初中数学活动课：探究中点四边形 教学设计

一、教学目标

1、利用三角形中位线定理判断中点四边形的形状；感受中点四边形的形状取决于原四边形的两条对角线的位置与数量关系；通过观察几何画板感受并猜想多边形与中点多边形周长及面积的关系；通过图形变换感受研究数学问题的方法.

2、通过对问题的分析与解决，进一步培养解决问题的综合能力；能用动态的眼光看待问题，发现问题的本质；能从分析、解决问题的过程中总结方法，并能进行应用、解决同类问题.获得从“特殊到一般”解决问题的方法.

3、在探索问题中获得成功的体验，增强学习数学的自信心，体会数学知识之间的联系，培养发散的思维能力.

二、教学重点、难点

教学重点：1、决定中点四边形形状的因素研究；2、多边形与中点多边形周长及面积研究.

教学难点：1、中点多边形面积的研究。2、“特殊到一般”的研究方法.

三、教学策略及教学方法

充分利用信息技术的优势，优化教学过程，发挥“整合”的作用.循序渐进，层层推进，从任意四边形的中点四边形的形状开始探究，到特殊四边形的中点四边形形状的探究，再到探究四边形的对角线来确定中点四边形的形状，再到探究多边形与中点四边形周长及面积之间的关系，这一系列过程是一个循序渐进的过程，也是一个从“一般”到“特殊”，再到“一般”的过程.利用几何画板画图、观察、猜想、分析、证明，并通过拖动图形，使图形运动起来，观察数据的变化，得到猜想的结果，并进一步证明.从而真正体现多媒体教学的优势，揭示几何知识间的内在联系及概念的具体化、形象化提供了依据，进而启发学生的思维，达到让学生在做中学的目的.

四、教学过程

第一环节：折纸游戏，激发引导

游戏规则一：在你的准备的任意四边形中随意折出一个平行四边形.

游戏规则二：你折出的四边形的四个顶点需分别在原四边形的四条边上. 

学生动手操作，学生展示自己的成果.

【设计意图】设计折纸游戏，激发学生的学习兴趣，学生根据自己的已有经验可以折出平行四边形，方法具有多样性.在游戏规则的基础上加入限定条件，继续调动学生的思维，找到符合条件的四边形，从而想到各边中点得到平行四边形.本环节的设计不仅激发学生的兴趣，也培养了学生的动手操作能力.

第二环节：初步探究，理解新知

1、认识中点四边形

课件展示中点四边形，学生观察特征，得出中点四边形的概念.

2、观察猜想：学生根据图形，猜想中点四边形是什么形状.

3、几何画板演示：老师借助几何画板来操作.

画出任意四边形-----取各边中点-----顺次连接中点得到中点四边形-----拖动四边的某一点，改变四边形的形状，学生观察中点四边形的形状变化过程，教师再通过几何画板度量中点四边形的各边长度，学生观察四边长度的变化关系.

用几何画板验证任意四边形中点四边形是平行四边形，并让学生用理论给出证明过程，并在导学案中写出证明过程.

3、回顾中位线：

回顾：（1）中位线的性质？

     （2）△DEF与△ABC周长之间的关系？

     （3）△DEF与△ABC面积之间的关系？

【设计意图】课件展示能调动学生的视觉感官，学生容易得出中点四边形概念，并准确的学出任意四边形的中点四边形是平行四边形的证明过程，回顾中位线的有关内容，为下面探究中点四边形的形状以及周长及面积之间的关系打好基础.

第三环节：分组合作、自主探究

我们探究任意四边形的中点四边形是平行四边形，那特殊的四边形的中点四边形会是什么样的图形呢？会不会也是非常特殊的四边形呢？下面就让我们小组分工完成任务.小组四人，一人探究一种图形，先通过折纸初步判断形状，后写出证明过程，小组内交流.

小组分组验证平行四边形、菱形、矩形、正方形.

（学生展示，老师几何画板进行演示）学生证明正方形的中点四边形.

思考：中点四边形的形状与原四边形的哪些线段有关系呢？有怎样的关系？

对角线的影响：对角线相等、对角线垂直、对角线相等且垂直

探究一：对角线相等   探究二：对角线垂直  探究三：对角线相等且垂直

（学生讲解）用几何画板来验证一下自己的结论.

验证了我们结论，请同学们自己完成填空吧.

（1）中点四边形的形状与原四边形的        有密切关系；

（2）只要原四边形的两条对角线          ，就能使中点四边形是菱形；

（3）只要原四边形的两条对角线          ，就能使中点四边形是矩形；

（4）要使中点四边形是正方形，原四边形要符合的条件是            .  

第四环节：拓展延伸 能力提升

（一）周长关系

思考：怎样求中点四边形EFGH的周长呢？与原四边形ABCD的什么量有关系呢？能证明你的猜想吗？

温馨提示：△DHG的HG与△DAC的哪一边有关系呢？

猜想探究：用几何画板度量四边形HEFG的周长，度量DB、AC的长度，发现DB+AC=四边形HEFG的周长.

学生证明：

得出结论：中点四边的周长是原四边形对角线的和.

（二）面积关系

思考：原四边形ABCD的面积与中点四边形EFGH的面积之间有什么关系？

温馨提示：△DEH的面积是△DAC面积的多少？△BFG的面积是△BAC面积的多少？那么△EDH和△BFG面积的和是四边形ABCD的面积的多少呢？

探究猜想：用几何画板度量出四边形ABCD和四边形EFGH的面积，发现四边形EFGH的面积是四边形ABCD面积的一半.

学生证明：

得出结论：中点四边形的面积是原四边形面积的一半.

第五环节：快乐驿站 成功体验

练习1：

在四边形ABCD中，AB=CD，M、N、P、Q分别是AD、BC、BD、AC的中点.

求证：MN与PQ互相垂直平分.

练习2：

如图，四边形ABCD中，AC=6，BD=8且AC⊥BD，顺次连接四边形ABCD各边中点，得四边形A1B1C1D1；再顺次连接四边形A1B1C1D1各边中点，得到四边形A2B2C2D2……如此下去，得到四边形AnBnCnDn.

（1）四边形A1B1C1D1是          ，四边形A2B2C2D2是          ，四边形AnBnCnDn是          ；

（2）四边形A1B1C1D1的面积是          ，四边形A2B2C2D2的面积是          ，四边形AnBnCnDn的面积是          ；

（3）四边形A1B1C1D1的周长是          ，四边形A2B2C2D2的周长是          .

第六环节：整理知识 收获心得

我们探索发现了一系列中点四边形的形状与原四边形两条对角线的位置关系和数量关系，从中我们可以体会图形的位置关系、数量关系从特殊到一般的变化中，常常伴随着图形从特殊到一般的变化，关注图形的这一变化规律有利于我们深入、全面地认识图形的性质.