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2016届高三第四次模拟考试

数学试卷

                                              2016.05

数学Ⅰ试题

注　意　事　项

考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求

1．本试卷共4页，包含填空题(第1题～第14题，共14题)、解答题(第15题～第20题，共6题)两部分。本次考试时间为120分钟。考试结束后，只要将答题卡交回。

2．答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔填写在

答题卡上，并用2B铅笔把答题卡上考试证号对应数字框涂黑，如需改动，请用橡皮

擦干净后，再正确涂写。

3．答题时，必须用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔写在答题卡上的指定位置，在其它位

置作答一律无效。

4．如有作图需要，可用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚。

参考公式：

    样本数据，，…，的标准差，其中．

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题纸相应位置上．

1． 已知集合A＝{x|0＜x≤3，x∈R }，B＝{x|－1≤x≤2，x∈R }，

则A∪B＝  ▲  ．

2． 在复平面内，复数z＝（i是虚数单位）对应的点在第  ▲  象限．

3． 函数f(x)＝log (2－x)的定义域为  ▲  ．

4． 数据1，3，5，7，9的标准差为  ▲  ．

5． 右图是一个算法流程图，则输出的T的值为  ▲  ．

6． 将一颗质地均匀的骰子（一种各面上分别标有数字1，2，3，4，5，6的正方体玩具）先后抛掷2次，则出现向上面的点数之和为4的概率是

  ▲  ．

7． 在平面直角坐标系xOy中，已知向量a＝(1，2)，a－b＝(－2，1)，则

|a－b| 的值为  ▲  ．

8． 现用一半径为10 cm，面积为100 cm2的扇形铁皮制作一个无盖的圆锥形容器（假定衔接

部分及铁皮厚度忽略不计，且无损耗），则该容器的容积为  ▲   cm3．

9． 已知实数满足＋y2＝1，则u＝|3x＋3y－7|的取值范围为  ▲  ．

10．已知0＜＜＜，且coscos＝，sinsin＝，则tan(－)的值为  ▲  ．

11． 在平面直角坐标xOy中，已知A(1，0)，B(4，0)，直线x－y＋m＝0上存在唯一的点P满足

＝，则实数m的取值集合是  ▲  ．

12．已知{an}为等差数列，{an＋1}为等比数列，且a1＝3，则an的值为  ▲  ．

13．已知8a3＋9a＋c＝0，b3－－c＝0，其中a，b，c均为非零实数，则的值为  ▲  ．

14．如图，在凸四边形ABCD中，AB＝1，BC＝，且AC⊥CD，

AC＝CD，则当ABC变化时，线段BD长的最大值为  ▲  ．

二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15．(本小题满分14分)

已知tan＝2，cos＝－，且，∈(0，)．

（1）求cos2的值；

（2）求2－的值．

16．(本小题满分14分)

如图，在四棱锥P－ABCD中，已知底面ABCD为矩形，且

AB＝，BC＝1，E，F分别是AB，PC的中点，PA⊥DE．

（1）求证：EF∥平面PAD；

（2）求证：平面PAC⊥平面PDE．

17．(本小题满分14分)

在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的焦距F1F2的长为2，经过第二象限内

一点P(m，n)的直线＋＝1与圆x2＋y2＝a2交于A，B两点，且OA＝．

（1）求PF1＋PF2值；

（2）若＝，求m，n的值．

18．(本小题满分16分)

如图，一个角形海湾AOB，∠AOB＝2θ（常数θ为锐角）．拟用长度为l（l为常数）的围网围成一个养殖区，有以下两种方案可供选择：

 方案一  如图1，围成扇形养殖区OPQ，其中＝l；

 方案二  如图2，围成三角形养殖区OCD，其中CD＝l； 

（1）求方案一中养殖区的面积S1 ；

（2）求证：方案二中养殖区的最大面积S2＝；

（3）为使养殖区的面积最大，应选择何种方案？并说明理由．

19．(本小题满分16分)

 已知函数f(x)＝a(|sinx|＋|cosx|)－sin2x－1，a∈R

（1）写出函数f(x)的最小正周期（不必写出过程）；

（2）求函数f(x)的最大值；

（3）当a＝1时，若函数f(x)在区间(0，k)(k∈N*)上恰有2015个零点，求k的值．

20．(本小题满分16分)

    已知数列{an}满足：a1＝a2＝a3＝k（常数k＞0），an＋1＝（n≥3，nN*）．数列{bn}满足：bn＝（nN*）．

（1）求b1，b2，b3，b4的值；

（2）求出数列{bn}的通项公式；

（3）问：数列{an}的每一项能否均为整数？若能，求出k的所有可能值；若不能，请说明理由．

江苏省海安中学、南京外国语学校、金陵中学

2016届高三第四次模拟考试

数学试卷

                                                   2016.05

注 意 事 项

考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求

1．本试卷共2页，均为解答题（第21~23题）。本卷满分为40分，考试时间为30分钟。考试结束后，请将答题卡交回。

2．答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号等用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔填写在答题卡上，并用2B铅笔正确填涂考试号。

3．作答试题必须用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔写在答题卡上的指定位置，在其它

位置作答一律无效。如有作图需要，用2B铅笔作答，并请加黑、加粗，描写清楚。

 数学Ⅱ(附加题)

21．【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分．

解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

A．[选修4—1：几何证明选讲](本小题满分10分)

如图，AB是半圆O的直径，延长AB到C，使BC＝，CD切半圆O于点D，DE⊥AB，垂足为E．若AE:EB＝3:1，求DE的长．

B． [选修4－2：矩阵与变换](本小题满分10分)

设矩阵A＝的逆矩阵为，矩阵B满足AB＝，求，B．

C．[选修4－4：坐标系与参数方程](本小题满分10分)

已知点P在曲线C：（为参数）上，直线l：（t为参数），求P到直

线l距离的最小值．

D．[选修4－5：不等式选讲](本小题满分10分)

求函数f(x)＝＋，x∈(0，)的最小值．

【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答卷纸指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

22．(本小题满分10分)

假定某篮球运动员每次投篮命中率均为p(0＜p＜1)．现有3次投篮机会，并规定连续两次投篮均

不中即终止投篮．已知该运动员不放弃任何一次投篮机会，且恰用完3次投篮机会的概率是．

   （1）求p的值；

   （2）设该运动员投篮命中次数为，求的概率分布及数学期望E()．

23．(本小题满分10分)

     已知数列{an}满足an＋1＝(1＋)an＋( nN*)，且a1＝1．

    （1）求证：当n≥2时，an≥2；

    （2）利用“x＞0，ln(1＋x)＜x，”证明：an ＜2e (其中e是自然对数的底数)．

  数学参及评分标准            2016.05

说明：

1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．

2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．

3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．

4．只给整数分数，填空题不给中间分数．

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 

1．[－1，3]           2．四        3．()          4．           5．14

6．                7．   8．            9．           10． 

11．     12．27             13．             14．＋1

二、解答题：本大题共6小题，共90分．

15．解：(1)因为∈(0，)，且tan＝2，所以sin＝，

且cos2＝1－2sin2＝－，                  ……………………………………6分

(2)又因为cos2＜0，所以2∈(，)，sin2＝，又因为∈(0，) ，cos＝－，

所以∈(，)，sin＝，且2－∈(－，)， 

所以sin(2－)＝－，所以2－＝－．                       …………………14分

16．证明：证明：（1）取PD中点G，连AG，FG，

 因为F､G分别为PC､PD的中点，所以FG∥CD，且FG＝CD． …………………2分

    又因为E为AB中点，所以AE∥CD，且AE＝CD．            …………………4分    

所以AE∥FG，AE＝FG．故四边形AEFG为平行四边形．   

所以EF∥AG，又EF平面PAD，AG⊂平面PAD，

    故EF∥平面PAD．                                       …………………6分             

（2）设AC∩DE＝H，由△AEH∽△CDH及E为AB中点得＝＝，

又因为AB＝，BC＝1，所以AC＝，AH＝AC＝． 

所以＝＝，又∠BAD为公共角，所以△GAE∽△BAC．

所以∠AHE＝∠ABC＝90，即DE⊥AC．                   …………………10分                 

又DE⊥PA，PA∩AC＝A，                                

所以DE⊥平面PAC．                                     …………………12分

又DE⊂平面PDE，所以平面PAC⊥平面PDE．                …………………14分

17．解：（1）由，知，                                            

          又，所以，

          所以椭圆的方程为.                                      …………………2分

          因为在直线上，所以，

          从而点在椭圆上，                               …………………4分

          根据椭圆定义知，.                                 …………………6分            

（2）设，，

     由得，，                                   …………………8分            

       由得，，               …………………10分   

解得，，                                 …………………12分

           从而，

    解得，.                                           …………………14分

18．解：（1）设OP＝r，则l＝r·2θ，即r＝，

所以 S1＝lr＝，θ∈(0，)．                   ……………………………4分

 (2)设OC＝a，OD＝b．由余弦定理，得l2＝a2＋b2－2abcos2θ，所以

l2≥2ab－2abcos2θ．                        ……………………………………6分

所以ab≤，当且仅当a＝b时“＝”成立．

所以S△OCD＝absin2θ≤＝，即S2＝．      ………………8分

 (3)－＝(tanθ－θ)，θ∈(0，)，．             ………………………………10分

令f(θ)＝tanθ－θ，则f (θ)＝()－1＝．               ……………12分

当θ∈(0，)时，f (θ)＞0，所以f(θ)在[0，)上单调增，所以，当θ∈(0，)，

总有f(θ)＞f(0)＝0．所以－＞0，得S1＞S2．

答：为使养殖区面积最大，应选择方案一．(没有作答扣一分)      …………14分

19．解：（1）；                                          …………………2分

（2）只需考虑在上的最大值即可.

①当时，令，则，

； 

f(x)＝u(t)＝－t2＋at＝－(t－)2＋，t∈[1，]

(i)当＜1时，即a＜2，u(x)max＝u(1)＝a－1；

(ii)当1≤≤时，即2≤a≤2，u(x)max＝；

(iii)当＞时，即a＞2，u(x)max＝u()＝a－2，       …………………4分

②当时，令，则，

；                             …………………6分

(i)当－＞时，即a＜－1－，v(x)max＝v(1)＝a－1；

(ii)当－≤时，即a≥－1－，v(x)max＝v()＝a，

由①②可知，，.

(i)当a＜－1－时，f(x)max＝a－1；

(ii)当－1－≤a＜2时，因为a－(a－1)＝(－1)a＋1≥0，所以f(x)max＝a；

(iii)当2≤a＜2时，因为a－＝a(－)＞0，所以f(x)max＝a；

(iv)当a≥2时，因为a＞a－2，所以f(x)max＝a，     …………………8分

所以当时，的最大值为；当时，最大值为.

                                                               …………………10分

（3）因为，探究在上的零点个数.

     当时，令，解得t=0或1.

则在上无解，在 上仅有一解，                                               …………………12分                       

     当时，令，解得t=－2或1.

则在上无解，在上也无解.又因为x＝时，．                                …………………14分

综上，在上有且仅有2个零点，分别为与.

又因为是以为周期的函数，所以在上恰有个零点，由题意得，则．                                  …………………16分

20．解：（1）经过计算得，.

           求得.            …………………………………………3分

（2）由条件可知：.…………①

类似地有：.…………②

①-②有：.

即：.

因此：                     ……………………………………7分

即：

             ……………………………………9分

(3)假设存在正整数，使得数列的每一项均为整数。

由（2）知

由可知        ……………………………………11分

当时，为整数，利用结合，反复递推，可知均为整数。                                       ……………………………………13分

当时变为

消去得：

由

为偶数,=2 ，故数列是整数列.                            

综上所述，的取值集合是.                 ……………………………………16分

2016届高三第四次模拟考试

参及评分建议

                                                   2016.05

 数学Ⅱ(附加题) 

21．【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分．

解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

C．[选修4—1：几何证明选讲](本小题满分10分)

如图，AB是半圆O的直径，延长AB到C，使BC＝，CD切半圆O于点D，DE⊥AB，垂足为E．若AE:EB＝3:1，求DE的长．

解：连结AD，DO，DB．

由AE:EB＝3:1，得DO:OE＝2:1．

又DE⊥AB，所以∠DOE＝60°．故△ODB为正三角形．

又CD切半圆O于点D，所以∠DAC＝∠BDC＝30°．

因为∠ABD＝60°，故∠C＝30°＝∠BDC．所以DB＝BC＝．

在△OBD中，DE＝DB＝．                …10分

D． [选修4－2：矩阵与变换](本小题满分10分)

矩阵A＝的逆矩阵为，矩阵B满足AB＝，求，B．

解：由逆矩阵公式得，A－1＝， …5分

    则B＝A－1AB＝＝．…10分

C．[选修4－4：坐标系与参数方程](本小题满分10分)

已知点P在曲线C：（为参数）上，直线l：（为参数），求P到直

线l距离的最小值．

    解：将直线l化为普通方程为：x－y－6＝0．                       

    则P(4cosθ，3sinθ) 到直线l的距离d＝＝，其中tanφ＝．

    所以当cos(θ＋φ)＝1时，dmin＝，

    即点P到直线l的距离的最小值为．…10分

D．[选修4－5：不等式选讲](本小题满分10分)

求函数，的最小值．

    解：函数＝＋＝≥(4＋1)2＝25

       （当且仅当x＝时，“=”成立）．…10分

【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答卷纸指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

22．(本小题满分10分)

假定某篮球运动员每次投篮命中率均为p(0< p <1)．现有3次投篮机会，并规定连续两次投篮均

不中即终止投篮．已知该运动员不放弃任何一次投篮机会，且恰用完3次投篮机会的概率是．

   （1）求p的值；

   （2）设该运动员投篮命中次数为，求的概率分布及数学期望E()．

解：（1）设事件：“恰用完3次投篮机会”， 则其对立事件：“前两次投篮均不中”，

        依题意，，

        解得；                                                …… 4分

   （2）依题意，的所有可能值为0，1，2，3，

        且，

          ，

          ，

        故，              …… 8分

        的概率分布表为：

23．(本小题满分10分)

     已知数列{an}满足，且.

    （1）求证：当时，；

    （2）利用“，”证明：(其中是自然对数的底数).

证明：(1)①当时，，不等式成立.

②假设当时不等式成立，即，

  则.

               所以当时，不等式也成立.

             根据①，②，对所有成立.                              …… 4分

         (2)当时，由递推公式及（1）的结论有

            ，

            两边取对数并利用已知不等式得                              

           ，

           故，

           求和可得lnan－lna2＜＋＋．．．＋＋＋＋．．．＋

           .

           由(1)知，，故有ln＜，an＜2 (n≥2)，

          而a1＝1小于，

          故对任意正整数，有.                                       …… 10分