极坐标系及其与直角坐标系的互换

教学目标: 

一、知识与技能：

知道在极坐标系中刻画点的位置的方法；

二、方法与过程

借助生活中的实例引入极坐标的概念；比较点在极坐标系和平面直角坐标系中的坐标关系

三、情感、态度与价值观

体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别；

教学重点: 极坐标（，）与平面上的点的关系

教学难点：极坐标（，）与平面上的点的关系；

教学过程

一、新课引入：

直角坐标系是最常用的坐标系，但它不是用数来刻画点的位置的唯一方法，用哪种方法最方便，要对具体问题作具体分析。

   如力所示，缉私观测站位于点O处，看到们于点A处的走私船正在逃跑，现停泊于点O处的缉私船追击走私船，随时需要观测站提供走私船所在的位置P。对船舶来说，最方便的数据不是走私船所在点的直角坐标（，），而是它的方位角，即夹角。在航空和航海中的情况都是这样。

   当用炮兵指挥仪指示射击目标时，输出的是目标方位，即方向和距离。在日常生活中，我们也经常用距离和角度指示位置。用距离和方向刻画点的位置，这是建立极坐标系的基本思路。

二、讲解新课：

在平面内取定一点O，O点叫作极点：从O起引一条射线O，这条从极点起的射线O叫作极轴；选定长度单位，再选定角度的下方向（逆时针转角为正向），这种取定了极点、极轴、长度单位与角度正向的坐标系叫作极坐标系。

对于平面上的一个点M，连接极点O与M，线段OM之长叫作M点的极径（或矢径、或向径），极轴O为始边按逆时针转到OM的角叫作M点的极角，有序数对（，）叫作M点的极坐标。

当M在极点时，它的极径=0，极角可取任何实数。

在极坐标系中，若无特殊声明，是非负实数，，。

当时，平面上的点与极坐标一一对应。事实上，对给定的与，由极坐标（，）可以唯一地确定一个点M，但是反过来，平面上给定一点，却可以写出这个点的无数多个极坐标。根据点的极坐标（，）的定义，对于给定的点，它的极径是唯一确定的，但极角却可以有无穷多种，如果我们写出了它的极坐标（，），则（，）也是这个点的极坐标，其中是任意整数，当时，表示从该点起绕极点O逆时针转动了圈又回到原处，当时，表示从该点起绕极点O顺时针转动了圈又回到原处。

三、范例讲解

例1、在极坐标系中，画出点A（1，），B（2，）C（3，）D（4，）

解析：在极坐标系中，先按极角找到极径所在的射线，即线，线，线，线，线和线是同一条射线，然后在相应的射线上按极径的数值描点。

指出：我们也可以允许，此时极坐标（，）对应的点M的位置按下面规则确定：点M在与极轴成角的射线的反向延长线上，它到极为O的距离||，即规定当时，点M（，）就是点M（）

例2、如图在极坐标系中，写出点A，B，C，的极坐标，

解析：在极坐标系中，一般先按点与极点的距离求出极径的数值，然后按照极径所在的射线的位置求出极角。如图点A与极点O的距离为了，且在极轴上，所以A的极坐标为（1，0），同样可求得B，C的极坐标分别为（4，），（5，）

指出：已知点的位置求极坐标时，如果没有特殊要求，只要求一个解就可以了，由于点的极坐标的多值性，在需要写出通式的时候，求出一个解（，）后，再写出其通式（，）或（）

例3、已知点Q（，），分别按下列条件求出点P的极坐标。

（1）M是点Q关于极点的对称点：（2）N是点Q关于直线的对称点

解：（1）由于M、Q关于极点对称得它们的极径OQ=OM，极角角相差，所以点M的极坐标为（，）或（）（）

（2）由于点Q、N关于直线的对称，得它们的极径OQ=ON，点N的极角满足所以点N的极坐标为（，）

或（）（）

例4、已知两点的极坐标A（3，），B（3，），

求AB两点间的距离；AB与极轴正方向所成的角。

解法一：根据极坐标的定义，可得|OA|=|OB|=3，∠AOB=，

即△AOB为等边三角形，所以|AB|=3，∠ACX=

法二：∵A 、B两点的极坐标分别为（3，），（3，），

∴|OA|=|OB|=3，∠AOC=，∠BOC=了     ∴∠AOB=，

在△AOB中，由余弦定理可得

   ==3

即△AOB为等边三角形，∠ACX=∠AOC+∠OAB=

四、巩固练习：

1、已知两点的极坐标P（5，），Q（1，），求线段PQ的长度

2、已知点A的极坐标（6，）分别写出给定条件下点A的极坐标

①若；则A          

②若，则A          

③若，则A          

五、小结，，则

1、要注意直角坐标与极坐标的区别，直角坐标系中平面上的点与有序数对（，）是一一对应的，在极坐标系中，平面上的点与有序数对（，）不是一一对应，只有在规定的前提下，并除极点外，点与极坐标之间才一一对应，在解题时要注意极坐标的多种表示形式。

2、一般地，极坐标（，）与（，）表示同一个点，特别地，极点O的坐标为（0，）和直角坐标不同，平面内一个点的极坐标有无数种表示。

六、课后作业：

课本24页  习题2，4，

教学反思：

§1.3.2极坐标系

教学目标: 

一、知识与技能：

知道在极坐标系中刻画点的位置的方法；掌握简单图形（过极点的直线、圆心在极点的圆、圆心有极轴，过极点的圆以及阿基米德螺线）的极坐标方程

二、方法与过程

借助生活中的实例引入极坐标的概念；研究简单图形的极坐标方程的特点；比较简单图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程。

三、情感、态度与价值观

体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别；体会在用方程刻画平面图形时选择适当坐标系的意义；通过阿基米德螺线，感受数学的文化价值。

教学重点:几类简单图形（过极点的直线、圆心在极点的圆、圆心有极轴，过极点的圆以及阿基米德螺线）的极坐标方程

教学难点：几类简单图形的极坐标方程的推导

教学过程

一、新课引入：

1、在平面内取定一点O，O点叫作极点：从O起引一条射线O，这条从极点起的射线O叫作极轴；选定长度单位，再选定角度的下方向（逆时针转角为正向），这种取定了极点、极轴、长度单位与角度正向的坐标系叫作极坐标系。建立极坐标系的要素是：极点、极径、长度单位、角度单位和它的正方向

2、对于平面上的一个点M，连接极点O与M，线段OM之长叫作M点的极径（或矢径、或向径），极轴O为始边按逆时针转到OM的角叫作M点的极角，有序数对（，）叫作M点的极坐标。当在建立了极坐标系的平面内给定一个点时，这个点的极坐标却不上唯一确定的，它可以有无数多种表示。

3、一般说来，由点求极坐标时，一般先按点与极点的距离求出极径的数值，并给出正号，然后按照它所在的直线的位置求出极角。

  二、讲解新课：

在平面直角坐标系中，许多曲线的方程变得十分简洁，而且几何形象也表达得十分明确。所谓曲线L的极坐标方程是指L上的动点的极坐标的极径与极角满足的方程或

1、过极点直线的极坐标方程

在平面直角坐标系中，过原点O的直线方程形如：，其中是实数，叫作斜率， ，是此直线与O轴的夹角，这个角是多大，一般从上不易看出来，需要计算。但在极坐标中，我们取O的正方向为极轴，则过极点O的射线方程写成）

如果我们充许极径取负值，约定M （，）关于极点对称点N的极坐标写成N（），于是过原点与轴夹角为的直线的极坐标方程为

如与轴夹角为过原点的直线的极坐标方程为=

2、圆心在极点的圆的极坐标方程       =

方程=的含义是动点的极径恒为，是个常数；而方程=无极角，表示可以任意变化，当极径是常数，极角任意时，即动保持与O点等距地转动，这正是圆规在画圆。

3、圆心在极轴，过极点的圆的极坐标方程

如图中画的是过极点，其中心在极轴的圆，设其半径为

设此圆上任取一点M的极坐标为（，），由于OA是直径，所以∠OMA=，于是，即从而得与满足的方程为： =2

4、阿基米德螺线

一个动点M随时间的增加绕定点O逆（或顺）时针匀速绕动，同时离O点越来越远，它远离O点的直线距离也是匀速增长的，如果把O点定为极坐标的极点，M与O点的直线距离就是向径，转角就是极角，由于与的增加所用的时间是一致的，设开始时，动点在极点，则时间为（）

一般地，将该式写成

表示的曲线叫作阿基米德螺线，由于它向径的扩张与转角的变化皆为等速的，所以也称其为等速螺线。

三、范例讲解

例1、（1）求过点A（2，）且平行于极轴的直线的极坐标方程；

（2）过点A（3，）且和极轴成角的直线的极坐标方程

思路点拔：在已给极坐标系中，要想求直线的极坐标方程，就必须先寻找到几何等式。按照常规思路需构造关键三角形，利用关键三角形的边角关系引出几何意义。

解法一：如图，在直线上任取一点M（，）

在△OAM中 |OA|=2  |OM|=   

H

∠OAM=（或）    ∠OMA=（或）

在△OAM中由正弦定理得： 

∴

解法二：如图在直线上任取一点M（，）过M作MH⊥极轴于H点，

|MH|=2=

B

在RT△OHM，|HM|=|OM|      即

（2）∠MBx=，∠OAB==

∴∠OMA=

在△MOA中，根据正弦定理

∴化简得直线的极坐标方程为： 

本题利用三角形法求出了直线方程，三角形法的步骤是：先根据题意作出（寻找）关键三角形，利用解三角形的知识列出几何等式，再将几何等式坐标化，化简、整理即得所求直线的极坐标方程。

例2、在极坐标系中，求以Q（，）为圆心，以为半径的极坐标方程

解：由已知条件可知，此圆过极点。设点M（，）为圆上任意一点，连结OQ交圆于点N，则ON为圆的直径，连结MN，则△OMN为直角三角形。

∠NOM=  |ON|=2

∴|OM|=|OM|   即=2

这就是所求的圆的极坐标方程。

四、巩固练习：

1、设极点O到直线的距离为，由点O向直线作垂线OA，由极轴到垂线OA的角度为（如图所示）求已知直线的极坐标方程

x

2、判断两圆和的位置关系

五、小结

几类特殊曲线的极坐标方程

1、过极点直线的极坐标方程

2、过已知点A（，）且平行于极轴的直线的极坐标方程： 

3、过已知点A（，）且垂直于极轴的直线的极坐标方程： 

4、过点A（，）且和极轴成角的直线的极坐标方程： 

5、极点O到直线的距离为，由点O向直线作垂线OA，由极轴到垂线OA的角度为的直线的极坐标方程： 

6、圆心在极点的圆的极坐标方程： =

7、圆心在极轴，过极点的圆的极坐标方程=2

8、以（，）为圆心，以为半径的圆（即圆过极点）极坐标方程=2

9、阿基米德螺线

六、课后作业：

课本24页  习题3，4，5，6

教学反思：

§1.4极坐标与平面直角坐标的互化

教学目标: 

一、知识与技能：掌握将曲线的平面直角坐标方程与极坐标方程互化的方法

二、方法与过程：通过具体的实例，研究两种坐标方程互化的方法

三、情感、态度与价值观：体会不的坐标系在处理不同的问题时各自所具有的优越性

教学重点:曲线的极坐标方程和平面直角坐标方程的互化

教学难点：将曲线的极坐标方程转化为平面直角坐标方程

教学过程

一、新课引入：

1、在平面内取定一点O，O点叫作极点：从O起引一条射线O，这条从极点起的射线O叫作极轴；选定长度单位，再选定角度的下方向（逆时针转角为正向），这种取定了极点、极轴、长度单位与角度正向的坐标系叫作极坐标系。

2、对于平面上的一个点M，连接极点O与M，线段OM之长叫作M点的极径（或矢径、或向径），极轴O为始边按逆时针转到OM的角叫作M点的极角，有序数对（，）叫作M点的极坐标。

3、几类特殊曲线的极坐标方程

①过极点直线的极坐标方程

②过已知点A（，）且平行于极轴的直线的极坐标方程： 

③过已知点A（，）且垂直于极轴的直线的极坐标方程： 

④过点A（，）且和极轴成角的直线的极坐标方程： 

⑤极点O到直线的距离为，由点O向直线作垂线OA，由极轴到垂线OA的角度为的直线的极坐标方程： 

⑥圆心在极点的圆的极坐标方程： =

⑦圆心在极轴，过极点的圆的极坐标方程=2

⑧以（，）为圆心，以为半径的圆（即圆过极点）极坐标方程=2

⑨阿基米德螺线

二、讲解新课：

在平面上的同一个点，它的平面直角坐标（，）与极坐标（，）之间有什么样的换算公式？同一条曲线，它在平面直角坐标系中的方程为或，在极坐标系中的方程为或，如果知道其中它的一种方程，如何换算出另一种方程呢？

我们把极轴与平面直角坐标系O的正半轴重合，且两种坐标系取相同的长度单位，设（，）是平面上的任意一点，如图，则

                        （1）

由（1）式可得         （2）

（1）与（2）是平面直角坐标系与极坐标系中同一点的直角坐标（，）与其极坐标（，）之间的换算公式。

三、范例讲解

例1、在平面直角坐标系中，把曲线的方程化为极坐标系中的方程。

解：把，代入方程得

即

  此方程我们在上节课得出过，它是圆心在极轴上，半径为，过极点的圆的极坐标方程。事实上恰为圆心在（，0），半径为的圆

例2、已知曲线的极坐标方程，求此曲线的直角坐标方程，其中与是正常数。

解：方程写成

把与代入得

两端平方化简得： 

当时，方程表示一个椭圆

当=1时，方程表示一条抛物线

当时，方程表示双曲线

极坐标方程是椭圆、抛物线、双曲线这三种圆锥曲线的统一的极坐标方程。

四、巩固练习：

1、把点M的极坐标（3，）化为直角坐标；

2、把点A的直角坐标（1，）化为极坐标。

3、写出圆心在点（，1），且过原点的圆的直角坐标方程，并把它化为极坐标方程。

4、把极坐标方程化为直角坐标方程

五、小结

平面直角坐标系与极坐标系中同一点的直角坐标（，）与其极坐标（，）之间的换算公式。

六、课后作业：

课本24页  习题7，8，9，10，11，12

教学反思：