专题09 正弦定理与余弦定理的综合应用-名师揭秘2020年高考数学(文)一轮总复习之三角函数、三角形

一、本专题要特别小心：

1.解三角形时的分类讨论（锐角钝角之分）

2. 边角互化的选取

3. 正余弦定理的选取

4.三角形中的中线问题

5.三角形中的角平分性问题

6.多个三角形问题

二．【学习目标】

掌握正、余弦定理，能利用这两个定理及面积计算公式解斜三角形，培养运算求解能力．

三．【方法总结】

1.利用正弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题：

(1)已知两角和任一边，求其他两边和一角；

(2)已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角(从而进一步求出其他的边和角).

2.由正弦定理容易得到：在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即A ＞B ⇔a ＞b ⇔sin A ＞sin B.

3.已知三角形两边及其一边的对角解三角形时，利用正弦定理求解时，要注意判断三角形解的情况(存在两解、一解和无解三种可能).而解的情况确定的一般方法是“大边对大角且三角形钝角至多一个”.

4.利用余弦定理，可以解决以下三类有关三角形的问题：

(1)已知三边，求三个角；

(2)已知两边和它们的夹角，求第三边和其余角；

(3)已知两边和其中一边的对角，求其他边和角.

(4)由余弦值确定角的大小时，一定要依据角的范围及函数值的正负确定.

四．【题型方法】

（一）三角形中角的范围问题

例1. 在中，，则的最大值为 A ．

B ．

C ．

D ．

练习1. 在锐角三角形ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若3sin c b A =，则tan tan tanC A B ++的最小值是_______．

练习2.设的内角的对边分别为，其外接圆的直径为1, ，且角为钝角.

（1）求

的值； （2）求

的取值范围．

（二）正余弦定理与三角形面积综合

例2. 在中，为的外心，若，其中.则点的轨迹所对应图形的面积是__________．

练习1. 在V ABC 中，内角A

B C ，的对边分别为a b c ，，且3c =，22cos b c a C +=. （1）求A ；

（2）点M 在BC 边上，且BM AB =，34AMC AMB S S ∆∆= ，求,a b .

练习2. 如图，在平面四边形中，14AB =，5

3cos =A ，5cos 13ABD ∠=.

（1）求对角线BD 的长；

（2）若四边形ABCD 是圆的内接四边形，求BCD ∆面积的最大值.

（三）三角形问题中的数形结合

例3.中，三内角的对边分别为，且满足，是以为直径的圆上一点，则

的最大值为_____．

练习1．已知平面上有四点O ，A ，B ，C ，向量满足：

，则△ABC 的周长是( )

A ．3

B ．9

C ．3

D ．6

（四）判断三角形的形状

例4. 在ABC ∆中，

cos cos a b B A =，则ABC ∆一定是（ ） A ．等腰三角形

B ．直角三角形

C ．等腰直角三角形

D ．等腰三角形或直角三角形

练习1. V ABC 中，60B =︒，2b ac =，则V ABC 一定是 （ ）

A ．锐角三角形

B ．钝角三角形

C ．等腰三角形

D ．等边三角形

练习2.在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边的长分别为a ，b ，c ，若sin sin sin a A b B c C +<，则ABC ∆的形状是（ ）

A ．锐角三角形

B ．直角三角形

C ．钝角三角形

D ．正三角形

练习3．在V ABC 中，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，2cos

22C a b a +=，则V ABC 的形状一定是( ) A ．直角三角形

B ．等边三角形

C ．等腰三角形

D ．等腰直角三角形

（五）三角形中边的范围问题 例5. 已知V ABC 中23

ACB π∠=

，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ． （1）若,,a b c 依次成等差数列，且公差为2，求c 的值； （2）若V ABC 的外接圆面积为π，求V ABC 周长的最大值．

练习1.．在ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，()cos ,2m A a b =-，()2,1n c =且m n ⊥ （1）求角C 的大小；

（2）若2c =，求a b +的取值范围

练习2. 在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，点D 为边BC 的中点，若AD m =，且满足

2224a bc m +=

（I ）求BAC ∠；

（II ）若2a =，求ABC ∆的周长的最大值．

练习3. 已知ABC ∆的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若

222cos cos cos 1sin sin A C B A C +-=-.

（1）求角B 的大小；

（2）若b =

c a +2的最大值.

（六）三角形应用题

例6. 如图为一块边长为2km 的等边三角形地块ABC ，为响应国家号召，现对这块地进行绿化改造，计划从BC 的中点D 出发引出两条成60°角的线段DE 和DF ，与AB 和AC 围成四边形区域AEDF ，在该区域内种上草坪，其余区域修建成停车场，设∠BDE ＝α．

（1）当α＝60°时，求绿化面积；

（2）试求地块的绿化面积()S α的取值范围．

练习1．如图，在等腰梯形ABCD 中，//AB CD ，CD =，BC =，BF BC <，

梯形ABCD

1，E 是CD 的中点，分别以,C D 为圆心，CE ，DE 为半径作两条圆弧，交AB 于,F G 两点.

（1）求∠BFC的度数；

（2）设图中阴影部分为区域Ω，求区域Ω的面积.

练习2．如图，A，B是海面上位于东西方向相海距4(3里的两个观测点，现位于A点北偏东45︒，

B点北偏西60︒的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60︒且与B点相距C点的救援船立即前往营救，其航行速度为24海里/小时．

（Ⅰ）求BD的长；

（Ⅱ）该救援船到达D点所需的时间．