高中数学 高考 抛物线

例1、一顶点在坐标原点，焦点在x轴上的抛物线截直线2x－y－4＝0所得的弦长为3，求抛物线方程．

分析：本题可用待定系数法，设抛物线方程为y2＝2px(p≠0)，由弦长公式求出待定系数p，从而确定抛物线的方程．

解：设抛物线方程为y2＝2px(p≠0)，将直线方程y＝2x－4代入整理得：2x2－(8＋p)x＋8＝0．　设方程的两个根为x1、x2，则根据韦达定理有x1＋x2＝，x1x2＝4．

　　由弦长公式得：(3)2＝(1＋22)［(x1＋x2)2－4x1x2］　即9＝()2－16

　　整理得p2＋16p－36＝0，解得p＝2或p＝－18，此时Δ>0．

　　故所求的抛物线方程为y2＝4x或y2＝－36x．

例2、正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线y2＝2px(p>0)上，求这个正三角形的边长．

分析：　结合图形可知，正三角形及抛物线都是轴对称图形，如果能证明x轴是它们的公共对称轴，则容易求出边长．

解：如图所示，设正三角形OAB的顶点A、B在抛物线上，且坐标分别为A(x1，y1)、B(x2，y2)，则y12＝2px1，y22＝2px2．

又|OA|＝|OB|，所以x12＋y12＝x22＋y22，即x12－x22＋2px1－2px2＝0，

整理得：(x1－x2)(x1＋x2＋2p)＝0．∵x1>0，x2>0，2p>0．

∴x1＝x2，由此可得|y1|＝|y2|，即线段AB关于x轴对称．

由此得∠AOx＝30°，所以y1＝x1，与y12＝2px1联立解得y1＝2p．

∴|AB|＝2y1＝4p．

例3、正方形ABCD的边AB在直线y＝x＋4上，C、D两点在抛物线y2＝x上，求正方形ABCD的面积．

分析：设直线CD的方程，代入抛物线方程，利用两点间的距离公式和点到直线的距离公式求解．

解：　依题意，设直线CD的方程为y＝x＋b，C(x1，y1)、D(x2，y2)．将直线CD方程代入抛物线方程，消去x，得y2－y＋b＝0．

由韦达定理得：y1＋y2＝1，y1y2＝b．

∴|CD|＝．又CD和AB间的距离d＝，

由＝，解之得b1＝－2，b2＝－6．∴|CD|＝3或|CD|＝5，∴S＝18或S＝50．

例4、直线l通过抛物线y2＝2px(p≠0)的焦点，并且与抛物线相交于A(x1，y1)和B(x2，y2)两点．

(1)求证：y1y2＝－p2；

(2)点C在抛物线的准线上，并且AC∥x轴，求证：B、C和抛物线的顶点三点共线．

分析：斜率相等是描述三点共线的简便方法，但对于(1)应区分AB是否平行于y轴．

证明：　(1)若AB平行于y轴，则x1＝x2＝．

　　∵y12＝2px1，y22＝2px2．∴(y1y2)2＝4p2x1x2＝p4，又y1与y2异号．∴y1y2＝－p2．

　　若AB不平行于y轴，则x1≠x2，由A、B、F三点共线，

　　得　　①

　　∵y12＝2px1，y22＝2px2，∴x1＝，x2＝．

　　代入①，得，即，∴y1y2＝－p2．

　　(2)抛物线y2＝2px的顶点O(0，0)，准线方程为x＝－，

　　∵AC平行于x轴，且C在准线上，∴C(－，y1)，

　　∵kBO，kOC＝，∴kBO＝kOC．

　　故B、O、C三点共线．

例5、设抛物线y2=4x截直线y=2x＋k所得弦长|AB|=3．

　　(1)求k的值；

　　(2)以弦AB为底边，x轴上的P点为顶点组成的三角形面积为39时，求点P的坐标．

分析：本题考查直线与抛物线的性质及综合运算能力．

解：　　(1)设A、B,由

　　得，∴k<．

　　又由韦达定理,∴|AB|=·=·.　即=3，∴k=－4．

　　(2)设x轴上点P(x，0)，P到AB的距离为d,则

　　d==,　S△PAB=·3·=39，

　　∴|2x－4|=26.　∴x=15或x=－11.　∴P点为(15，0)或(－11，0).

    例1. 设抛物线的顶点为（2，0），准线方程为x=-1，求焦点坐标。

    解：由题知，对称轴为x轴，又根据定义知，顶点（2，0）是点K（-1，0）与焦点F的中点，设F（a，0）

    例2. 点P到点（1，0）的距离比P到直线x+2=0的距离少1，求P点的轨迹方程。

    解：如图所示，由题设知：P到点F（1，0）与它到直线l：x=-1的距离相等。

    于是P的轨迹是抛物线，且方程为标准方程y2=2px（p>0）

    ∵p=2     ∴P点的轨迹方程为：y2=4x。

    例3. 点A、B在抛物线y2=2px上，若|OA|=|OB|，且△AOB的垂心是焦点F，求直线AB的方程。

    解： 

    例4. 抛物线y2=4x的焦点弦AB长为6，求AB中点M的坐标。

    解： 

    例5. 抛物线C的焦点F在y轴的正半轴，C上点M到F与到C内部点A（4，3）距离和的最小值为5，求C的标准方程。

    解： 

    例6. 设抛物线y2=2px（p>0）的焦点为F，经过F的直线交抛物线于A、B两点，点C在抛物线的准线上，且BC//x轴，证明直线AC经过原点O。

    证： 只证：kCO=kOA

     ∴AC经过原点O。