2020-2021昆明市师大实验中学初二数学上期末试卷附答案

一、选择题

1．下列因式分解正确的是( )

A ．()2211x x +=+

B ．()2

2211x x x +-=- C ．()()22x 22x 1x 1=-+- D ．()2212x x x x -+=-+ 2．如图，在平面直角坐标系中，以O 为圆心，适当长为半径画弧，交x 轴于点M ，交y 轴于点N ，再分别一点M N 、为圆心，大于12MN 的长为半径画弧，两弧在第二象限交于点P . 若点P 的坐标为11,423a a ⎛⎫ ⎪-+⎝⎭

，则a 的值为( )

A ．1a =-

B ．7a =-

C ．1a =

D ．13

a = 3．如图，在直角坐标系中，点A 、B 的坐标分别为（1，4）和（3，0），点C 是y 轴上的一个动点，且A 、B 、C 三点不在同一条直线上，当△ABC 的周长最小时，点C 的坐标是

A ．（0，0）

B ．（0，1）

C ．（0，2）

D ．（0，3） 4．把多项式x 2+ax+b 分解因式，得(x+1)(x-3)，则a 、b 的值分别是（ ） A ．a=2，b=3

B ．a=-2，b=-3

C ．a=-2，b=3

D ．a=2，b=-3 5．如图，在△ABC 中，∠C=90°，AD 平分∠CAB，DE⊥AB 于

E ，DE 平分∠ADB，则∠B=

（ ）

B ．30°

C ．25°

D ．22.5〫

6．如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，分别以点A 和B 为圆心，以相同的长（大于12AB ）为半径作弧，两弧相交于点M 和N ，作直线MN 交AB 于点D ，交BC 于点E ，连接CD ，下列结论错误的是（ ）

A ．AD=BD

B ．BD=CD

C ．∠A=∠BE

D D ．∠ECD=∠EDC 7．若△ABC 三边分别是a 、b 、c ，且满足（b ﹣c ）（a 2＋b 2）＝bc 2﹣c 3 ， 则△ABC 是（ ）

A ．等边三角形

B ．等腰三角形

C ．直角三角形

D ．等腰或直角三角形

8．如图,在△ABC 中,∠C=90°

,以点B 为圆心,任意长为半径画弧,分别交AB 、BC 于点M 、N 分别以点M 、N 为圆心,以大于12

MN 的长度为半径画弧两弧相交于点P 过点P 作线段BD,交AC 于点D,过点D 作DE ⊥AB 于点E,则下列结论①CD=ED ；②∠ABD=

12∠ABC ；③BC=BE ；④AE=BE 中，一定正确的是（ ）

A ．①②③

B ．① ② ④

C ．①③④

D ．②③④ 9．如果2x +ax+1 是一个完全平方公式，那么a 的值是（）

A ．2

B ．－2

C ．±2

D ．±1 10．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，CD 是斜边AB 上的高，AD ＝3 cm ，则AB 的长度是( )

A ．3cm

B ．6cm

C ．9cm

D ．12cm 11．下列计算正确的是（ ） A ．2a a a += B ．33(2)6a a = C ．22(1)1a a -=- D ．32a a a ÷= 12．23x 可以表示为( )A．x3＋x3B．2x4－x C．x3·x3D．6

2x÷x2

二、填空题

13．如图，在锐角△ABC中，AB=4，∠BAC=45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M、N 分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是__________．

14．已知

m n t

y z x z x y x y z

==

+-+-+-

，则()()()

y z m z x n x y t

-+-+-的值为

________.

15．若实数，满足，则______.

16．如图，直线a∥b，∠l＝60°，∠2＝40°，则∠3＝______．

17．已知x m=6，x n=3，则x2m﹣n的值为_____．

18．分解因式：x3y﹣2x2y+xy=______．

19．某公司销售一种进价为21元的电子产品，按标价的九折销售，仍可获利20%，则这种电子产品的标价为_________元.

20．计算：（x-1）（x+3）=____．

三、解答题

21．我市某校为了创建书香校园，去年购进一批图书．经了解，科普书的单价比文学书的单价多4元，用12000元购进的科普书与用8000元购进的文学书本数相等．

（1）文学书和科普书的单价各多少钱？

（2）今年文学书和科普书的单价和去年相比保持不变，该校打算用10000元再购进一批文学书和科普书，问购进文学书550本后至多还能购进多少本科普书？

22．如图，ABO与CDO关于O点中心对称，点E、F在线段AC上，且AF=CE．

求证：FD=BE．23．如图，△ABC中，AB=AC，点E，F在边BC上，BE=CF，点D在AF的延长线上，AD=AC，

（1）求证：△ABE≌△ACF；

（2）若∠BAE=30°，则∠ADC=°．

24．如图，在Rt ABC中，∠C＝90º，BD是Rt ABC的一条角一平分线，点O、E、F 分别在BD、BC、AC上，且四边形OECF是正方形，

（1）求证：点O在∠BAC的平分线上；

（2）若AC＝5，BC＝12，求OE的长

25．先化简，再求值：

2

11

()

22

a

a

a a

-

+÷

++

，其中21

a=

【参】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题

1．C

解析：C

【解析】

【分析】依据因式分解的定义以及提公因式法和公式法，即可得到正确结论．

【详解】

解：D选项中，多项式x2-x+2在实数范围内不能因式分解；

选项B，A中的等式不成立；

选项C中，2x2-2=2（x2-1）=2（x+1）（x-1），正确．

故选C．

【点睛】

本题考查因式分解，解决问题的关键是掌握提公因式法和公式法的方法．

2．D

解析：D

【解析】

【分析】

根据作图过程可得P在第二象限角平分线上，有角平分线的性质：角的平分线上的点到角

的两边的距离相等可得

11

=

423

a a

-+

，再根据P点所在象限可得横纵坐标的和为0，

进而得到a的数量关系．

【详解】

根据作图方法可得点P在第二象限角平分线上，则P点横纵坐标的和为0，

故

11

+

423

a a

-+

=0，

解得：a=1 3 .

故答案选：D.

【点睛】

本题考查的知识点是作图—基本作图, 坐标与图形性质, 角平分线的性质，解题的关键是熟练的掌握作图—基本作图, 坐标与图形性质, 角平分线的性质作图—基本作图, 坐标与图形性质, 角平分线的性质.

3．D

解析：D

【解析】

【详解】

解：作B点关于y轴对称点B′点，连接AB′，交y轴于点C′，

此时△ABC的周长最小，

∵点A 、B 的坐标分别为（1，4）和（3，0），

∴B′点坐标为：（-3，0），则OB′=3

过点A 作AE 垂直x 轴，则AE=4，OE=1

则B′E=4，即B′E=AE ，∴∠EB′A=∠B′AE ，

∵C′O ∥AE ，

∴∠B′C′O=∠B′AE ，

∴∠B′C′O=∠EB′A

∴B′O=C′O=3，

∴点C′的坐标是（0，3），此时△ABC 的周长最小．

故选D ．

4．B

解析：B

【解析】

分析：根据整式的乘法，先还原多项式，然后对应求出a 、b 即可.

详解：（x+1）（x-3）

=x 2-3x+x-3

=x 2-2x-3

所以a=2，b=-3，

故选B ．

点睛：此题主要考查了整式的乘法和因式分解的关系，利用它们之间的互逆运算的关系是解题关键.

5．B

解析：B

【解析】

【分析】

利用全等直角三角形的判定定理HL 证得Rt △ACD ≌Rt △AED ，则对应角

∠ADC=∠ADE ；然后根据已知条件“DE 平分∠ADB”、平角的定义证得

∠ADC=∠ADE=∠EDB=60°；最后由直角三角形的两个锐角互余的性质求得∠B=30°．

【详解】

∵在△ABC 中，∠C=90°，AD 是角平分线，DE ⊥AB 于E ，

∴CD=ED,

在Rt △ACD 和Rt △AED 中，

{AD AD CD ED

＝ ， ∴Rt △ACD ≌Rt △AED （HL ），

∴∠ADC=∠ADE （全等三角形的对应角相等）．

∵∠ADC+∠ADE+∠EDB=180°，DE 平分∠ADB ，

∴∠ADC=∠ADE=∠EDB=60°．

∴∠B+∠EDB=90°，

∴∠B=30°．

故选：B．

【点睛】

本题考查了角平分线的性质．角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．

6．D

解析：D

【解析】

【分析】

根据题目描述的作图方法，可知MN垂直平分AB，由垂直平分线的性质可进行判断.

【详解】

∵MN为AB的垂直平分线，∴AD=BD，∠BDE=90°；∵∠ACB=90°，∴CD=BD；∵∠A+∠B=∠B+∠BED=90°，∴∠A=∠BED；∵∠A≠60°，AC≠AD，∴EC≠ED，∴∠ECD≠∠EDC．故选D．

【点睛】

本题考查垂直平分线的性质，熟悉尺规作图，根据题目描述判断MN为AB的垂直平分线是关键.

7．D

解析：D

【解析】

试题解析：∵（b﹣c）（a2+b2）=bc2﹣c3，

∴（b﹣c）（a2+b2）﹣c2（b﹣c）=0，

∴（b﹣c）（a2+b2﹣c2）=0，

∴b﹣c=0，a2+b2﹣c2=0，

∴b=c或a2+b2=c2，

∴△ABC是等腰三角形或直角三角形．

故选D．

8．A

解析：A

【解析】

【分析】

由作法可知BD是∠ABC的角平分线，故②正确，根据角平分线上的点到角两边的距离相等可得①正确，由HL可得Rt△BDC≌Rt△BDE,故BC=BE，③正确，

【详解】

解：由作法可知BD是∠ABC的角平分线，故②正确，

∵∠C=90°,

∴DC⊥BC，

又DE⊥AB，BD是∠ABC的角平分线，

∴CD=ED，故①正确，

在Rt △BCD 和 Rt △BED 中，

DE DC BD BD

=⎧⎨=⎩ , ∴△BCD≌△BED ，

∴BC=BE ，故③正确.

故选：A.

【点睛】

本题考查了角平分线的画法及角平分线的性质，熟练掌握相关知识是解题关键. 9．C

解析：C

【解析】

【分析】

【详解】

解：根据完全平方公式可得：a=±

2×1=±2． 考点：完全平方公式．

10．D

解析：D

【解析】

【分析】

先求出∠ACD=30°，然后根据30°所对的直角边等于斜边的一半解答．

【详解】

在Rt △ABC 中，∵CD 是斜边AB 上的高，∴∠ADC=90°，

∴∠ACD+∠DCB=90°，∠B+∠DCB=90°，

∴∠ACD=∠B=30°．

∵AD=3cm ．

在Rt △ACD 中，AC=2AD=6cm ，

在Rt △ABC 中，AB=2AC=12cm ，

∴AB 的长度是12cm ．

故选D ．

【点睛】

本题主要考查直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质．

11．D

解析：D

【解析】

【分析】

【详解】

解：A，a+a=2a≠a2，故该选项错误；

B，（2a）3=8a3≠6a3，故该选项错误

C，（a﹣1）2=a2﹣2a+1≠a2﹣1，故该选项错误；

D，a3÷a=a2，故该选项正确，

故选D．

点睛：本题考查了完全平方公式，合并同类项，幂的乘方与积的乘方，同底数幂的除法等运算法则，熟练掌握这些法则是解此题的关键.

12．A

解析：A

【解析】

【分析】

根据整式的运算法则即可求出答案．

【详解】

B、原式＝4

－,故B的结果不是3

2x .

2x x

C、原式＝6x,故C的结果不是3

2x.

D、原式＝4

2x,故D的结果不是3

2x.

故选A.

【点睛】

本题主要考查整式的运算法则，熟悉掌握是关键.

二、填空题

13．【解析】【分析】从已知条件结合图形认真思考通过构造全等三角形利用三角形的三边的关系确定线段和的最小值【详解】如图在AC上截取AE=AN连接B E∵∠BAC的平分线交BC于点D∴∠EAM=∠NAM∵AM

解析：

【解析】

【分析】

从已知条件结合图形认真思考，通过构造全等三角形，利用三角形的三边的关系确定线段和的最小值．

【详解】

如图，在AC上截取AE=AN，连接BE

∵∠BAC 的平分线交BC 于点D ，

∴∠EAM=∠NAM ，

∵AM=AM

∴△AME ≌△AMN （SAS ），

∴ME=MN ．

∴BM+MN=BM+ME≥BE ．

∵BM+MN 有最小值．

当BE 是点B 到直线AC 的距离时，BE ⊥AC ，

又AB=4，∠BAC=45°，此时，△ABE 为等腰直角三角形，

∴BE=2

即BE 取最小值为22

∴BM+MN 的最小值是22

【点睛】

解此题是受角平分线启发，能够通过构造全等三角形，把BM+MN 进行转化，但是转化后没有办法把两个线段的和的最小值转化为点到直线的距离而导致错误．

14．0【解析】【分析】令=k(k≠0)列出方程组分别求出xyz 的值代入求值即可

【详解】令=k(k≠0)则有解得：∴===0故答案为：0【点睛】此题主要考查了分式的运算熟练掌握运算法则是解此题的关键

解析：0

【解析】

【分析】 令m n t y z x z x y x y z

==+-+-+-=k(k≠0)，列出方程组，分别求出x ，y ，z 的值，代入()()()y z m z x n x y t -+-+-求值即可.

【详解】 令m n t y z x z x y x y z

==+-+-+-=k(k≠0)，则有 m y z x k n z x y k t x y z k

⎧+-=

⎪⎪⎪+-=

⎨⎪⎪+-=⎪⎩，

解得：222n t x k m t y k m n z k +⎧=⎪⎪+⎪=⎨⎪+⎪=⎪⎩

， ∴()()()y z m z x n x y t -+-+-

=

222t n m t n m m n t k k k

---++ =2tm nm mn tn nt mt k

-+-+- =0.

故答案为：0.

【点睛】 此题主要考查了分式的运算，熟练掌握运算法则是解此题的关键.

15．5【解析】【分析】根据非负数的性质列式求出mn 的值然后代入代数式进行计算即可得解【详解】解：根据题意得：m-2=0n-2018=0∴m=2n=2018∴m-1+n0=12+1=32；故答案为：32【

解析：5

【解析】

【分析】

根据非负数的性质列式求出m ，n 的值，然后代入代数式进行计算即可得解．

【详解】

解：根据题意得：

， ∴

∴

；

故答案为：.

【点睛】

本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0，解题的关键是利用非负性正确求值. 16．80°【解析】【分析】根据平行线的性质求出∠4再根据三角形内角和定理

计算即可【详解】∵a ∥b ∴∠4=∠l=60°∴∠3=180°-∠4-∠2=80°故答案为80°

【点睛】本题考查了平行线的性质三角形

解析：80°．

【解析】

【分析】

根据平行线的性质求出∠4，再根据三角形内角和定理计算即可．

【详解】

∵a ∥b ，

∴∠4=∠l=60°，

∴∠3=180°-∠4-∠2=80°，

故答案为80°．

【点睛】

本题考查了平行线的性质、三角形内角和定理，掌握两直线平行，同位角相等是解题的关键．

17．12【解析】【分析】逆用同底数幂的除法法则和幂的乘方的运算法则进行解答即可【详解】∵∴故答案为12【点睛】熟记同底数幂的除法法则：幂的乘方的运算法则：并能逆用这两个法则是解答本题的关键

解析：12

【解析】

【分析】

逆用“同底数幂的除法法则和幂的乘方的运算法则”进行解答即可.

【详解】

∵63m n x x ==，

∴222()6312m n m n x x x -=÷=÷=.

故答案为12.

【点睛】

熟记“同底数幂的除法法则：m n m n a a a -÷=，幂的乘方的运算法则：()m n mn a a =，并能

逆用这两个法则”是解答本题的关键. 18．xy （x ﹣1）2【解析】【分析】原式提取公因式再利用完全平方公式分解即可【详解】解：原式=xy （x2-2x+1）=xy （x-1）2故答案为：xy （x-

1）2【点睛】此题考查了提公因式法与公式法的综合

解析：xy （x ﹣1）2

【解析】

【分析】

原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．

【详解】

解：原式=xy （x 2-2x+1）=xy （x-1）2．

故答案为：xy （x-1）2

【点睛】

此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 19．28【解析】设这种电子产品的标价为x 元由题意得：09x −21=21×20解得：x=28所以这种电子产品的标价为28元故答案为28

解析：28

【解析】

设这种电子产品的标价为x 元，

由题意得：0.9x −21=21×

20%， 解得：x=28，

所以这种电子产品的标价为28元．

故答案为28.

20．x2+2x-

3【解析】【分析】多项式与多项式相乘的法则：多项式与多项式相乘先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项再把所得的积相加依此计算即可求解【详解】（x-1）（x+3）=x2+3x-x-

解析：x 2+2x -3

【解析】

【分析】

多项式与多项式相乘的法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加．依此计算即可求解．

【详解】

（x-1）（x+3）=x 2+3x-x-3 =x 2+2x-3．故答案为x 2+2x-3．

【点睛】

本题考查了多项式乘多项式，运用法则时应注意以下两点：①相乘时，按一定的顺序进行，必须做到不重不漏；②多项式与多项式相乘，仍得多项式，在合并同类项之前，积的项数应等于原多项式的项数之积．

三、解答题

21．（1）文学书和科普书的单价分别是8元和12元．（2）至多还能购进466本科普书．

【解析】

【详解】

（1）设文学书的单价为每本x 元，则科普书的单价为每本（x+4）元，依题意得： 8000120004

x x =+ ， 解得：x=8，

经检验x=8是方程的解，并且符合题意．

∴x+4=12．

∴购进的文学书和科普书的单价分别是8元和12元．

②设购进文学书550本后至多还能购进y 本科普书．依题意得

550×8+12y≤10000， 解得2466

3

y ≤， ∵y 为整数， ∴y 的最大值为466

∴至多还能购进466本科普书．

22．详见解析

【解析】

【分析】

根据中心对称得出OB=OD ，OA=OC ，求出OF=OE ，根据SAS 推出△DOF ≌△BOE 即可．

【详解】

证明：∵△ABO 与△CDO 关于O 点中心对称，∴OB=OD ，OA=OC ．

∵AF=CE ，∴OF=OE ．

∵在△DOF 和△BOE 中，OB OD DOF BOE OF OE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩

，

∴△DOF ≌△BOE （SAS ）．∴FD=BE ．

23．（1）证明见解析；（2）75．

【解析】

【分析】

（1）根据等边对等角可得∠B=∠ACF ，然后利用SAS 证明△ABE ≌△ACF 即可；

（2）根据△ABE ≌△ACF ，可得∠CAF=∠BAE=30°，再根据AD=AC ，利用等腰三角形的性质即可求得∠ADC 的度数.

【详解】

（1）∵AB=AC ，

∴∠B=∠ACF ，

在△ABE 和△ACF 中，

AB AC B ACF BE CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩

，

∴△ABE ≌△ACF （SAS ）；

（2）∵△ABE ≌△ACF ，∠BAE=30°，

∴∠CAF=∠BAE=30°，

∵AD=AC ，

∴∠ADC=∠ACD ，

∴∠ADC=

2

80013︒-︒=75°， 故答案为75．

【点睛】 本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质，熟练掌握相关性质与定理是解题的关键.

24．（1）证明见解析；（2）2.

【解析】

【分析】

（1）考察角平分线定理的性质，及直角三角形全等的判断方法，“HL”；（2）利用全等得到线段AM ＝BE ，AM ＝AF ，利用正方形OECF ，得到四边都相等，从而利用OE 与BE 、AF 及AB 的关系求出OE 的长

【详解】

解：（1）过点O 作OM ⊥AB 于点M

∵正方形OECF

∴OE ＝EC ＝CF ＝OF ，OE ⊥BC 于E ，OF ⊥AC 于F

∵BD 平分∠ABC ，OM ⊥AB 于M ，OE ⊥BC 于E

∴OM ＝OE ＝OF

∵OM ⊥AB 于M ， OE ⊥BC 于E

∴∠AMO ＝90°，∠AFO ＝90°

∵OM OF AO AO

=⎧⎨=⎩ ∴Rt △AMO ≌Rt △AFO

∴∠MA0＝∠FAO

∴点O 在∠BAC 的平分线上

(2)∵Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝5，BC ＝12

∴AB ＝13

∴BE ＝BM ，AM ＝AF

又BE ＝BC －CE ，AF ＝AC －CF ，而CE ＝CF ＝OE

∴BE ＝12－OE ，AF ＝5－OE

∴BM ＋AM ＝AB

即BE ＋AF ＝13

12－OE ＋5－OE ＝13

解得OE ＝2

【点睛】

本题考查角平分线的判定，全等三角形的判定及性质，掌握HL 定理的判定方法及全等三角形的性质是本题的解题关键.

25．

11

a a +- 12+ 【解析】

【分析】 先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将a 的值代入计算可得．

【详解】

211()22

a a a a -+÷++ =2221221

a a a a a ++++- =11

a a +- 当21a =

时 原式22

12 【点睛】

本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的混合运算是解题的关键.