导数常见题型及知识点分析(名师总结)

重难点归纳

1深刻理解导数的概念，了解用定义求简单的导数表示函数的平均改变量，它是Δx的函数，而f′(x0)表示一个数值，即f′(x)= ，知道导数的等价形式

2求导其本质是求极限，在求极限的过程中，力求使所求极限的结构形式转化为已知极限的形式，即导数的定义，这是顺利求导的关键

3对于函数求导，一般要遵循先化简，再求导的基本原则，求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用，在实施化简时，首先必须注意变换的等价性，避免不必要的运算失误

4  复合函数求导法则，像链条一样，必须一环一环套下去，而不能丢掉其中的一环  必须正确分析复合函数是由哪些基本函数经过怎样的顺序复合而成的，分清其间的复合关系

典型题例示范讲解

例1求函数的导数

命题意图本题3个小题分别考查了导数的四则运算法则，复合函数求导的方法，以及抽象函数求导的思想方法这是导数中比较典型的求导类型

知识依托解答本题的闪光点是要分析函数的结构和特征，挖掘量的隐含条件，将问题转化为基本函数的导数

错解分析本题难点在求导过程中符号判断不清，复合函数的结构分解为基本函数出差错

技巧与方法先分析函数式结构，找准复合函数的式子特征，按照求导法则进行求导

(2)解y=μ3,μ=ax－bsin2ωx,μ=av－byv=x,y=sinγγ=ωx

y′=(μ3)′=3μ2·μ′=3μ2(av－by)′=3μ2(av′－by′)=3μ2(av′－by′γ′)

=3(ax－bsin2ωx)2(a－bωsin2ωx)

(3)解法一设y=f(μ),μ=,v=x2+1,则y′x=y′μμ′v·v′x=f′(μ)·v－·2x

=f′()··2x=

解法二y′=［f()］′=f′()·()′=f′()· (x2+1) ·(x2+1)′

=f′()· (x2+1) ·2x=f′()

例2利用导数求和

(1)Sn=1+2x+3x2+…+nxn－1(x≠0,n∈N*)

(2)Sn=C+2C+3C+…+nC,(n∈N*)

命题意图培养考生的思维的灵活性以及在建立知识体系中知识点灵活融合的能力

知识依托通过对数列的通项进行联想，合理运用逆向思维由求导公式(xn)′=nxn－1,可联想到它们是另外一个和式的导数关键要抓住数列通项的形式结构

错解分析本题难点是考生易犯思维定势的错误，受此影响而不善于联想

技巧与方法第(1)题要分x=1和x≠1讨论，等式两边都求导

解(1)当x=1时Sn=1+2+3+…+n=n(n+1);

当x≠1时，∵x+x2+x3+…+xn=,

两边都是关于x的函数，求导得(x+x2+x3+…+xn)′=()′

即Sn=1+2x+3x2+…+nxn－1=

(2)∵(1+x)n=1+Cx+Cx2+…+Cxn,两边都是关于x的可导函数，求导得

n(1+x)n－1=C+2Cx+3Cx2+…+nCxn－1,令x=1得，n·2n－1=C+2C+3C+…+nC,

即Sn=C+2C+…+nC=n·2n－1 

学生巩固练习

1 y=esinxcos(sinx)，则y′(0)等于(    )

A0            B1            C－1            D2

2经过原点且与曲线y=相切的方程是(    )

Ax+y=0或+y=0            Bx－y=0或+y=0

Cx+y=0或－y=0            Dx－y=0或－y=0

3若f′(x0)=2,  =_________

4设f(x)=x(x+1)(x+2)…(x+n),则f′(0)=_________

5已知曲线C1:y=x2与C2:y=－(x－2)2,直线l与C1、C2都相切，求直线l的方程

6求函数的导数

(1)y=(x2－2x+3)e2x;

(2)y=

7有一个长度为5 m的梯子贴靠在笔直的墙上，假设其下端沿地板以3 m/s 的速度离开墙脚滑动，求当其下端离开墙脚14 m时，梯子上端下滑的速度

8求和Sn=12+22x+32x2+…+n2xn－1 ,(x≠0,n∈N*)

参

1解析y′=esinx［cosxcos(sinx)－cosxsin(sinx)］,y′(0)=e0(1－0)=1答案B

2解析设切点为(x0,y0),则切线的斜率为k=,另一方面，y′=()′=,

故y′(x0)=k,即或x02+18x0+45=0

得x0(1)=－3, x0 (2)=－15,对应有y0(1)=3,y0(2)= ,因此得两个切点A(－3，3)或B(－15, ),

从而得y′(A)=  =－1及y′(B)=  ,

由于切线过原点，故得切线lA:y=－x或lB:y=－答案A

3解析根据导数的定义

f′(x0)=  (这时)

答案－1

4解析设g(x)=(x+1)(x+2)……(x+n),则f(x)=xg(x),

于是f′(x)=g(x)+xg′(x),f′(0)=g(0)+0·g′(0)=g(0)=1·2·…n=n！答案n!

5解设l与C1相切于点P(x1,x12),与C2相切于Q(x2,－(x2－2)2)

对于C1y′=2x,则与C1相切于点P的切线方程为

y－x12=2x1(x－x1),即y=2x1x－x12        ①

对于C2y′=－2(x－2),与C2相切于点Q的切线方程为

y+(x2－2)2=－2(x2－2)(x－x2),即y=－2(x2－2)x+x22－4        ②

∵两切线重合，∴2x1=－2(x2－2)且－x12=x22－4,

解得x1=0,x2=2或x1=2,x2=0∴直线l方程为y=0或y=4x－4

6解(1)注意到y＞0,两端取对数，得

lny=ln(x2－2x+3)+lne2x=ln(x2－2x+3)+2x

 (2)两端取对数，得

ln|y|= (ln|x|－ln|1－x|),

两边解x求导，得

7解设经时间t秒梯子上端下滑s米,则s=5－,

当下端移开14 m时，t0=,又s′=－ (25－9t2) ·(－9·2t)=9t,

所以s′(t0)=9×=0875(m/s)

8解(1)当x=1时，Sn=12+22+32+…+n2=n(n+1)(2n+1),当x≠1时，1+2x+3x2+…+nxn-1 =,

两边同乘以x,得x+2x2+3x2+…+nxn=

两边对x求导，得Sn=12+22x2+32x2+…+n2xn-1 =

第二部分：用导数求切线方程的四种类型

求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出切点及斜率，其求法为：设是曲线上的一点，则以的切点的切线方程为：．若曲线在点的切线平行于轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为．

下面例析四种常见的类型及解法．

类型一：已知切点，求曲线的切线方程

此类题较为简单，只须求出曲线的导数，并代入点斜式方程即可．

例1　曲线在点处的切线方程为（　　）

Ａ．        Ｂ．Ｃ．        Ｄ． 

解：由则在点处斜率，故所求的切线方程为，即，因而选Ｂ．

例2已知曲线Cy=x3－3x2+2x,直线l:y=kx,且l与C切于点(x0,y0)(x0≠0)，求直线l的方程及切点坐标

解由l过原点，知k= (x0≠0),点(x0,y0)在曲线C上，y0=x03－3x02+2x0,

∴=x02－3x0+2y′=3x2－6x+2,k=3x02－6x0+2又k=,∴3x02－6x0+2=x02－3x0+2

2x02－3x0=0,∴x0=0或x0=由x≠0,知x0=

∴y0=()3－3()2+2·=－∴k==－∴l方程y=－x切点(，－)

类型二：已知斜率，求曲线的切线方程

此类题可利用斜率求出切点，再用点斜式方程加以解决．

例3　与直线的平行的抛物线的切线方程是（　　）

Ａ．            Ｂ．Ｃ．            Ｄ． 

解：设为切点，则切点的斜率为．．

由此得到切点．故切线方程为，即，故选Ｄ．

评注：此题所给的曲线是抛物线，故也可利用法加以解决，即设切线方程为，代入，得，又因为，得，故选Ｄ．

类型三：已知过曲线上一点，求切线方程

过曲线上一点的切线，该点未必是切点，故应先设切点，再求切点，即用待定切点法．

例4  求过曲线上的点的切线方程．

解：设想为切点，则切线的斜率为．切线方程为．

．又知切线过点，把它代入上述方程，

得．解得，或．

故所求切线方程为，或，即，或．

评注：可以发现直线并不以为切点，实际上是经过了点且以为切点的直线．这说明过曲线上一点的切线，该点未必是切点，解决此类问题可用待定切点法．

类型四：已知过曲线外一点，求切线方程

此类题可先设切点，再求切点，即用待定切点法来求解．

例5　求过点且与曲线相切的直线方程．

解：设为切点，则切线的斜率为．切线方程为，

即．又已知切线过点，把它代入上述方程，得．

解得，即．

评注：点实际上是曲线外的一点，但在解答过程中却无需判断它的确切位置，充分反映出待定切点法的高效性．

例6　已知函数，过点作曲线的切线，求此切线方程．

解：曲线方程为，点不在曲线上．设切点为，

则点的坐标满足．因，

故切线的方程为．

点在切线上，则有．化简得，解得．

所以，切点为，切线方程为．

评注：此类题的解题思路是，先判断点A是否在曲线上，若点A在曲线上，化为类型一或类型三；若点A不在曲线上，应先设出切点并求出切点．

第三部分：导数的应用最大值与最小值

一、教学内容

导数的应用最大值与最小值

一般地，在闭区间上连续的函数在上必有最大值与最小值；在开区间内连续的函数不一定有最大值与最小值，例如在内的图象连续，但无最大值和最小值。

设函数在上连续，在内可导，求在上的最大值与最小值的步骤如下：

（1）求在内的极值；

（2）将的各极值与，比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。

二、【典型例题】

[例1] 求函数在区间上的最大值与最小值。

解：，令，有

当变化时，，的变化情况如下表：

[例2] 已知，的最大值为3，最小值，求、的值。

解：依题意，否则与已知矛盾令解得或（1）当时，由解得

令，解得，列表如下：

（2）当时，列表如下：

所以，当时，， 

[例3] 已知两个函数，，其中

（1）对任意的，都有成立，求的取值范围。

（2）对任意的，都有，求的取值范围。

解：（1）设，则对任意的，都有成立

，， 

，令，则或，列表如下：

（2）对任意，都有成立， 

先求， 

令得或，列表如下：

再求的最大值，，，，于是

[例4] 如图，在二次曲线的图象与轴所围成的图形中有一个内接矩形，求这个矩形的最大面积

解：设点B坐标，则点C坐标为， 

矩形ABCD的面积为

令得故当时，有S最大值为

【模拟试题】（答题时间：30分钟）

1. 函数（）在的最大值为5，最小值为，求的解析式。

2. 已知函数（1）若在上是增函数，求b的取值范围。

（2）若在时取得极值，且时，恒成立，求的取值范围。

3. 用总长14.8m的钢条制做一个长方形容器的框架，如果所制做容器的底面的一边比另一边长0.5m，那么高为多少时容积最大？并求出它的最大容积？

【试题答案】

1. 解： 

解之得， 

故解析式为

（1）在上是增函数恒成立

（2）易求得，当时， 

恒成立或

3. 解：设容器底面边长为，则另一边长为，高为

=则容器容积为

令有，（舍），故当时，有最大值，，此时高为1.2。

答：高为1.2m时，容积最大为。

第四部分：利用导数证明不等式的常见题型

技巧精髓

1、利用导数研究函数的单调性，再由单调性来证明不等式是函数、导数、不等式综合中的一个难点，也是近几年高考的热点。

2、解题技巧是构造辅助函数，把不等式的证明转化为利用导数研究函数的单调性或求最值，从而证得不等式，而如何根据不等式的结构特征构造一个可导函数是用导数证明不等式的关键。

一、利用题目所给函数证明

例1.已知函数，求证：当时，恒有

分析：本题是双边不等式，其右边直接从已知函数证明，左边构造函数，从其导数入手即可证明。

【绿色通道】

∴当时，，即在上为增函数

当时，，即在上为减函数

故函数的单调递增区间为，单调递减区间

于是函数在上的最大值为，因此，当时，，即∴（右面得证），

现证左面，令， 

当，

即在上为减函数，在上为增函数，

故函数在上的最小值为，

∴当时，，即

∴，综上可知，当

【警示启迪】如果是函数在区间上的最大（小）值，则有（或），那么要证不等式，只要求函数的最大值不超过就可得证．

2、直接作差构造函数证明

例2已知函数求证：在区间上，函数的图象在函数的图象的下方；

分析：函数的图象在函数的图象的下方问题，

即，只需证明在区间上，恒有成立，设，，考虑到

要证不等式转化变为：当时，，这只要证明：在区间是增函数即可。

【绿色通道】设，即，则=当时， =

从而在上为增函数，∴

∴当时，即，

故在区间上，函数的图象在函数的图象的下方。

【警示启迪】本题首先根据题意构造出一个函数（可以移项，使右边为零，将移项后的左式设为函数），并利用导数判断所设函数的单调性，再根据函数单调性的定义，证明要证的不等式。读者也可以设做一做，深刻体会其中的思想方法。

3、换元后作差构造函数证明

【例3】（2007年，山东卷）证明：对任意的正整数n，不等式都成立.

分析：本题是山东卷的第（II）问，从所证结构出发，只需令，则问题转化为：当时，恒有成立，现构造函数，求导即可达到证明。

【绿色通道】令，则在上恒正，所以函数在上单调递增，∴时，恒有

即，∴

对任意正整数n，取

【警示启迪】我们知道，当在上单调递增，则时，有．如果＝，要证明当时， ，那么，只要令＝－，就可以利用的单调增性来推导．也就是说，在可导的前提下，只要证明０即可．

4、从条件特征入手构造函数证明

【例4】若函数y=在R上可导且满足不等式x>－恒成立，且常数a，b满足a>b，求证：．a>b        

【绿色通道】由已知x+>0 ∴构造函数，则x+>0，从而在R上为增函数。∴即a>b

【警示启迪】由条件移项后，容易想到是一个积的导数，从而可以构造函数，求导即可完成证明。若题目中的条件改为，则移项后，要想到是一个商的导数的分子，平时解题多注意总结。

【思维挑战】

1、（2007年，安徽卷）设求证：当时，恒有，

2、（2007年，安徽卷）已知定义在正实数集上的函数其中a>0，且，求证： 

3、已知函数，求证：对任意的正数、，恒有

4、（2007年，陕西卷）是定义在（0，+∞）上的非负可导函数，且满足≤0，对任意正数a、b，若a    （A）af(b)≤bf (a)        （B）bf (a)≤af(b)

    （C）af(a)≤f (b)        （D）bf (b)≤f (a)

【答案咨询】

1、提示：，当，时，不难证明

∴，即在内单调递增，故当时，

，∴当时，恒有

2、提示：设则

  =，∴当时，，

        故在上为减函数，在上为增函数，于是函数在上的最小值是，故当时，有，即

3、提示：函数的定义域为， 

∴当时，，即在上为减函数

当时，，即在上为增函数

因此在取得极小值，而且是最小值

于是，即

令于是因此

4、提示：，，故在（0，+∞）上是减函数，由有af(b)≤bf (a) 故选（A）