2013重庆高考数学文科卷(Word版)含解析答案

   2013年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）

     数学试题卷（文史类） 

 数学试题（文史类）共 4 页。满分 150 分。考试时间 120  分钟。

注意事项：

1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。

2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用     橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号。

3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。

4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。

1、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的．

（1）已知集合，集合，，则

（A）         （B）        （C）       （D）

（2）命题“对于任意,都有”的否定为

  （A）存在，使得    （B）对任意，都有

  （C）存在，使得   （D）不存在，使得

(3)函数的定义域是

  （A）                   （B）

  （C）            （D）

(4)设是圆上的动点是直线上的动点，则的最小值为

 （A）                         （B）

 （C）                         （D）

(5)执行题（5）图所示的程序框图，则输出的的值是

（A）          （B）        （C）      （D）

 （A）       （B）     （C）    （D）

(7)关于的不等式的解集为，且，则

（A）        （B）     （C）    （D）

(8)某几何体的三视图如题（8）图所示，则该几何体的表面积为

 （A）            （B）

 （C）           （D）

(9)已知函数,，则

 （A）          （B）       （C）         （D）

(10)设双曲线的中心为点，若有且只有一对相交于点，所成的角的直线和，使,其中和分别是这对直线与双曲线的交点，则该双曲线的离心率取值范围是

 （A）                       （B）   

 （C）                    （D）

二、 填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填写在答题卡相应位置上.

(11)设复数,则___________ .          

(12)若成等差数列，则___________ .   

(13)若甲、乙、丙三人随机地站成一排，则甲、乙两人相连而站的概率为___________ . 

(14)在为边，为对角线的矩形中，，则实数_____ .

(15)设，不等式，对恒成立，则的取值范围为___________ . 

三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

(16)（本小题满分13分，（Ⅰ)小问7分，(Ⅱ)小问6分.）

设数列满足： 

（Ⅰ）求的通项公式及前项和为；

（Ⅱ）已知是等差数列，为其前项和，且，求

(17)（本小题满分13分，（Ⅰ)小问9分，(Ⅱ)、(Ⅲ)小问各2分.）

从某居民区随机抽取10个家庭，获得第个家庭的月收入（单位：千元）与月储蓄（单位：千元）的数据资料，算得

(Ⅰ)求家庭的月储蓄对月收入的线性回归方程；

(Ⅱ)判断变量与之间是正相关还是负相关；

(Ⅲ)若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄.

附：线性回归方程中，

其中为样本平均值，线性回归方程也可写为.

(18)（本小题满分13分，（Ⅰ)小问4分，(Ⅱ)小问9分.）

在中,内角所对的边分别是，且

  (Ⅰ)求

  (Ⅱ)设为的面积，求的最大值，并指出此时的值.

(19)（本小题满分12分，（Ⅰ)小问5分，(Ⅱ)小问7分.）

    如（19）题图，四棱锥中，底面,

   (Ⅰ)求证平面；

   (Ⅱ)若侧棱上的点满足,求三棱锥的体积.

(20)（本小题满分12分，（Ⅰ)小问5分，(Ⅱ)小问7分.）

  某村庄拟修建一个屋盖的圆柱形蓄水池（不计厚度）.设该蓄水池的底面半径为米，高为米，体积为立方米.假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为元/平方米，底面的建造成本为元/平方米，该蓄水池的总建造成本为（为圆周率）.

  (Ⅰ)将表示成的函数，并求该函数的定义域；

  (Ⅱ)讨论函数的单调性，并确定和为何值时该蓄水池的体积最大.

(21)（本小题满分12分，（Ⅰ)小问4分，(Ⅱ)小问8分.）

如题（21）图，椭圆的中心为原点，长轴在轴上，离心率，过左焦点作轴的垂线交椭圆于、两点，．

（Ⅰ）求该椭圆的标准方程；

（Ⅱ）取平行于轴的直线与椭圆相较于不同的两点、，过、作圆心为的圆，使椭圆上的其余点均在圆外．求的面积的最大值，并写出对应圆的标准方程．

2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学文史类(重庆卷)

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．答案：D

解析：∵A∪B＝{1,2}∪{2,3}＝{1,2,3}，U＝{1,2,3,4}，

∴U(A∪B)＝{4}，故选D．

2．答案：A

解析：由全称命题p： x∈D，p(x)的否定为p： x0∈D， p(x0)，知选A．

3．答案：C

解析：由题知

解得即

所以该函数的定义域为(2,3)∪(3，＋∞)，故选C．

4．答案：B

解析：∵由圆(x－3)2＋(y＋1)2＝4知，圆心的坐标为(3，－1)，半径r＝2，

∴圆心到直线x＝－3的距离d＝|3－(－3)|＝6.

∴|PQ|min＝d－r＝6－2＝4，故选B．

5．答案：C

解析：∵k＝1，s＝1＋(1－1)2＝1；

k＝2，s＝1＋(2－1)2＝2；

k＝3，s＝2＋(3－1)2＝6；

k＝4，s＝6＋(4－1)2＝15；

k＝5，s＝15＋(5－1)2＝31＞15.

∴k＝5.故选C．

6．答案：B

解析：∵数据总个数n＝10，

又∵落在区间[22,30)内的数据个数为4，

∴所求的频率为.

7． 答案：A

解析：∵由x2－2ax－8a2＜0(a＞0)，得(x－4a)(x＋2a)＜0，即－2a＜x＜4a，∴x1＝－2a，x2＝4a.

∵x2－x1＝4a－(－2a)＝6a＝15，

∴.故选A．

8．答案：D解析：由三视图知该几何体是底面为等腰梯形的直棱柱，

如图所示，S上＝2×10＝20，

S下＝8×10＝80，

S前＝S后＝10×5＝50，

S左＝S右＝(2＋8)×4＝20，

所以S表＝S上＋S下＋S前＋S后＋S左＋S右＝240，

故选D．

9．答案：C

解析：∵，

∴lg(log210)＝lg(lg 2)－1＝－lg(lg 2)．

令g(x)＝ax3＋bsin x，易知g(x)为奇函数．

∵f(lg(log210))＝f(－lg(lg 2))＝g(－lg(lg 2))＋4＝5，∴g(－lg(lg 2))＝1.∴g(lg(lg 2))＝－1.

∴f(lg(lg 2))＝g(lg(lg 2))＋4＝－1＋4＝3.

故选C．

10． 答案：A

解析：不妨令双曲线的方程为(a＞0，b＞0)，由|A1B1|＝|A2B2|及双曲线的对称性知A1，A2，B1，B2关于x轴对称，如图．

又∵满足条件的直线只有一对，

∴tan 30°＜≤tan 60°，即.

∴.

∵b2＝c2－a2，∴，即＜e2≤4.

∴＜e≤2，即e∈.故选A．

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填写在答题卡相应位置上．

11．答案： 

解析：∵z＝1＋2i，∴.

12．答案： 

解析：设公差为d，则c－a＝2d＝.

13．答案： 

解析：甲、乙、丙三人随机站在一排有：

甲乙丙、甲丙乙、乙甲丙、乙丙甲、丙甲乙、丙乙甲，共6种．

若甲、乙两人相邻而站则有甲乙丙、丙甲乙、乙甲丙、丙乙甲，共4种，故所求的概率为.

14．答案：4

解析：∵＝(－3,1)，＝(－2，k)，

∴＝－＝(－2，k)－(－3,1)＝(1，k－1)．

又，为矩形相邻两边所对应的向量，

∴⊥，即·＝－3×1＋1×(k－1)＝－4＋k＝0，

即k＝4.

15．答案： 

解析：不等式8x2－(8sin α)x＋cos 2α≥0对x∈R恒成立，则有Δ＝(8sin α)2－4×8cos 2α＝sin2α－32cos 2α≤0，

即2sin2α－cos 2α＝2sin2α－(1－2sin2α)＝4sin2α－1≤0.

∴sin2α≤.

∴.

又0≤α≤π，结合下图可知，α∈.

三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

16．

解：(1)由题设知{an}是首项为1，公比为3的等比数列，

所以an＝3n－1，Sn＝＝(3n－1)．

(2)b1＝a2＝3，b3＝1＋3＋9＝13，b3－b1＝10＝2d，

所以公差d＝5，

故T20＝20×3＋×5＝1 010.

17．

解：(1)由题意知

n＝10，，，

又lxx＝＝720－10×82＝80，

lxy＝＝184－10×8×2＝24，

由此得，＝2－0.3×8＝－0.4，

故所求回归方程为y＝0.3x－0.4.

(2)由于变量y的值随x的值增加而增加(b＝0.3＞0)，故x与y之间是正相关．

(3)将x＝7代入回归方程可以预测该家庭的月储蓄为y＝0.3×7－0.4＝1.7(千元)．

18．

解：(1)由余弦定理得cos A＝.

又因0＜A＜π，所以.

(2)由(1)得sin A＝，

又由正弦定理及a＝得

S＝bcsin A＝··asin C＝3sin Bsin C，

因此，S＋3cos Bcos C＝3(sin Bsin C＋cos Bcos C)＝3cos(B－C)．

所以，当B＝C，即时，S＋3cos Bcos C取最大值3.

19．

(1)证明：因BC＝CD，即△BCD为等腰三角形，

又∠ACB＝∠ACD，故BD⊥AC．

因为PA⊥底面ABCD，所以PA⊥BD．

从而BD与平面PAC内两条相交直线PA，AC都垂直，

所以BD⊥平面PAC．

(2)解：三棱锥P－BCD的底面BCD的面积S△BCD＝BC·CD·sin∠BCD＝×2×2×＝.

由PA⊥底面ABCD，得

VP－BCD＝·S△BCD·PA＝.

由PF＝7FC，得三棱锥F－BCD的高为PA，

故VF－BCD＝·S△BCD·PA＝，

所以VP－BDF＝VP－BCD－VF－BCD＝.

20．

解：(1)因为蓄水池侧面的总成本为100·2πrh＝200πrh元，底面的总成本为160πr2元，所以蓄水池的总成本为(200πrh＋160πr2)元．

又据题意200πrh＋160πr2＝12 000π，

所以h＝(300－4r2)，

从而V(r)＝πr2h＝(300r－4r3)．

因r＞0，又由h＞0可得，

故函数V(r)的定义域为(0,)．

(2)因V(r)＝(300r－4r3)，

故V′(r)＝(300－12r2)．

令V′(r)＝0，解得r1＝5，r2＝－5(因r2＝－5不在定义域内，舍去)．

当r∈(0,5)时，V′(r)＞0，故V(r)在(0,5)上为增函数；

当r∈(5,)时，V′(r)＜0，故V(r)在(5,)上为减函数．

由此可知，V(r)在r＝5处取得最大值，此时h＝8.

即当r＝5，h＝8时，该蓄水池的体积最大．

21．

解：(1)由题意知点A(－c,2)在椭圆上，则.从而e2＋＝1.

由得，从而.

故该椭圆的标准方程为.

(2)由椭圆的对称性，可设Q(x0,0)．

又设M(x，y)是椭圆上任意一点，则

|QM|2＝(x－x0)2＋y2

＝x2－2x0x＋x02＋

＝(x－2x0)2－x02＋8(x∈[－4,4])．

设P(x1，y1)，由题意，P是椭圆上到Q的距离最小的点，因此，上式当x＝x1时取最小值，

又因x1∈(－4,4)，所以上式当x＝2x0时取最小值，从而x1＝2x0，且|QP|2＝8－x02.

由对称性知P′(x1，－y1)，故|PP′|2＝|2y1|，

所以S＝|2y1||x1－x0|

＝

＝

＝.

当时，△PP′Q的面积S取到最大值.

此时对应的圆Q的圆心坐标为Q(，0)，半径，

因此，这样的圆有两个，其标准方程分别为(x＋)2＋y2＝6，(x－)2＋y2＝6.