高中数学竞赛试题及解答

试题（一）　　　　　　      

1、过圆的直径AB上一定点C作任意弦DE，过B作圆的切线L，并设直线AD与直线AE分别与L交于F、G。若 求。(12分)

2、证明的三次方程式

　　只有一个正实根。(12分)

3、试证明2009不能表示成三个正整数的立方和。(12分)

四、有各张分别标有的一叠张卡片。洗过卡片后，重复进行以下操作：若最上面一张卡片的标号是，则将前张卡片的顺序颠倒；例如，若且卡片排列成3124，则操作一次后的卡片将排列成2134。证明：经过有限次操作后，标号为的卡片会在最上面。(13分)

试题（二）

一、求。(3分)

二、设为实数且满足，求的最小值。(3分)

三、空间中一四面体的四个顶点分别为　，平面E通过A点与中点且与有交点。若平面E将此四面体分成两块，其中一块的体积为原四面体的，求E的方程式。(3分)

四、求，其中表示小于或等于x的最大整数，例如。(4分)

五、假设有5根电线杆，其中有2根会漏电，以致于停在它们上面的小鸟会立刻被电昏而摔落地面。今有5只小鸟各自的随机选择其中一根电线杆逗留休息，试计算只有2根电线杆上有小鸟的机率。(4分)

　　　　试题（一）解答　　

1、【解】

过C作HI//FG，与AF, AG分别交I和H，连结BE, BH。因, ，所以四边形CBEH是圆内接四边形

而

由此可知，B, H, A, I共圆

       (1)

又 

　　　      (2)

　　由(1), (2), 

　　　　　 , .

2、【证】

令 

则 , 

由堪根定理，0与100之间有一个根r

令 

得  

              (1)

                    (2)

由(2) 

由(1) 

皆为正数      for 

没有第二个正根。

3、【解】

7是2009的因子，我们观察立方数被7除的余数为。而被7除的余数相加要等于0，必分别为或。也就是说必有一数为7之倍数。设z为7的倍数，因且，我们有。故。设，因，或11（）而相应或335，二数皆非立方数。因此不存在正整数满足。

4、【证】

对n作数学归纳法。当时结论显然成立。

设经过若干次操作后，n张卡片中的1号卡片在最上面。则当有张卡片时：

(1)标的卡片在最上面，或经过若干次操作后标的卡片在最上面。则下一次操作时标的卡片会在最下面。因此对前张卡片由归纳假设，可知经过若干次操作后1的卡片会在最上面。

(2)标的卡片永远不会出现在最上面。因此最下面的卡片永远不会动。将标的卡片与这张卡片对调，不影响操作(因为两张卡片都永远不会出现在最上面)。于是对调后对前n张卡片由归纳假设，可知经过若干次操作后1的卡片会在最上面。

由(1)(2)及数学归纳法得证。

试题（二）解答

1、【解】

2、【解】

由

知 有最小值时，亦得最小值；反之亦然。

因为的最小值发生在，此时，故的最小值为。

3、【解】

设为中点，此题即在上取一点，使得。

设且，郥由分点公式可知

过作一平行的直线，交于一点，此为所求

 ，设 （t, 2t, 0）

 .

 ，　i.e. 

    过的平面E可设为

平面E包含直线且过，代入上式可得

 .

4、【解】

 , , , 的值均为

令　　　　　　(1)

　　　　　　　(2)

 .

5、【解】

所求的事件的机率为

  （k只停在漏电的电线杆且只停在另2根不漏电的电线杆）　

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