江苏省海门中学2010届北大清华自主招生选拔试题(时间90分钟)

（考试时间90分钟）

命制人：方伟

一、思维拓展题：

1、陈奕迅有首歌叫《十年》、吕珊有首歌叫《3650夜》，那现在问,十年可能有_______天? 

2、1元钱一瓶汽水，喝完后两个空瓶换一瓶汽水，问：你有20元钱，最多可以喝到_____瓶汽水？

3、1，11，21，1211，111221，下一个数是_____________。

4、10箱黄金，每箱100块，每块一两。有贪官，把某一箱的每块都磨去一钱。请称一次找到不足量的那个箱子。_______________________________________________________

____________________________________________________________________________.

5、老张、老刘、老李和老赵, 一个是教师，一个是职员，一个是工人，一个是干部，还知道（1）张、刘为邻居，每天骑车上班；（2）老刘比老李年纪大；（3）老张教老赵打太极拳；（4）教师每天步行上班；（5）职员的邻居不是干部；（6）干部和工人不认识；（7）干部比职员和工人年纪都大，那么他们的职业按职员、工人、干部、教师的姓氏排列为_______________________________________________.

二、综合测评题：

1、平面坐标系逆时针旋转角，求在新坐标系下的坐标。(其中

2、（其中S是△ABC的面积,a、b、c为三边长）

3、求证：如果p和p+2都是大于3的素数，那么6是p+1的因数。

4、Let N={0,1,2,…..}.Determine all functions  N→N

such that   for all  and  in N

 （Note: The answer can be in Chinese.）

5、设是满足…   ①的实数序列,而是由下式定义的实数列

,…，   ②

证明：（1）对任意…，成立。（2）对于中的任意，存在具有性质①的序列，使得由它构成的序列②中有无穷多个下标满足。

6、关键词：数学作文

理论背景：从2000年开始，我国已把“探索型课题学习”列入教学计划，并规定了教学时间。2001年华东师范大学的张奠宙教授在一次给研究生的讲话报告中，提出了“数学作文”这个概念，它类似于国外学生做的“Project”，结合我国的实际，“数学作文”是“探索型课题”研究过程和结果的展现形式。它不同于严格意义上的数学论文，它是数学“双基”的延伸。通过数学作文能够对数学基础进行整理，上升为更加理性的认识。

请你用200-300字简要地谈谈对“数学归纳法”这个概念的认知。（注意：数学语言的运用）

参:

一、

1，十年可能包含2-3个闰年，3652或3653天。

2，40瓶，20+10+5+2+1+1=39，这时还有一个空瓶子，先向店主借一个空瓶，换来一瓶汽水喝完后把空瓶还给店主。

3，312211。（三个1两个2一个1）

4，第一箱子拿1块，第二箱子拿2块，第n箱子拿n块，然后放在一起称，看看缺了几钱，缺了n钱就说明是第n个箱子。

5，张、刘、赵、李

二、

1、相对于新教材属研究性学习的内容，与高等数学接轨。勇初等的方法：向量、复数、坐标都可以解决。当然用行列式会更直接。答： 

2、为解决min这个符号，可利用“不妨设”化解。结合基本不等式和三角形面积公式易证。

3、简单的一个数论问题。

4、原题：设N={0,1,2,…..}，求所有的N→N，使得对任意，

均有

提示：设有，

则

即，因为

易得：  

5、解：由题设易知，求前项和，显然，但无法保证，因此可将作恒等变形。

为证问题（2），关键是选取，以便计算，可将特殊化，取为常数，此时为等比数列。因而对，取，

则，此时，只要

就有无穷多个下标，使。因此，当时，取，

就有，故证得满足题设条件的系列存在。

6、纲要（1）数学归纳法作为归纳法的一种，它属于完全归纳。（2）数学归纳法的定义（或者解题步骤）（3）重难点突破：奠基的重要性及注意点，在证明P（K+1）时一定要用到归纳假设P（K）（4）适用范围：可以证明与正整数相关的命题。（5*）其他：数学归纳法从证明的方式来区分，可以有第一数学归纳法、第二数学归纳法、多重数学归纳法、翘翘板数学归纳等等