最优化理论与方法综述

优化理论是以数量分析为基础，以寻找具有确定的资源、技术约束的系统最大限度地满足特定活动目标要求的方案为目的，帮助决策者或决策计算机构对其所控制的活动进行实现优化决策的应用性理论。

优化理论又称为数学规划，依据优化理论对具体活动进行数学规划的方法成为优化方法。在中国，优化理论通常被划为运筹学的范畴，所以在有些书籍中，线性规划理论被称为运筹学的一个分支。

优化理论的主要分支结构为：

优化理论

最优化理论与算法是一个重要的数学分支，它所研究的问题是讨论在众多的方案中什么样的方案最优以及怎样找出最优方案。这类问题普遍存在。例如，工程设计中怎样选择设计参数，使得设计方案满足设计要求，又能降低成本；资源分配中，怎样分配有限资源，使得分配方案既能满足各方面的基本要求，又能获得好的经济效益；生产评价安排中，选择怎样的计划方案才能提高产值和利润；原料配比问题中，怎样确定各种成分的比例，才能提高质量，降低成本；城建规划中，怎样安排工厂、机关、学校、商店、医院、住户和其他单位的合理布局，才能方便群众，有利于城市各行各业的发展；农田规划中，怎样安排各种农作物的合理布局，才能保持高产稳产，发挥地区优势；军事指挥中，怎样确定最佳作战方案，才能有效地消灭敌人，保存自己，有利于战争的全局；在人类活动的各个领域中，诸如此类，不胜枚举。最优化这一数学分支，正是为这些问题的解决，提供理论基础和求解方法，它是一门应用广泛、实用性强的学科。

最优化问题数学模型的一般形式为： 

 无约束优化问题的解法

●解析解法

●数值解法：最速下降法；Newton法；共轭梯度法；拟Newton法；信赖域法

约束优化问题的解法

●解析方法：Lagrange法

●数值解法：

●外罚函数法

●内障碍罚函数方法

●广义Lagrange乘子法

●序列二次规划方法

线性规划的解法：

●单纯形法：小型

●对偶单纯形法

●内点算法：大型

整数规划的解法：

●分支定界法

●割平面法

求解非线性规划问题

的MATLAB命令为

            1)x=constr(‘fun’,x0) 

            2)x=constr(‘fun’,x0,options) 

3)x=constr(‘fun’,x0,options,vlb,vub)

实例：

设有400万元资金, 要求4年内使用完, 若在一年内使用资金x万元, 则可得效益万元(效益不能再使用),当年不用的资金可存入银行, 年利率为10%. 试制定出资金的使用计划, 以使4年效益之和为最大.

设变量表示第i年所使用的资金数,则有

建立函数文件FUN44.M

function [f,g]=fun44(x)

f=-(sqrt(x(1))+sqrt(x(2))+sqrt(x(3))+sqrt(x(4)));

g(1)=x(1)-400;

g(2)=1.1*x(1)+x(2)-440;

g(3)=1.21*x(1)+1.1*x(2)+x(3)-484;

g(4)=1.331*x(1)+1.21*x(2)+1.1*x(3)+x(4)-532.4;

键入命令

x0=[1;1;1;1];vlb=[0;0;0;0];vub=[];options=[];

x=constr('fun44',x0,options,vlb,vub)

fun44(x)

得到