锥曲线中的定点与定值问题，属于较难题.根据双曲线的性质逐一判定即可.

【解答】

解：由题意双曲线的渐近线方程是，

圆的圆心是，半径是1，

则，舍去，

又，

所以，

离心率为，C正确；

设的内切圆与三边切点分别为，如图，

由圆的切线性质知，

所以，

因此内心I在直线，即直线上，D正确；

设，则，

渐近线方程是，则，

为常数，B正确；

由已知OA的方程是，倾斜角为，

所以，

，

当且仅当时等号成立，A错误．

13.【答案】

【解析】【分析】

本题考查抛物线的性质，根据抛物线的焦点坐标为，即可求解.【解答】

解：抛物线方程为，

则，

故焦点为，

故答案为

14.【答案】

【解析】【分析】

根据题意，由平行线间距离公式计算可得答案．

本题考查平行线之间的距离计算，涉及直线的一般式方程，属于基础题．

【解答】

解：根据题意，直线：与直线：间的距离，

故答案为：

15.【答案】

【解析】【分析】

由椭圆的性质可得：当点P取椭圆短轴的一个端点时，取得最大值为，可得

，化简整理即可得出．

本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直角三角形的边角关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．

【解答】

解：由椭圆的性质可得：当点P取椭圆短轴的一个端点时，取得最大值为，

，

，

，

解得，

故答案为：

16.【答案】1472【解析】【分析】

由题意可得数列，是以为首项，以为公差的等差数列，求出其前n项和为，看作二次

函数求最大值即可，需注意

本题考查了集合的表示，等差数列的定义，等差数列的前n项和，是中档题．

【解答】

解：

…，

…，

公共元素：182，170，158，146，134，……

从第2项起每一项与前一项差为，即公差为，首项为182，

所以是以为首项，以为公差的等差数列，

，

设其前n项和为，等差数列前n项和公式，

可先将前项和看作二次函数，开口向下，

对称轴为，又，离最近，

所以当时，

所以数列的前n项和的最大值为

故答案为：

17.【答案】解：已知点，，向量，

，

所以；

，

由于与互相垂直，所以，

即，

解得【解析】本题考查的知识要点：向量的坐标运算，向量的数量积，向量垂直的充要条件，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．

直接利用向量的坐标运算和向量的夹角公式的应用求出结果；

直接利用向量垂直的充要条件的应用求出k的值．

18.

【答案】解：已知等比数列的公比，

所以，解得或舍去，

故；

解得：，

所以

由得：，

所以

，

即

故n的最大值为

【解析】直接利用等比数列的定义的应用求出数列的通项公式；

利用分组法的应用求出数列的和，进一步求出n的最大值．

本题考查的知识要点：数列的递推关系式，数列的通项公式的求法，数列的求和，分组法的求和，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．

19.【答案】解：证明：平面ABC，

以点A为坐标原点，分别以AB，AC，AD为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图，

则，，，

，

，

设平面BDE的法向量为，

则，令，得，

，

平面BDE，

平面

，

设平面CDE的法向量为，

则，取，得，

，

平面BDE与平面CDE夹角的余弦值为

【解析】本题考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．

平面ABC，以点A为坐标原点，分别以AB，AC，AD为x，y，z轴，建立空间直角

坐标系，利用向量法能证明平面

求出平面CDE的法向量和平面BDE的法向量，利用向量法能求出平面BDE与平面CDE夹角的余弦值．20.【答案】证明：因为，

所以，

两边同时除以，得，

所以，而，

所以数列是首项为3，公差为3的等差数列．

解：由知，

所以，

所以…，

…，

两式相减得，…

，

所以

【解析】本题考查数列的求和，熟练掌握构造法，等差数列的概念与通项公式，以及错位相减法是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．

将代入，再两边同时除以，可得，然后根据等差数列的概念，得证；

由知，从而知，再根据错位相减法，即可得解．

21.【答案】解：设，由题意可得，且，

据此可得，

两边平方整理可得，

故点M的轨迹方程为

点M的轨迹方程即，

它表示以点为圆心，为半径的右侧半圆，

考查满足题意的临界情况：

临界情况1：圆心到直线PF的距离为，

设，则PF的方程为，即，

据此可得，解得舍去，

临界情况2：圆上的点到直线PF的距离为，

设，则PF的方程为，即，

据此可得，解得舍去，

综上，可得点P横坐标的取值范围是

【解析】本题主要考查轨迹方程问题，直线与圆的位置关系等知识．由题意得到关于x，y的等式，化简等式即可确定M的轨迹方程；

由题意分析两个临界情况，分别求出对应点P的横坐标，即可得结论．

22.【答案】解：由题设知，椭圆上顶点为，且在直线上，

，

又点在椭圆上，

，解得，

椭圆C的方程为

设，

当直线PQ斜率存在时，设直线PQ为：，

联立方程，

化简得，

，

，

又，

将，代入，

化简得，

即，

则或，

①当时，直线恒过定点与A点重合，不符题意.

②当时，直线恒过定点，记为点D，

以AD为直径，其中点为圆心的圆恒经过A、G两点，

则圆方程为：；

当直线PQ斜率不存在，设方程为，，且，

，，

，

或舍去，则，

取，以AD为直径作圆

圆方程为：恒经过A、G两点

综上所述，存在定圆恒经过A、G两点.

【解析】本题考查椭圆的概念及标准方程，直线与椭圆的位置关系，圆锥曲线中综合问题，属于较难题.

利用椭圆上顶点在直线上，点在椭圆上，可求得a，b，即可求解；

设，当直线PQ斜率存在时，设直线PQ为：，利用方程思想及

，化简可得或，①验证当时，不符题意.②当时，利用直线PQ恒过定点，结合，即可确定满足条件的圆的方程；当直线PQ斜率不存

在，设方程为，，由题意可得求得，即可确定满足条件的圆的

方程，即可求解.