复变函数与积分变换复习资料

 (一)复数的概念

1.复数的概念：，是实数,.. 

  注：一般两个复数不比较大小，但其模（为实数）有大小.

2.复数的表示    

1）模：；

2）幅角：在时，矢量与轴正向的夹角，记为（多值函数）；主值是位于中的幅角。

3）与之间的关系如下：

   当；

   当；

4）三角表示：，其中；注：中间一定是“+”号。

5）指数表示：，其中。

 (二) 复数的运算

1.加减法：若，则

2.乘除法：

1）若，则

；

   。

2）若, 则

；  

3.乘幂与方根

1）若，则。

2）若，则

（有个相异的值）

（三）复变函数

1．复变函数：，在几何上可以看作把平面上的一个点集变到平面上的一个点集的映射.

2．复初等函数

1）指数函数：，在平面处处可导，处处解析；且。

注：是以为周期的周期函数。（注意与实函数不同）

3）对数函数： （多值函数）；

主值：。（单值函数）

的每一个主值分支在除去原点及负实轴的平面内处处解析，且；

注：负复数也有对数存在。（与实函数不同）

3）乘幂与幂函数：； 

注：在除去原点及负实轴的平面内处处解析，且。

4）三角函数： 

在平面内解析，且

注：有界性不再成立；（与实函数不同）

4）双曲函数  ；

奇函数，是偶函数。在平面内解析，且。

（四）解析函数的概念

1．复变函数的导数

1）点可导： =；

2）区域可导：在区域内点点可导。

2．解析函数的概念

1）点解析：在及其的邻域内可导，称在点解析；

2）区域解析：在区域内每一点解析，称在区域内解析；

3）若在点不解析，称为的奇点；

3．解析函数的运算法则：解析函数的和、差、积、商（除分母为零的点）仍为解析函数；解析函数的复合函数仍为解析函数；

（五）函数可导与解析的充要条件

1．函数可导的充要条件：在可导

和在可微，且在处满足条件： 

 此时， 有。

2．函数解析的充要条件：在区域内解析

和在在内可微，且满足条件：；

此时。

注意： 若在区域具有一阶连续偏导数，则在区域内是可微的。因此在使用充要条件证明时，只要能说明具有一阶连续偏导且满足条件时，函数一定是可导或解析的。

3．函数可导与解析的判别方法

1）利用定义       （题目要求用定义，如第二章习题1）

2）利用充要条件   （函数以形式给出，如第二章习题2）

3）利用可导或解析函数的四则运算定理。（函数是以的形式给出，如第二章习题3）

（六）复变函数积分的概念与性质

1．复变函数积分的概念：，是光滑曲线。

注：复变函数的积分实际是复平面上的线积分。

2．复变函数积分的性质

1）    （与的方向相反）；

2）是常数；

3） 若曲线由与连接而成，则。

3．复变函数积分的一般计算法

1）化为线积分：；（常用于理论证明）

2）参数方法：设曲线：，其中对应曲线的起点，对应曲线的终点，则  。

（七）关于复变函数积分的重要定理与结论

1．柯西—古萨基本定理：设在单连域内解析，为内任一闭曲线，则 

2．复合闭路定理：  设在多连域内解析，为内任意一条简单闭曲线，是内的简单闭曲线，它们互不包含互不相交，并且以为边界的区域全含于内，则

  其中与均取正向；

，其中由及所组成的复合闭路。

3．闭路变形原理 ：  一个在区域内的解析函数沿闭曲线的积分，不因在内作连续变形而改变它的值，只要在变形过程中不经过使不解析的奇点。

4．解析函数沿非闭曲线的积分： 设在单连域内解析，为在内的一个原函数，则

   说明：解析函数沿非闭曲线的积分与积分路径无关，计算时只要求出原函数即可。

5。 柯西积分公式：设在区域内解析，为内任一正向简单闭曲线，的内部完全属于，为内任意一点，则

6．高阶导数公式：解析函数的导数仍为解析函数，它的阶导数为

其中为的解析区域内围绕的任何一条正向简单闭曲线，而且它的内部完全属于。

7．重要结论：

。 （是包含的任意正向简单闭曲线）

8．复变函数积分的计算方法

1）若在区域内处处不解析，用一般积分法

2）设在区域内解析，

●是内一条正向简单闭曲线，则由柯西—古萨定理，   

●是内的一条非闭曲线，对应曲线的起点和终点，则有

3）设在区域内不解析

●曲线内仅有一个奇点：（在内解析）

●曲线内有多于一个奇点： （内只有一个奇点）

    或：（留数基本定理）

●若被积函数不能表示成，则须改用第五章留数定理来计算。

（八）解析函数与调和函数的关系

1．调和函数的概念：若二元实函数在内有二阶连续偏导数且满足，

为内的调和函数。

2．解析函数与调和函数的关系

●解析函数的实部与虚部都是调和函数，并称虚部为实部的共轭调和函数。

●两个调和函数与构成的函数不一定是解析函数；但是若如果满足柯西—

黎曼方程，则一定是解析函数。

3．已知解析函数的实部或虚部，求解析函数的方法。

1）偏微分法：若已知实部，利用条件，得；

对两边积分，得        （*）

再对（*）式两边对求偏导，得（**）  

由条件，，得，可求出  ；

代入（*）式，可求得     虚部   。  

2）线积分法：若已知实部，利用条件可得，

故虚部为；

由于该积分与路径无关，可选取简单路径（如折线）计算它，其中与是解析区域中的两点。

3）不定积分法：若已知实部，根据解析函数的导数公式和条件得知，

将此式右端表示成的函数，由于仍为解析函数，故

                （为实常数）

注：若已知虚部也可用类似方法求出实部

（九）复数项级数

1．复数列的极限

1）复数列（）收敛于复数的充要条件为

     （同时成立）

2）复数列收敛实数列同时收敛。

2．复数项级数

1）复数项级数收敛的充要条件是级数与同时收敛；

2）级数收敛的必要条件是。

注：复数项级数的敛散性可以归纳为两个实数项级数的敛散性问题的讨论。

（十）幂级数的敛散性

1．幂级数的概念：表达式或为幂级数。

2．幂级数的敛散性

1）幂级数的收敛定理—阿贝尔定理(Abel)：如果幂级数在处收敛，那么对满足的一切，该级数绝对收敛；如果在处发散，那么对满足的一切，级数必发散。

2）幂级数的收敛域—圆域

幂级数在收敛圆域内，绝对收敛；在圆域外，发散；在收敛圆的圆周上可能收敛；也可能发散。

3）收敛半径的求法：收敛圆的半径称收敛半径。

●比值法    如果，则收敛半径；

●根值法    ，则收敛半径；

●如果，则；说明在整个复平面上处处收敛；

如果，则；说明仅在或点收敛；

注：若幂级数有缺项时，不能直接套用公式求收敛半径。（如）

3．幂级数的性质

1）代数性质：设的收敛半径分别为与，记，

则当时，有

   （线性运算）

  （乘积运算）

2）复合性质：设当时，，当时，解析且，

则当时，。

3）分析运算性质：设幂级数的收敛半径为，则

●其和函数是收敛圆内的解析函数；

●在收敛圆内可逐项求导，收敛半径不变；且            

●在收敛圆内可逐项求积，收敛半径不变；         

（十一）幂函数的泰勒展开

1. 泰勒展开：设函数在圆域内解析，则在此圆域内可以展开成幂级数；并且此展开式是唯一的。

注：若在解析，则在的泰勒展开式成立的圆域的收敛半径；

其中为从到的距最近一个奇点之间的距离。   

2．常用函数在的泰勒展开式

1）        

2）             

3）     

4）             

3．解析函数展开成泰勒级数的方法

1）直接法：直接求出，于是。

2）间接法：利用已知函数的泰勒展开式及幂级数的代数运算、复合运算和逐项求导、逐项求积等方法将函数展开。

（十二）幂函数的洛朗展开

 1. 洛朗级数的概念：，含正幂项和负幂项。

 2．洛朗展开定理：设函数在圆环域内处处解析，为圆环域内绕的任意一条正向简单闭曲线，则在此在圆环域内，有，且展开式唯一。

3．解析函数的洛朗展开法：洛朗级数一般只能用间接法展开。

*4．利用洛朗级数求围线积分：设在内解析，为内的任何一条正向简单闭曲线，则。其中为在内洛朗展开式中的系数。

说明：围线积分可转化为求被积函数的洛朗展开式中的系数。

（十三）孤立奇点的概念与分类

1。 孤立奇点的定义 ：在点不解析,但在的内解析。

2。孤立奇点的类型：

1）可去奇点：展开式中不含的负幂项； 

2）极点：展开式中含有限项的负幂项；

其中在解析，

且；

3）本性奇点：展开式中含无穷多项的负幂项；

（十四）孤立奇点的判别方法    

1．可去奇点：常数；

2．极点： 

3．本性奇点：不存在且不为。

4．零点与极点的关系

1）零点的概念：不恒为零的解析函数，如果能表示成，

其中在解析，为正整数，称为的级零点；

2）零点级数判别的充要条件

是的级零点

3）零点与极点的关系：是的级零点是的级极点；

4）重要结论

若分别是与的级与级零点，则

●是的级零点；

●当时，是的级零点；

当时，是的级极点；

当时，是的可去奇点；

●当时，是的级零点， 

当时，是的级零点，其中

（十五）留数的概念

 1．留数的定义：设为的孤立奇点，在的去心邻域内解析，为该域内包含的任一正向简单闭曲线，则称积分为在的留数（或残留），记作

2．留数的计算方法

若是的孤立奇点，则，其中为在的去心邻域内洛朗展开式中的系数。

1）可去奇点处的留数：若是的可去奇点，则

2）级极点处的留数

法则   若是的级极点，则

 特别地，若是的一级极点，则

    注：如果极点的实际级数比低，上述规则仍然有效。

法则  设，在解析， 

，则

（十六）留数基本定理

设在区域内除有限个孤立奇点外处处解析，为内包围诸奇点的一条正向简单闭曲线，则

说明：留数定理把求沿简单闭曲线积分的整体问题转化为求被积函数在内各孤立奇点处留数的局部问题。

积分变换复习提纲

一、傅里叶变换的概念

●

●

二、几个常用函数的傅里叶变换

●

●

●

●

三、傅里叶变换的性质

●位移性（时域）：

●位移性（频域）： 

●位移性推论： 

●位移性推论： 

●微分性（时域）：（），

， 

●微分性（频域）：    

●相似性：   

四、拉普拉斯变换的概念

●

五、几个常用函数的拉普拉斯变换

●；           

●是自然数；（）

●；

●

●

●

●设，则。（是以为周期的周期函数）

六、拉普拉斯变换的性质

●微分性（时域）：

●微分性（频域）：， 

●积分性（时域）： 

●积分性（频域）：（收敛）

●位移性（时域）：

●位移性（频域）：（,）

●相似性：   

七、卷积及卷积定理

●

●

●

●

八、几个积分公式

●

●

●16

●

模拟试卷一

一.填空题

1.        .

2. I=,则I=              . 

3.能否在内展成Lraurent级数？                

4．其中c为的正向： =                  

5. 已知，则=                 

二.选择题

1.在何处解析             

(A) 0           (B)1          (C)2              (D)无

2.沿正向圆周的积分. =             

 (A)2.      (B) 0.    　 (C).       (D)以上都不对.

3．的收敛域为             

(A) .. (B) (C). (D)无法确定

4. 设z=a是的m级极点,则在点z=a的留数是                  .

(A) m.       (B) -2m.        (C) -m.       (D) 以上都不对.

三.计算题

1.为解析函数，，求u

2．设函数与分别以z=a为m级与n级极点，那么函数.在z=a处极点如何？

3．求下列函数在指定点z0处的Taylor级数及其收敛半径。

4．求拉氏变换（k为实数）

5. 求方程满足条件的解.

四.证明题

1.利用ez的Taylor展式，证明不等式

2.若ℱ (a为非零常数) 证明：ℱ

模拟试卷一答案

一.填空题

1.   2.  0    3.否   4．    5.二.选择题

1. (D)  2. (A)  3．(A)   4. (C) 

三.计算题

1. 

2．函数在z=a处极点为m+n级

3． 

4．  

5..

模拟试卷二

一.填空题

1. C为正向，则=            

2.为解析函数，则l, m, n分别为              .

3.                  

4. 级数.收敛半径为                          

5. -函数的筛选性质是                             

二.选择题

1．，则ℒ                 

  (A) .     (B)   (C)2       (D) 以上都不对

2．ℱ，则ℱ                

(A) .     (B).  

(C).     (D) 以上都不对

3．C为的正向，                

(A) .1          (B)2          (C)0           (D) 以上都不对

4. 沿正向圆周的积分=                

(A).0.          (B).2        (C).2+i.         (D). 以上都不对.

三.计算题

1. 求sin(3+4i). 

2．计算其中a、b为不在简单闭曲线c上的复常数，ab.

3．求函数在指定点z0处的Taylor级数及其收敛半径。

4．求拉氏变换（k为实数）

四.证明题

1.收敛，而发散，证明收敛半径为1

2.若ℒ，(a为正常数)证明：ℒ

模拟试卷二答案

一.填空题

1.    2.  3.1   4. 1  

5. - 

二.选择题

1． (B)     2．(C)    3． (C)      4. (A)

三.计算题

1. 

2．当a、b均在简单闭曲线c之内或之外时

当a在c之内, b在c之外时

当b在c之内, a在c之外时

3．.         

4．

模拟试卷三

一.填空题

1． z=0为的               级零点,

2.            .      

3.  a,b,c均为复数，问一定相等吗？                  .

4. 每个幂级数的和函数在收敛圆内可能有奇点吗？                                 

5. =               .

二.选择题

1. 设u和v都是调和函数,如果v是u的共轭调和函数，那么v的共轭调和函数为           .

(A) u.        (B)-u.         (C)2u          (D)以上都不对。

2．级数           .

(A) . 发散.         (B)条件收敛       (C)绝对收敛      (D)无法确定

3．C为的正向, 则           .

(A) .1            (B)2           (C)         (D) 以上都不对

4．ℱ，则ℱ           .

(A)   (B)   (C)    (D) 以上都不对

三.计算题

1.计算

2．求在指定圆环域内的Laurent级数

   . 

3．利用留数计算定积分:

．             

4．求拉氏变换（k为实数）.

四.证明题

1.说明是否正确，为什么？

2.利用卷积定理证明ℒ

模拟试卷三答案

一.填空题

1． 4      2. 1     3.  不一定    4. 否    5. 0

二.选择题

1. (B)    2． (A)    3． (C)    4． (D) 

三.计算题

1. 

2．. 

3． 

4．

模拟试卷四

一.填空题

1. 复数三角表示形式                            .

2. 设为调和函数，其共轭调和函数为                

3.能否在z=-2i处收敛而z=2+3i发散.                    

4.为的              级极点

5. 卷积定理为                       

二.选择题

1．则=                

  (A) .7          (B)1           (C)2         (D) 以上都不对

2. 若，n为整数.n=                

(A) 6k            (B)3             (C)3k                (D)6

3. C是直线OA，O为原点，A为2+i, 则=                

(A).0.       (B)（1+i）/2.       (C).2+i.       (D). 以上都不对.

4．设，则ℒ                

(A) .    (B)   (C)  (D) 以上都不对

三.计算题

1．求在指定圆环域内的Laurent级数

2.设函数与分别以z=a为m级与n级极点，那么函数.在z=a极点如何？

3．求傅氏变换。

4．求拉氏变换.

四.证明题

1.若求证

2.若ℱ,证明：.

ℱ

模拟试卷四答案

一.填空题

1. 2. 

3. 否

4. 15

5. 略

二.选择题

1．(B)    2. (C)    3. (C)       4．(C) 

三.计算题

1． 

2.当m>n时， z=a为的m-n级极点

当m≤n时， z=a为的可去奇点

3．

4．.

四.证明题

1.略

2.略

模拟试卷五

一.填空题

1.根为                       , 

2.和是否相等                   

3. 叙述傅氏积分定理                                  

4. 拉氏变换的主要性质                                 

二.选择题

1．已知则的收敛圆环为                

(A)..  (B)  (C). (D)无法确定

2.将z平面上映射成w平面上的                

 (A) .直线        (B)u+v=1      (C)     (D)以上都不对

3．z=0是什么奇点                

 (A) .可去      (B)本性奇点       (C)2 级极点       (D) 以上都不对

4.的傅氏变换为                

(A) 1         (B)          (C)          (D) 以上都不对

三.计算题

1. 解方程.

2.利用留数计算定积分:  

3．利用能量积分求dx

4.求的拉氏逆变换.

四.证明题

1. 试证argz在原点与负实轴上不连续.

2. 下列推导是否正确？若不正确，把它改正：

模拟试卷五答案

一.填空题

1. 

2. 相等

3. 略

4. 略

二.选择题

1． (B)    2. (C)    3． (B)   4. (B)  

三.计算题

1..

2. 

3．

4. 

      复变函数与积分变换试题（本科）

一、填空题（每小题2分，共12分）

1、设，则其三角表示式为______________；

2、满足|z+3|-|z-1|=0的z的轨迹是__________；

3、___________________;

4、的傅氏变换为__________；

5、的拉氏逆变换为_________________.

6、在处展开成幂级数为_________________________________。

二、选择题（每小题2分，共10分）

1、设，则下列命题正确的是（  ）

A、是有界的；            B、以为周期；

C、；           D、在复平面上处处解析。

2、设，则的值等于（  ）

A、1；       B、-1；      C、；        D、。

3、设C是正向圆周则（   ）

A、；    B、；    C、；      D、。

4、z=0是的孤立奇点的类型为（ ）

A、二阶极点；                B、简单极点； 

  C、可去奇点；                D、本性奇点。

5、若幂级数在处发散，则该级数在z=2处的敛散性为（  ）

A、绝对收敛；               B、条件收敛； 

C、发散；                   D、不能确定；

三、已知调和函数，求解析函数，并求。（8分）

四、设，试确定在何处可导，何处解析,并求可导点处的导数。（6分）

五、求下列函数的积分（每小题6分，共24分）

1、沿算出积分的值； 

2、；

3、；

4、，其中

六、将下列函数展开为级数（每小题7分，共14分）

1、将函数在处展开成幂级数，并指出其收敛区间。

2、将函数以为中心的圆环域内展开为洛朗级数。

七、求微分方程的解。（6分

八、求下列函数的积分变换（每小题6分，共12分）

1、求的傅氏变换。

  2 、 求的拉氏变换

九、证明题（每小题4分，共8分）

1、设复数全部满足，且和都收敛，证明也收敛。

2、已知在0<|z|<1内解析，且，证明z=0是的一级极点，并求其留数。