同济大学线性代数试卷题库 (4)

2009—2010学年第一学期

  课名：线性代数B          考试考查：考试

一、填空题（每空3分，共24分）

1、 设、、均为3维列向量，已知矩阵 ,

，且，那么       -12     .

解：由矩阵之间的关系，我们可以得到，对等式两边取行列式，有

。所以得到

2、 设分块矩阵, 均为方阵，则下列命题中正确的个数为     4         .

(A).若均可逆, 则也可逆.            (B).若均为对称阵, 则也为对称阵. 

(C).若均为正交阵, 则也为正交阵.    (D).若均可对角化, 则也可对角化. 

解：A. 若均可逆，说明的行列式都不为0，则我们可以根据拉普拉斯定理求出的行列式为，所以可知的行列式也不为0，即可逆.

B．若均为对称阵，则有，对矩阵取转置，根据对角阵性质有,所以也是对称阵。

C．若均为正交阵, 则有，固。所以也为正交阵.

D．若均可对角化,则有,则，令，则原式可看成

固以上4个全对（考试里出现全对的情况还是第一次见）

3、 设，则的第一列上所有元素的代数余子式之和为   0       .

解：直接利用代数余子式性质，求

4、 设向量组(I):可由向量组(II):线性表示，则     D       成立.(注：此题单选)

(A)．当时，向量组（II）必线性相关        (B)．当时，向量组（II）必线性相关

(C)．当时，向量组（I）必线性相关        (D)．当时，向量组（I）必线性相关

解：直接分析，举反例，A反例， ；B反例，；C反例，；D.正确，这个很显然。可以用反证法说明

5、 已知方阵满足, 则           .

解：因为，所以化简后有

6、 当矩阵满足下面条件中的    ABC        时,推理“若， 则”可成立.    （注：此题可多选）

(A).可逆                                   (B).为列满秩（即的秩等于的列数）

(C).的列向量组线性无关                       (D).  

解：把各个选项代入分析，假设，

A. 可逆，则为满秩，由，所以

，所以.

B. 为列满秩，同理，方法和A的相同

C．列向量线性无关等价于为列满秩

D．无法确定的秩，固D错

7、 设矩阵分别为3维线性空间中的线性变换在某两组基下的矩阵，已知为的特征值，的所有对角元的和为， 则矩阵的全部特征值为     1,-2,6       .

解：的所有对角元的和为，即B的迹为5. 矩阵分别为3维线性空间中的线性变换在某两组基下的矩阵，由线性空间中经两组基的变换得到的矩阵一定相似（最后一章的内容，老师上课讲过）可知，两个矩阵所对应的特征值一定相同，在根据迹的值等于特征值之和，可知，所以的全部特征值为1，-2，6.

8、 设是所有元素均为1的阶方阵()，则的互不相同的特征值的个数为    2    .

解：，所以后，把每一行第二个以后（包括第二个）的元素全部加到第一个上，然后根据行列式的性质提出第一列上的因子，最后对第二行至第n行做减去第一行的处理，得到三角行列式，对角元素相乘，即可得到特征值，我算出来是2个不同的特征值，一个是n，一个是0。

二、（10分）已知矩阵，, . 

矩阵，满足,. 求矩阵. 

解：最基本的方法，因为，所以,所以解得

三、（10分）设线性方程组 ，  问当参数取何值时，

(1). 此方程组无解?

(2). 此方程组有唯一解?

(3). 此方程组有无穷多解?

解：系数矩阵是方阵，对其行列式求值，并令其为0,得到,将其带入增广矩阵,化成行最简型可知，当，方程无解，，方程无穷解， 有唯一解。(前几套已经把这种题说的很清楚了，固在此不写过程了)

四、（10分）设 为4阶方阵，4维列向量，.若都是非齐次方程组的解向量，且满足

(1).(6分) 求齐次方程组的一个基础解系.

(2).(4分) 求的通解.

解：（1）因为，，所以的一个基础解系含有2个线性无关的向量.因为都是非齐次方程组的解向量。所以，均是的解，并且他们线性无关

所以. 的一个基础解系为

（2）根据非其次方程组的通解形式，的通解为，为非其次方程组的一个特解，根据题目给出，所以的通解为其中，k为常数。

五、（16分）将二次型 用正交变换化为标准型.

解：该对应的矩阵形式为，求出他的特征值分别是1,0,10.当特征值是1时，对应的特征向量为,当特征值为0时，对应的特征向量为,当特征值是10，对应的特征向量是,（因为原矩阵是实对称阵，所以它们必定天然正交的）。单位化，p1=，p2=，p3=,所以正交阵P=（p1，p2，p3）.所以正交变化为x=Py，标准型为

六、（14分）设为所有2阶方阵在矩阵的加法和数乘下构成的线性空间.定义上的变换如下：

对任意，，其中，表示的转置矩阵．

(1). (6分)证明是上的一个线性变换；

(2). (8分)求在的基下的矩阵.

解：（1）很明显， 非空（这时线性空间的基本条件，对于考试来说的话，一般都很明显的，要是实在无法判断，就直接说很明显（85%以上老师会认为你这样写没错））。

因为对于矩阵的加法和数乘构成的线性空间，一定满足线性空间的规律（你要是觉得不放心，可以把那证明写出来，一般对于基本的代数算法，这都成立，但是对于题目里自身定义出的新算法，则需证明这，至于是哪，自己翻书去。）

现在，对任意的，有

所以可知是上的一个线性变换；

（2）是上的一个线性变换；

则它在对应基下的矩阵为。

七、(1). (8分)已知向量组线性无关,向量组满足：，

分别讨论当和时，向量组是否线性相关？

解：因为，所以,因为，的行列式不为0，所以可知与有相同的秩，因为线性无关，所以可知，后者也线性无关。

时，行列式为0，所以可知

线性相关。

（之前那次少做了一个n=5的情况，并不是做错了- -可能大家把前者和后者当成n=4，和n=5了吧，我指的前者和后者是a和b矩阵里的列向量）

(2). (8分)设为方阵的两个不同的特征值， 为相应于的两个线性无关的特征向量，为相应于的两个线性无关的特征向量，证明向量组线性无关.

解：假设存在一组k使得,

（I）式等号两边同乘，有

(I)式两边同乘A，有

由题目已知，化简（III），得到

，用新得到的（III）去减（II）。

得到，因为，所以可知，同理可得（即对（I）两边同乘，然后用相同方法）

综上，有，所以线性无关。