人教版八年级下册数学 第18章《平行四边形》讲义 第12讲 平行四边形...

第一部分  知识梳理

考点一、平行四边形的性质及判定

【知识要点】 

（1）、平行四边形的边、角、对角线性质， 对称性

（2）、平行四边形判定方法

（3）、三角形中位线

【典型例题】 

例1、下列图形中是中心对称图形，但不是轴对称图形的是（     ）

   A、菱形        B、矩形         C、正方形         D、平行四边形

例2、如图,□ABCD与□DCFE的周长相等,且∠BAD=60°,∠F=110°,则∠DAE的度数为　　　 　

例3、如图,在平行四边形ABCD中,AB=4,∠BAD的平分线与BC的延长线交于点E,与DC交于点F,且点F为边DC的中点,DG⊥AE,垂足为G,若DG=1,则AE的长为（   ）

   A、2                B、4                  C、4               D、8

例4、平面直角坐标系中，□ABCD的顶点，A，B，D的坐标分别是（0，0）（5，0），（2，3），则顶点C的坐标是（    ）         

 A、（3,7）　     B、(5,3)　        C、(7,3)       　D、 (8,2)

    （例2）                （例3）                      （例4）

例5、如图，E是平行四边形内任一点， 若S平行四边形ABCD＝8，则图中阴影部分的面积是（     ）

   A、3             B、4              C、5               D、6

例6、如图，将平行四边形ABCD纸片沿EF折叠，使点C与点A重合，点D落在点G处。

（1）求证：AE＝AF

（2）求证：△ABE≌△AGF

例7、如图所示：四边形ABCD是平行四边形，DE平分平分．试证明四边形BFDE是平行四边形．

例8、如图，在△ABC中，AB＝4，AC＝3，BC＝5，以三边为边，在BC的同侧分别作三个等边三角形即△ABD、△BCE、△ACF。

（1）求证：四边形EFAD是平行四边形；

（2）求四边形EFAD的面积。

举一反三：

1、在平行四边形ABCD中，∠A：∠B：∠C：∠D的值可能是（      ）

   A、1：2：3：4                B、2：2：3：3　

   C、2：3：2：3                D、2：3：3：2

2、顺次连结四边形各边的中点，所成的四边形必定是（    ）

   A、等腰梯形       B、直角梯形      C、矩形        D、平行四边形

3、如图，在ABCD中，AB＝5，AD＝8，∠BAD、∠ADC的平分线分别交BC于E、F，则EF的长为（    ）

 A、1           B、2             C、3            D、4  

4、如图，在□ABCD中，EF∥AD, GH∥AB,EF、GH相交于点Ｏ，则图有      个平行四边形．

             （3）                             （4）

5、如图，△ABC 中，∠ACB=90°，点D、E分别为AC，AB中点，点F在BC延长线上，且∠CDF=∠A。求证：四边形DECF为平行四边形。

6、已知：△ABC的中线BD、CE交于点O，F、G分别是OB、OC的中点．求证：四边形DEFG是平行四边形．

7、如图，点O是△ABC内一点，连结OB、OC，并将AB、OB、OC、AC的中点D、E、F、G依次连结，得到四边形DEFG． 

（1）求证：四边形DEFG是平行四边形；

（2）若M为EF的中点，OM=3，∠OBC和∠OCB互余，求DG的长度．

8、如图，△ABC中AB=AC，点D从点B出发沿射线BA移动，同时，点E从点C出发沿线段AC的延长线移动，已点知D、E移动的速度相同，DE与直线BC相交于点F．

（1）如图1，当点D在线段AB上时，过点D作AC的平行线交BC于点G，连接CD、GE，判定四边形CDGE的形状，并证明你的结论；

（2）过点D作直线BC的垂线垂足为M，当点D、E在移动的过程中，线段BM、MF、CF有何数量关系

考点二、矩形的性质及判定

【知识要点】 

（1）、矩形的边、角、对角线性质， 对称性

（2）、矩形判定方法

（3）、直角三角形斜边上的中线

【典型例题】 

例1、下列说法：①矩形是轴对称图形，两条对角线所在的直线是它的对称轴；②两条对角线相等的四边形是矩形；③有两个角相等的平行四边形是矩形；④两条对角线相等且互相平分的四边形是矩形；⑤两条对角线互相垂直平分的四边形是矩形．其中，正确的有（　　）

   A、1个             B、2个             C、3个            D、4个

例2、已知如图，在矩形ABCD中有两个一条边长为1的平行四边形．则它们的公共部分（即阴影部分）的面积是（　 　）

   A、大于1        B、等于1            C、小于1           D、小于或等于1 

例3、如图，两张宽为1cm的矩形纸条交叉叠放，其中重叠部分部分是四边形ABCD,已知∠BAD=30°则重叠部分的面积是         cm． 

               （例2）                          （例3）

例4、如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于F ，且AF=BD，连结BF

（1）求证：D是BC的中点．

（2）如果AB=AC ，试判断四边形AFBD的形状，并证明你的结论．

例5、在矩形ABCD中，M为AD边的中点，P为BC上一点，PE⊥MC，PF⊥MB，当AB、BC满足什么条件时，四边形PEMF为矩形．

例6、如图，在矩形ABCD中，AC与BD相交于一点O，AE平分∠BAD,若∠EAO=15°,求∠BOE的度数．

例7、（1）如图1，经历矩形性质的探索过程，你可以发现：直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半．如在Rt△ABC中CD是斜边AB的中线，则CD=AB，你能用矩形的性质说明这个结论吗？

（2）利用上结论述解答下列问题：如图2所示，四边形ABCD中，∠A=90°，∠C=90°，EF分别是BD、AC的中点，请你说明EF与AC的位置关系（提示：连接AE、CE）

例8、如图，在△ABC中，点O是AC边上（端点除外）的一个动点，过点O作直线MN∥BC．设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F，连接AE、AF．那么当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并证明你的结论．

举一反三：

1、如图，在矩形ABCD中，AD∥BC，AC与BD交于点O，则图中面积相等的三角形有（    ）

   A、4对           B、5对           C、6对            D、8对

2、矩形各内角的平分线能围成一个（　　）

   A、矩形      B、菱形      C、等腰梯形            D、正方形

3、将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，AE、EF为折痕，∠BAE＝30°，AB＝，折叠后，点C落在AD边上的C1处，并且点B落在EC1边上的B1处．则BC的长为（    ）

A、             B、2                C、3            D、

             （1）                               （2）

4、如图，矩形的面积为5，它的两条对角线交于点，以、为两邻边作平行四边形，平行四边形的对角线交于点，同样以、为两邻边作平行四边形，……，依次类推，则平行四边形的面积为（     ）

    A、       B、       C、        D、

5、如图所示，E是矩形ABCD边AD上一点，且BE=ED，P是对角线BD上任一点，PF⊥BE，PG⊥AD，垂足分别为F，G．试探索线段PF，PG，AB之间的数量关系，并证明之．

6、如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AO=CO，BO=DO，且∠ABC+∠ADC=180°．

（1）求证：四边形ABCD是矩形． 

（2）若∠ADF：∠FDC=3：2，DF⊥AC，则∠BDF的度数是多少？

7、如图1，已知AB∥CD，AB=CD，∠A=∠D． 

（1）求证：四边形ABCD为矩形； 

（2）E是AB边的中点，F为AD边上一点，∠DFC=2∠BCE． 

①如图2，若F为AD中点，DF=1.6，求CF的长度：

②如图2，若CE=4，CF=5，则AF+BC=       ，AF=        ．

考点三、菱形的性质及判定

【知识要点】 

（1）、菱形的边、角、对角线性质， 对称性

（2）、菱形判定方法

（3）、菱形面积问题（等面积法）

【典型例题】 

例1、菱形相邻两角的比为1:2，那么菱形的对角线与边长的比为（    ）

   A、1:2:3            B、1:2:1          C、1::2          D、1::1

例2、如图，在△ABC中，点D在BC上过点D分别作AB、AC的平行线，分别交AC、AB于点E、F

①如果要得到矩形AEDF，那么△ABC应具备条件：　               　；

②如果要得到菱形AEDF，那么△ABC应具备条件：　               　．

例3、如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC，若AC=4，判断四边形CODE的形状，并计算其周长．

例4、如图，凸五边形ABCDE中，∠A=∠B=120°，EA=AB=BC=2，CD=DE=4，则它的面积是多少？

例5、如图，在矩形ABCD中，对角线BD的垂直平分线MN与AD相交于点M，与BD相交于点O，与BC相交于N，连接MN，DN．

（1）求证：四边形BMDN是菱形；

（2）若AB=6，BC=8，求MD的长．

例6、如图，AE=AF，点B、D分别在AE、AF上，四边形ABCD是菱形，连接EC、FC； （1）求证：EC=FC；

     （2）若AE=2，∠A=60°，求△AEF的周长．

例7、已知：如图，在□ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，AG∥DB交CB的延长线于G． 

（1）求证：△ADE≌△CBF； 

（2）若四边形BEDF是菱形，则四边形AGBD是什么特殊四边形？并证明你的结论．

例8、如图，平行四边形中，，，．对角线相交于点，将直线绕点顺时针旋转，分别交于点．

（1）证明：当旋转角为时，四边形是平行四边形；

（2）试说明在旋转过程中，线段与总保持相等；

（3）在旋转过程中，四边形可能是菱形吗？如果不能，请说明理由；如果能，说明理由并求出此时绕点顺时针旋转的度数．

举一反三：

1、已知菱形的边长和一条对角线的长均为2cm，则菱形的面积为（    ）

   A、         B、               C、           D、

2、下列给出的条件能判断一个四边形是菱形的是（     ）

   A、有一组对边平行且相等，有一个角是直角  

   B、有一组对边平行，另一组对边相等，两条对角线互相垂直

   C、两组对边分别相等，且有一组邻边相等     

   D、一组邻边相等，一组对角相等，一组对边相等

3、如图，E是等边△ABC的BC边上一点，以AE为边作等边△AEF，连接CF，在CF延长线取一点D，使∠DAF=∠EFC．试判断四边形ABCD的形状，并证明你的结论．

4、如图,在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=60°，DE垂直平分BC，垂足为D，交AB于点E.又点F在DE的延长线上，且AF=CE.求证：四边形ACEF是菱形.

5、如图，矩形中，是与的交点，过点的直线与的延长线分别交于．

（1）求证：；

（2）当与满足什么关系时，以为顶点的四边形是菱形？证明你的结论．

6、已知：如图，菱形ABCD中，E、F分别是CB、CD上的点，∠BAF=∠DAE．

（1）求证：AE=AF；

（2）若AE垂直平分BC，AF垂直平分CD，求证：△AEF为等边三角形．

7、已知：如图，在中，AE是BC边上的高，将沿方向平移，使点E与点C重合，得．

（1）求证：；

（2）若，当AB与BC满足什么数量关系时，四边形是菱形？证明你的结论．

8、已知，一张矩形纸片ABCD的边长分别为9cm和3cm，把顶点A和C叠合在一起，得折痕EF（如图）．

（1）猜想四边形AECF是什么四边形，并证明你的猜想．

（2）求折痕EF的长．

考点四、正方形的性质及判定

【知识要点】 

（1）、正方形的边、角、对角线性质， 对称性

（2）、正方形判定方法

【典型例题】 

例1、如果一个平行四边形要成为正方形，需增加的条件是（　　）

   A、对角线互相垂直且相等             B、对角线互相垂直     

   C、对角线相等                         D、对角线互相平分

例2、在正方形ABCD所在的平面上，到正方形三边所在直线距离相等的点有（     ）

   A、3个           B、4个           C、5个          D、6个

例3、如图，AB是CD的垂直平分线，交CD于点M，过点M作ME⊥A C，MF⊥AD，垂足分别为E、F．

（1）求证：∠CAB=∠DAB；

（2）若∠CAD=90°，求证：四边形AEMF是正方形．

例4、已知：如图，△ABC中，D是BC上任意一点，DE∥AC，DF∥AB．

①试说明四边形AEDF的形状，并说明理由．

②连接AD，当AD满足什么条件时，四边形AEDF为菱形，为什么？

③在②的条件下，当△ABC满足什么条件时，四边形AEDF为正方形，不说明理由．

例5、如图所示，顺次延长正方形ABCD的各边AB，BC，CD，DA至E，F，G，H，且使BE=CF=DG=AH．求证：四边形EFGH是正方形．

例6、四边形ABCD是正方形，E、F分别是DC和CB的延长线上的点，且DE=BF，连接AE、AF、EF．

（1）求证：△ADE≌△ABF；

（2）若BC=8，DE=6，求△AEF的面积．

例7、如图所示，有四个动点P，Q，E，F分别从正方形ABCD的四个顶点出发，沿着AB，BC，CD，DA以同样速度向B，C，D，A各点移动．

（1）试判断四边形PQEF是否是正方形，并证明；

（2）PE是否总过某一定点，并说明理由．

例8、如图，在四边形ABCD中，AB=DC，E、F分别是AD、BC的中点，G、H分别是对角线BD、AC的中点．

（1）求证：四边形EGFH是菱形；

（2）若AB=1，则当∠ABC+∠DCB=90°时，求四边形EGFH的面积．

例9、正方形ABCD中，点O是对角线DB的中点，点P是DB所在直线上的一个动点，PE⊥BC于E，PF⊥DC于F.

  (1)当点P与点O重合时(如图①)，猜测AP与EF的数量及位置关系，并证明你的结论；

  (2)当点P在线段DB上 (不与点D、O、B重合)时(如图②)，探究(1)中的结论是否成立？若成立，写出证明过程；若不成立，请说明理由；

  (3)当点P在DB的长延长线上时，请将图③补充完整，并判断(1)中的结论是否成立？若成立，直接写出结论；若不成立，请写出相应的结论.

举一反三：

1、以A、B两点做其中两个顶点作位置不同的正方形，可作（     ）

   A、1个          B、2个          C、3个           D、4个

2、四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，设有下列条件：①AB=AD；②∠DAB=90°；③AO=CO，BO=DO；④矩形ABCD；⑤菱形ABCD，⑥正方形ABCD，则在下列推理不成立的是（  　）

   A、①④⇒⑥     B、①③⇒⑤    C、①②⇒⑥    D、②③⇒④

3、如图，E、F分别是正方形ABCD的边CD、AD上的点，且CE=DF,AE、BF相交于点O,下列结论①AE=BF；②AE⊥BF；③AO=OE；④S△AOB=S四边形DEOF（S表示面积）中，正确的有（     ）

A、1个        B、2个         C、3个         D、4个

4、如图，边长为6的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为S1，S2，则S1+S2的值为（  　）

   A、16           B、17             C、18            D、19

5、如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，BE=2，AE=3BE，P是AC上一动点，则PB+PE的最小值是　    　．

     （3）                    （4）                       （5）

6、如图1，在正方形ABCD中，E、F分别是边AD、DC上的点，且AF⊥BE．

（1）求证：AF=BE；

（2）如图2，在正方形ABCD中，M、N、P、Q分别是边AB、BC、CD、DA上的点，且MP⊥NQ．MP与NQ是否相等？并说明理由．

7、已知：如图正方形ABCD中，E为CD边上一点，F为BC延长线上一点，且CE=CF ；

（1）求证：△BCE≌△DCF；

（2）若∠FDC=30°，求∠BEF的度数．

8、如图，在正方形ABCD中，点E是对角线AC上一点，且CE=CD，过点E作EF⊥AC交AD于点F，连接BE．

（1）求证：DF=AE；   （2）当AB=2时，求BE2的值．

第三部分  课后作业

1、.已知四边形ABCD中,AC交BD于点O,如果只给条件“AB∥CD”,那么还不能判定四形ABCD为平行四边形,给出以下四种说法:

（1）如果再加上条件“BC=AD”,那么四边形ABCD一定是平行四边形;

（2）如果再加上条件“”,那么四边形ABCD一定是平行四边形;

（3）如果再加上条件“AO=OC”,那么四边形ABCD一定是平行四边形;

（4）如果再加上条件“”,那么四边形ABCD一定是平行四边形

其中正确的说法是（    ）

  A、(1)(2)        B、(1)(3)(4)         C、(2)(3)         D、(2)(3)(4)

2、如图,直线∥, A是直线上的一个定点,线段BC在直线上移动,那么在移动过程中的面积（     ）

A、变大         B、变小        C、不变        D、无法确定

3、如图,矩形ABCD沿着AE折叠,使D点落在BC边上的F点处,如果,则 等于（    ）

A、            B、          C、           D、 

             （2）                                 （3）

4、图1是一个边长为1的等边三角形和一个菱形的组合图形，菱形边长为等边三角形边长的一半，以此为基本单位，可以拼成一个形状相同但尺寸更大的图形（如图2），依此规律继续拼下去（如图3），……，则第n个图形的周长是（   ）

    A、           B、           C、           D、

5、如图，点O是矩形ABCD的中心，E是AB上的点，沿CE折叠后，点B恰好与点O重合，若BC=3，则折痕CE的长为（    ）

   A、2             B、            C、            D、6 

6、如图，正方形ABCD中，AB＝6，点E在边CD上，且CD＝3DE．将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连结AG、CF．下列结论：①△ABG≌△AFG；②BG＝GC；③AG∥CF；④S△FGC＝3．其中正确结论的个数是（    ）

   A、1                B、2                C、3                D、4

      （5）                    （6）                 （8）

7、把“直角三角形、等腰三角形、等腰直角三角形”填入下列相应的空格上.

（1）正方形可以由两个能够完全重合的                    拼合而成;

（2）菱形可以由两个能够完全重合的                      拼合而成;

（3）矩形可以由两个能够完全重合的                      拼合而成.

8、根据图中所给的尺寸和比例,可知这个“十”字标志的周长为         .

9、如图，请在下列四个关系中，选出两个恰当的关系作为条件，推出四边形是平行四边形，并予以证明．（写出一种即可）关系：①∥，②，③，④．

已知：在四边形中，　　　　　，　　　　；求证：四边形是平行四边形．

10、如图所示，已知E，F分别是矩形ABCD的边BC，CD上两点，连接AE，BF，请你再从下面四个反映图中边角关系的式子：①AB=BC；②BE=CF；③AE=BF；④∠AEB=∠BFC中选出两个作为已知条件，一个作为结论，组成一个命题，并证明这个命题是否正确（只需写出一种情况）． 

11、在Rt△ABC中，∠ACB=90°CD⊥AB于点D，∠ACD=3∠BCD，点E是斜边AB的中点，求∠ECD的度数。

12、如图，在平行四边形ABCD中，E为BC边上的一点，连结AE、BD且AE=AB．

（1）求证：∠ABE=∠EAD；

（2）若∠AEB=2∠ADB，求证：四边形ABCD是菱形．

13、已知：如图，正方形ABCD中，点E在BC的延长线上，AE分别交DC，BD于F，G，点H为EF的中点．

求证：（1）∠DAG=∠DCG； （2）GC⊥CH．

14、如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AG∥CD交BC于点G，点E、F分别为AG、CD的中点，连接DE、FG．

（1）求证：四边形DEGF是平行四边形；

（2）当点G是BC的中点时，求证：四边形DEGF是菱形．

15、如图，已知点在的边上，交于，交于．

（1）求证：；

（2）若平分，试判断四边形的形状，并说明理由；

（3）在(2)的条件下,当AB、BC满足什么条件时, 四边形是正方形，并说明理由．

第12讲   平行四边形复习训练

参

第二部分  考点精讲精练

考点一、平行四边形的性质及判定

【典型例题】 

例1、D 

例2、25°

例3、B

例4、C

例5、B

例6、

例7、

例8、

举一反三：

1、C

2、D

3、B

4、9

5、

6、

7、

8、

考点二、矩形的性质及判定

【典型例题】 

例1、A

例2、C

例3、2

例4、

例5、解：AB=BC时，四边形PEMF是矩形．

∵在矩形ABCD中，M为AD边的中点，AB=BC，

∴AB=DC=AM=MD，∠A=∠D=90°，

∴∠ABM=∠MCD=45°，     ∴∠BMC=90°，

又∵PE⊥MC，PF⊥MB，

∴∠PFM=∠PEM=90°，    ∴四边形PEMF是矩形．

例6、

例7、

例8、

举一反三：

1、D

2、D

3、C

4、C

5、

6、

7、

考点三、菱形的性质及判定

【典型例题】 

例1、D

例2、∠BAC=90°　； AD平分∠BAC　．

例3、解：∵CE∥BD，DE∥AC，

∴四边形CODE是平行四边形，

∵四边形ABCD是矩形，

∴AC=BD=4，OA=OC，OB=OD，

∴OD=OC=AC=2，

∴四边形CODE是菱形，

∴四边形CODE的周长为：4OC=4×2=8．  故答案为：8．

例4、解：如图，延长EA，BC相交于点F，CG⊥EF于G，BH⊥EF于H，

因为∠EAB=∠CBA=120°，

所以∠FAB=∠FBA=60°，

所以△FAB为等边三角形，

AF=FB=AB=2，

所以CD=DE=EF=FC=4，   所以四边形EFCD是菱形，

所以SABCDE=SCDEF﹣S△ABF 

例5、（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，∠A=90°，

∴∠MDO=∠NBO，∠DMO=∠BNO，

在△DMO和△BNO中，

，

∴△DMO≌△BNO（ASA），

∴OM=ON，

∵OB=OD，

∴四边形BMDN是平行四边形，

∵MN⊥BD，

∴平行四边形BMDN是菱形．

（2）解：∵四边形BMDN是菱形，

∴MB=MD，

设MD长为x，则MB=DM=x，

在Rt△AMB中，BM2=AM2+AB2

即x2=（8﹣x）2+62，

解得：x=．   答：MD长为．

例6、（1）证明：如图，连接AC，

∵四边形ABCD是菱形，

∴∠CAE=∠CAF，

在△ACE和△ACF中，

，

∴△ACE≌△ACF（SAS），

∴EC=FC；

（2）解：连接EF，

∵AE=AF，∠A=60°，

∴△AEF是等边三角形，

∴△AEF的周长=3AE=3×2=6．

例7、

例8、

举一反三：

1、D

2、C

3、解：四边形ABCD是菱形．

证明：在△ABE、△ACF中

∵AB=AC，AE=AF

∠BAE=60°﹣∠EAC，∠CAF=60°﹣∠EAC

∴∠BAE=∠CAF

∴△BAE≌△CAF

∵∠CFA=∠CFE+∠EFA=∠CFE+60°

∠BEA=∠ECA+∠EAC=∠EAC+60°

∴∠EAC=∠CFE

∵∠DAF=∠CFE

∴∠EAC=∠DAF

∵AE=AF，∠AEC=∠AFD

∴△AEC≌△AFD

∴AC=AD，且∠D=∠ACE=60°

∴△ACD和△ABC都是等边三角形

∴四边形ABCD是菱形．

4、

5、

6、

7、

8、

考点四、正方形的性质及判定

【典型例题】 

例1、A

例2、C

例3、

（1）证明：∵AB是CD的垂直平分线，

∴AC=AD，

又∵AB⊥CD

∴∠CAB=∠DAB（等腰三角形的三线合一）；

（2）证明：∵ME⊥A C，MF⊥AD，∠CAD=90°，

即∠CAD=∠AEM=∠AFM=90°，

∴四边形AEMF是矩形，

又∵∠CAB=∠DAB，ME⊥A C，MF⊥AD，

∴ME=MF，

∴矩形AEMF是正方形．

例4、

解：①∵DE∥AC，DF∥AB，

∴四边形AEDF为平行四边形；

②∵四边形AEDF为菱形，

∴AD平分∠BAC，

则AD平分∠BAC时，四边形AEDF为菱形；

③由四边形AEDF为正方形，∴∠BAC=90°，

∴△ABC是以BC为斜边的直角三角形即可．

例5、证明：∵四边形ABCD是正方形，

∴AB=BC=CD=DA，∠EBF=∠HAE=∠GDH=∠FCG，

又∵BE=CF=DG=AH，

∴CG=DH=AE=BF

∴△AEH≌△CGF≌△DHG，

∴EF=FG=GH=HE，∠EFB=∠HEA，

∴四边形EFGH为菱形，

∵∠EFB+∠FEB=90°，∠EFB=∠HEA，

∴∠FEB+∠HEA=90°，

∴四边形EFGH是正方形．

例6、（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，

∴AD=AB，∠D=∠ABC=90°，

而F是CB的延长线上的点，  ∴∠ABF=90°，

在△ADE和△ABF中，

，

∴△ADE≌△ABF（SAS）；

（2）解：∵BC=8，

∴AD=8，

在Rt△ADE中，DE=6，AD=8，

∴AE==10，

∵△ABF可以由△ADE绕旋转中心 A点，按顺时针方向旋转90°得到，

∴AE=AF，∠EAF=90°，

∴△AEF的面积=AE2=×100=50．

例7、解：（1）在正方形ABCD中，AP=BQ=CE=DF，AB=BC=CD=DA，

∴BP=QC=ED=FA．

又∵∠BAD=∠B=∠BCD=∠D=90°，

∴△AFP≌△BPQ≌△CQE≌△DEF．

∴FP=PQ=QE=EF，∠APF=∠PQB．

∴四边形PQEF是菱形，

∵∠FPQ=90°，

∴四边形PQEF为正方形．

（2）连接AC交PE于O，

∵AP平行且等于EC，

∴四边形APCE为平行四边形．

∵O为对角线AC的中点，

∴对角线PE总过AC的中点．

例8、（1）证明：∵四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AD、BC、BD、AC的中点，

∴FG=CD，HE=CD，FH=AB，GE=AB．

∵AB=CD，

∴FG=FH=HE=EG．

∴四边形EGFH是菱形．

（2）解：∵四边形ABCD中，G、F、H分别是BD、BC、AC的中点，

∴GF∥DC，HF∥AB．

∴∠GFB=∠DCB，∠HFC=∠ABC．

∴∠HFC+∠GFB=∠ABC+∠DCB=90°．

∴∠GFH=90°．

∴菱形EGFH是正方形．

∵AB=1，

∴EG=AB=．

∴正方形EGFH的面积=（）2=．

例9、（1）AP=EF，AP⊥EF，理由如下： 

连接AC，则AC必过点O，延长FO交AB于M；

∵OF⊥CD，OE⊥BC，且四边形ABCD是正方形，

∴四边形OECF是正方形，

∴OM=OF=OE=AM，

∵∠MAO=∠OFE=45°，∠AMO=∠EOF=90°，

∴△AMO≌△FOE，

∴AO=EF，且∠AOM=∠OFE=∠FOC=45°，即OC⊥EF，

故AP=EF，且AP⊥EF.

（2）题（1）的结论仍然成立，理由如下：

延长AP交BC于N，延长FP交AB于M；

∵PM⊥AB，PE⊥BC，∠MBE=90°，且∠MBP=∠EBP=45°，

∴四边形MBEP是正方形，

∴MP=PE，∠AMP=∠FPE=90°；

又∵AB-BM=AM，BC-BE=EC=PF，且AB=BC，BM=BE，

∴AM=PF，

∴△AMP≌△FPE，

∴AP=EF，∠APM=∠FPN=∠PEF

∵∠PEF+∠PFE=90°，∠FPN=∠PEF，

∴∠FPN+∠PFE=90°，即AP⊥EF，

故AP=EF，且AP⊥EF．

（3）题（1）（2）的结论仍然成立；

如右图，延长AB交PF于H，证法与（2）完全相同

举一反三：

1、C

2、C

3、C

4、B

5、10

6、解答：（1）证明：在正方形ABCD中，AB=AD，∠BAE=∠D=90°，

∴∠DAF+∠BAF=90°，

∵AF⊥BE，

∴∠ABE+∠BAF=90°，

∴∠ABE=∠DAF，

∵在△ABE和△DAF中，

，

∴△ABE≌△DAF（ASA），

∴AF=BE；

（2）解：MP与NQ相等．

理由如下：如图，过点A作AF∥MP交CD于F，过点B作BE∥NQ交AD于E，

则与（1）的情况完全相同．

7、证明：∵四边形ABCD是正方形，

∴BC=DC，∠BCD=90°

∵F为BC延长线上的点，

∴∠DCF=90°，

∴∠BCD=∠DCF，

在△BCE和△DCF中，

，

∴△BCE≌△DCF（SAS）；

（2）∵△BCE≌△DCF，

∴∠EBC=∠FDC=30°，

∴∠BEC=60°，

∵∠DCF=90°，CE=CF，

∴∠FEC=45°，

∴∠BEF=∠BEC+∠FEC=60°+45°=105°．

8、

第三部分  课后作业

1、C

2、C

3、A

4、C

5、A

6、C

7、(1)等腰直角三角形;   (2)等腰三角形;   (3)直角三角形.  

8、4     

9、

10、

11、

12、

13、

14、

15、