高三数学复习三角函数

●高考风向标

主要考查三角函数的定义，三角函数的符号，同角三角函数关系式及诱导公式，两角和与差的三角函数，二倍角的正弦、余弦、正切公式，三角函数的图象与性质，包括周期性、奇偶性、单调性、和最值性．

●典型题选讲

    例1 （1）已知： 

    （2）已知：的值.

点评　三角问题的解决，变形是多途径的．例如：题１也可以逆向考虑，事实上

例2  已知电流I与时间t的关系式为．

（１）右图是（ω＞0，）

在一个周期内的图象，根据图中数据求

的解析式；

（２）如果t在任意一段秒的时间内，电流都能取得最大值和最小值，那么ω的最小正整数值是多少？

 讲解　本小题主要考查三角函数的图象与性质等基础知识，考查运算能力和逻辑推理能力．

（１）由图可知 A＝300．

设t1＝－，t2＝， 则周期T＝2（t2－t1）＝2（＋）＝．

∴ ω＝＝150π．                     

又当t＝时，I＝0，即sin（150π·＋）＝0，

而， ∴＝．

故所求的解析式为．                          

（２）依题意，周期T≤，即≤，（ω>0）

∴ ω≥300π＞942，又ω∈N*，

故最小正整数ω＝943．  

点评　　本题解答的开窍点是将图形语言转化为符号语言．其中，读图、识图、用图是形数结合的有效途径．                                         

例３　已知函数.

   （１）求实数a，b的值；

   （２）求函数的最大值及取得最大值时x的值.

（１）函数

    讲解　学会翻译，逐步展开解题思维．

    时，函数f(x)的最大值为12.

点评　结论是历年高考命题的热点之一．

例4  已知tan2θ＝－2，π＜2θ＜2π，求.

讲解 解题目标中含有角，可向角转化，以便出现；而条件中的可向转化. 这样，就消除了解题目标与解题条件之间中的差异．事实上

原式＝    

    　　　　　＝

   　　　　　 ＝　，    

由　　　tan2θ＝，

解得　　　tanθ＝－或tanθ＝，

∵π＜2θ＜2π，∴＜θ＜π，

∴tanθ＝－    ，

∴原式＝＝3＋2．

    点评 差异分析，有时需要从条件和解题目标两个方向同时进行分析，这种相向而行的思维方式，可以快速联结解题的思维线路.

例５  在中，，，，求的值和的面积．

讲解　本题是２００４年北京高考试题，下面给出两种解法．

法一　先解三角方程，求出角A的值．

    又,

    .

    法二　由计算它的对偶关系式的值．

    ,

     .   

    　　+　　得　　.

    　　－　　得　　.

    从而　．以下解法略去．

点评　本小题主要考查三角恒等变形、三角形面积公式等基本知识，着重数学考查运算能力，是一道三角的基础试题．两种解法比较起来，你认为哪一种解法比较简单呢？

例６　设函数f(x)=a·b，其中向量a=(2cosx，1)，b=(cosx， sin2x)，x∈R.

（１）若f(x)=1－且x∈[－，]，求x；

（２）若函数y=2sin2x的图象按向量c=(m，n)(|m|<)平移后得到函数y=f(x)的图象，求实数m、n的值.

讲解　（１）依题设可知，函数的解析式为

f(x)=a·b＝2cos2x+sin2x=1+2sin(2x+).

由1+2sin(2x+)=1－，可得三角方程

sin(2 x +)=－．　

∵-≤x≤，

∴-≤2x+≤，

∴2x+=-，即x=-．

（２）函数y=2sin2x的图象按向量c=(m，n)平移后得到函数y=2sin2(x－m)+n的图象，即函数y=f(x)的图象.

由（１）得 f(x)=2sin2(x+)+1.

∵|m|<，∴， 

点评　本小题是2004年福建高考试题，主要考查平面向量的概念和计算，三角函数的恒等变换及其图象变换的基本技能，着重考查数算能力．平面向量与三角函数结合是高考命题的一个新的亮点之一．

例７　已知向量m=（1,1），向量n与向量m夹角为，且m·n=－1.

    （1）求向量n；

    （2）若向量n与向量q=（1，0）的夹角为，向量p=，其中A、C为△ABC的内角，且A、B、C依次成等差数列．求|n+p|的取值范围．

讲解　（1）设①

与夹角为，有·=||·||·，②

由①②解得

（2）由垂直知，

由2B=A+C  知B= ，A+C=

若

点评　本题的特色是将向量与三角综合，体现了知识的交汇性．解题后，请你反思：解题思维的入手点，解题思维的障碍点，解题思维的开窍点，只有这样的反思训练，请相信，你就会慢慢成为解题高手的．

例８　如图，某园林单位准备绿化一块直径为BC的半圆形空地，△ABC外的地方种草，△ABC的内接正方形PQRS为一水池，其余的地方种花.若BC=a，∠ABC=，设△ABC的面积为S1，正方形的面积为S2．

（１）用a，表示S1和S2；

（２）当a固定，变化时，求取最小值时的角．

讲解　（１）∵  

∴

设正方形边长为x. 

    则BQ=   

（２）当固定，变化时， 

令

     令  任取，且，

．

，

是减函数．

取最小值，此时

点评　三角函数有着广泛的应用，本题就是一个典型的范例．通过引入角度，将图形的语言转化为三角的符号语言，再通过局部的换元，又将问题转化为我们熟知的函数．这些解题思维的拐点，你能否很快的想到呢？

●针对性演练

1.函数的图象如图所示，则的解析式可能是            (     )                                          

（A）            

（B）      

（C）               

（D）

2.已知，且，则　　　　　　　　　（　　）

(A)       (B)        (C)       (D) 

3.如图，要测量河对岸A、B两点间的距离，今沿河岸选取相距40米的C、D两点，测得

    ∠ACB=60°，∠BCD=45°，∠ADB=60°，∠ADC=30°，则AB的距离是（    ）.

    （A）20    （B）20    （C）40    （D）20

4.设是某港口水的深度y（米）关于时间t（时）的函数，其中.下表是该港口某一天从0时至24时记录的时间t与水深y的关系：

    （A）    （B）

    （C）    （D）

5.已知，且其中，则关于的值，在以下四个答案中，可能正确的是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（   ）

（A）                                 （B）3 或

（C）                               （D）或

6.如图，一个半径为10米的水轮按逆时针方向每分钟转4圈．记水轮上的点P到水面的距离为d米（P在水面下则d为负数），则d（米）与时间t（秒）之间满足关系式：，且当P点从水面上浮现时开始计算时间．有以下四个结论：

①A=10；　　　②；　　　③；　　　　④k=5．

    则其中所有正确结论的序号是                ．

7.求函数的最小正周期和最小值；并写出该函数在上的单调递增区间．

8.求函数的最小正周期、最大值和最小值．

9.已知α为锐角,且求的值．

10.已知0<α<，tan+cot=，求sin()的值．

11.．

12.已知的值．

参：

１．C.   2．A.  ３．D.　４．A.  ５．C.　６．①②④．

7． 

故该函数的最小正周期是；最小值是－2；单增区间是[]，．

8．　 

所以函数f(x)的最小正周期是π，最大值是，最小值是.

9．　原式=

因为时, 

所以   原式=

因为α为锐角,由得

所以   原式=

10．由已知.

    从而  

.

11．由

于是

12．由已知得： 

                   ．

由已知条件可知

从而  有

，得