2019年河北省数学中考试题含答案

数学试卷

本试卷分卷Ⅰ和卷Ⅱ两部分；卷Ⅰ为选择题，卷Ⅱ为非选择题．

本试卷总分120分，考试时间120分钟．

卷Ⅰ(选择题，共42分)

注意事项：

1. 答卷Ⅰ前，考生务必将自己的姓名、准考证号、科目填涂在答题卡上．考试结束，监考人员将试卷和答题卡一并收回．

2. 每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．答在试卷上无效．

一、选择题(本大题有16个小题，共42分.1～10小题各3分，11～16小题各2分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1. 下列图形为正多边形的是(　　)

2. 规定：(→2)表示向右移动2记作＋2，则(←3)表示向左移动3记作(　　)

A. ＋3　　B. －3　　C. －　　D. ＋

3. 如图，从点C观察点D的仰角是(　　)

第3题图

A. ∠DAB        B. ∠DCE       C. ∠DCA      D. ∠ADC

4. 语句“x的与x的和不超过5”可以表示为(　　)

A. ＋x≤5    B. ＋x≥5    C. ≤5     D.＋x＝5

5. 如图，菱形ABCD中，∠D＝150°，则∠1＝(　　)

第5题图

A. 30°  B. 25°  C. 20°  D. 15°

6. 小明总结了以下结论：

①a(b＋c)＝ab＋ac；

②a(b－c)＝ab－ac；

③(b－c)÷a＝b÷a－c÷a(a≠0)；

④a÷(b＋c)＝a÷b＋a÷c(a≠0)．

其中一定成立的个数是(　　)

A. 1  B. 2  C. 3  D. 4

7. 下面是投影屏上出示的抢答题，需要回答横线上符号代表的内容．

则回答正确的是(　　)

A.  代表∠FEC

B. @代表同位角

C. ▲代表∠EFC

D. ※代表AB

8. 一次抽奖活动特等奖的中奖率为，把用科学记数法表示为(　　)

A. 5×10－4  B. 5×10－5

C. 2×10－4  D. 2×10－5

9. 如图，在小正三角形组成的网格中，已有6个小正三角形涂黑，还需涂黑n个小正三角形，使它们与原来涂黑的小正三角形组成的新图案恰有三条对称轴，则n的最小值为(　　)

第9题图

A. 10  B. 6  C. 3  D. 2

10. 根据圆规作图的痕迹，可用直尺成功找到三角形外心的是(　　)

11. 某同学要统计本校图书馆最受学生欢迎的图书种类．以下是排乱的统计步骤：

①从扇形图中分析出最受学生欢迎的种类；

②去图书馆收集学生借阅图书的记录；

③绘制扇形图来表示各个种类所占的百分比；

④整理借阅图录并绘制频数分布表．

正确统计步骤的顺序是(　　)

A. ②→③→①→④

B. ③→④→①→②

C. ①→②→④→③

D. ②→④→③→①

12. 如图，函数y＝的图象所在坐标系的原点是(　　)

第12题图

A. 点M       B. 点N      C. 点P      D. 点Q

13. 如图，若x为正整数，则表示－的值的点落在(　　)

第13题图

A. 段①  B. 段②  C. 段③  D. 段④

14. 图②是图①中长方体的三视图，若用S表示面积，且S主＝x2＋2x，S左＝x2＋x，则S俯＝(　　)

图①　         　图②

第14题图

A. x2＋3x＋2          B. x2＋2        C. x2＋2x＋1        D. 2x2＋3x

15. 小刚在解关于x的方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)时，只抄对了a＝1，b＝4，解出其中一个根是x＝－1.他核对时发现所抄的c比原方程的c值小2，则原方程的根的情况是(　　)

A. 不存在实数根

B. 有两个不相等的实数根

C. 有一个根是x＝－1

D. 有两个相等的实数根

16. 对于题目：“如图①，平面上，正方形内有一长为12、宽为6的矩形，它可以在正方形的内部及边界通过移转

第16题图①

(即平移或旋转)的方式，自由地从横放移转到竖放，求正方形边长的最小整数n.”甲、乙、丙作了自认为边长最小的正方形，先求出该边长x，再取最小整数n.

甲：如图②，思路是当x为矩形对角线长时就可移转过去；结果取n＝13.

乙：如图③，思路是当x为矩形外接圆直径长时就可移转过去；结果取n＝14.

丙：如图④，思路是当x为矩形的长与宽之和的倍时就可移转过去；结果取n＝13.

图②            图③          图④

第16题图

下列正确的是(　　)

A. 甲的思路错，他的n值对

B. 乙的思路和他的n值都对

C. 甲和丙的n值都对

D. 甲、乙的思路都错，而丙的思路对

卷Ⅱ(非选择题，共78分)

二、填空题(本大题有3个小题，共11分.17小题3分；18～19小题各有2个空，每空2分．把答案写在题中横线上)

17. 若7－2×7－1×70＝7p，则p的值为________．

18. 如图，约定：上方相邻两数之和等于这两数下方箭头共同指向的数．

示例：即4＋3＝7.

第18题图

则(1)用含x的式子表示m＝________；

(2)当y＝－2时，n的值为________．

19. 勘测队按实际需要构建了平面直角坐标系，并标示了A，B，C三地的坐标，数据如图(单位：km)．笔直铁路经过A，B两地．

第19题图

(1)A，B间的距离为________km；

(2)计划修一条从C到铁路AB的最短公路l，并在l上建一个维修站D，使D到A，C的距离相等，则C，D间的距离为________km.

三、解答题(本大题有7个小题，共67分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

20. (本小题满分8分)

有个填写运算符号的游戏：在“1Ｋ2Ｋ6Ｋ9”中的每个Ｋ内，填入＋，－，×，÷中的某一个(可重复使用)，然后计算结果．

(1)计算：1＋2－6－9；

(2)若1÷2×6Ｋ9＝－6，请推算Ｋ内的符号；

(3)在“1Ｋ2Ｋ6－9”的Ｋ内填入符号后，使计算所得数最小，直接写出这个最小数．

21. (本小题满分9分)

已知：整式A＝(n2－1)2＋(2n)2，整式B＞0.

尝试　化简整式A.

发现　A＝B2.求整式B.

联想　由上可知，B2＝(n2－1)2＋(2n)2，当n＞1时，n2－1，2n，B为直角三角形的三边长，如图，填写下表中B的值；

第21题图

某球室有三种品牌的4个乒乓球，价格是7，8，9(单位：元)三种．从中随机拿出一个球，已知P(一次拿到8元球)＝.

(1)求这4个球价格的众数；

(2)若甲组已拿走一个7元球训练，乙组准备从剩余3个球中随机拿一个训练．

①所剩的3个球价格的中位数与原来4个球价格的中位数是否相同？并简要说明理由；

②乙组先随机拿出一个球后放回，之后又随机拿一个，用列表法(如图)求乙组两次都拿到8元球的概率.

　　又拿

23. (本小题满分9分)

如图，△ABC和△ADE中，AB＝AD＝6，BC＝DE，∠B＝∠D＝30°.边AD与边BC交于点P(不与点B，C重合)，点B，E在AD异侧，I为△APC的内心．

(1)求证：∠BAD＝∠CAE；

(2)设AP＝x，请用含x的式子表示PD，并求PD的最大值；

(3)当AB⊥AC时，∠AIC的取值范围为m°＜∠AIC＜n°，分别直接写出m，n的值．

第23题图

备用图

24. (本小题满分9分)

长为300 m的春游队伍，以v(m/s)的速度向东行进．如图①和图②，当队伍排尾行进到位置O时，在排尾处的甲有一物品要送到排头，送到后立即返回排尾，甲的往返速度均为2v(m/s)，当甲返回排尾后，他及队伍均停止行进．设排尾从位置O开始行进的时间为t(s)，排头与O的距离为S头(m)．

(1)当v＝2时，解答：

①求S头与t的函数关系式(不写t的取值范围)；

②当甲赶到排头位置时，求S头的值；在甲从排头返回到排尾过程中，设甲与位置O的距离为S甲(m)，求S甲与t的函数关系式(不写t的取值范围)；

(2)设甲这次往返队伍的总时间为T(s)，求T与v的函数关系式(不写v的取值范围)，并写出队伍在此过程中行进的路程．

第24题图

25. (本小题满分10分)

如图①和②，▱ABCD中，AB＝3，BC＝15，tan∠DAB＝.点P为AB延长线上一点，过点A作⊙O切CP于点P，设BP＝x.

(1)如图①，x为何值时，圆心O落在AP上？若此时⊙O交AD于点E，直接指出PE与BC的位置关系；

(2)当x＝4时，如图②，⊙O与AC交于点Q，求∠CAP的度数，并通过计算比较弦AP与劣弧长度的大小；

(3)当⊙O与线段AD只有一个公共点时，直接写出x的取值范围．

第25题图①

第25题图②

备用图

26. (本小题满分12分)

如图，若b是正数，直线l：y＝b与y轴交于点A；直线a：y＝x－b与y轴交于点B；抛物线L：y＝－x2＋bx的顶点为C，且L与x轴右交点为D.

(1)若AB＝8，求b的值，并求此时L的对称轴与a的交点坐标；

(2)当点C在l下方时，求点C与l距离的最大值；

(3)设x0≠0，点(x0，y1)，(x0，y2)，(x0，y3)分别在l，a和L上，且y3是y1，y2的平均数，求点(x0，0)与点D间的距离；

(4)在L和a所围成的封闭图形的边界上，把横、纵坐标都是整数的点称为“美点”，分别直接写出b＝2019和b＝2019.5时“美点”的个数．

第26题图

2019河北中考数学解析

1. D　【解析】正多边形的各边、各角都相等，选项A、B、C中各边不相等，不是正多边形，选项D中各边、各角都相等，为正五边形．

2. B　【解析】∵向右移动记作＋，∴向左移动记作－.∴向左移动3记作－3.

3. B　【解析】∵在视线与水平线所成的锐角中，视线在水平线上方的角叫做仰角，∴从点C观测点D的仰角为∠DCE.

4. A　【解析】“x的与x的和不超过5”可表示为＋x≤5.

5. D　【解析】根据菱形的性质可知∠DAB＝180°－∠D＝30°，∴∠1＝∠DAB＝15°.

6. C　【解析】∵a(b＋c)＝ab＋ac，a(b－c)＝ab－ac，(b－c)÷a＝b÷a－c÷a(a≠0)，a÷(b＋c)＝≠a÷b＋a÷c(a≠0)∴①②③正确，④错误．

7. C　【解析】辅助线作法为：延长BE交CD于点F，则※代表CD；∵∠BEC＝∠EFC＋∠C，∠BEC＝∠B＋∠C，∴∠B＝∠EFC，∴◎代表∠EFC，▲代表∠EFC；∵∠B＝∠EFC，∴AB∥CD(内错角相等，两直线平行)，∴@代表内错角．

8. D　【解析】＝×＝0.2×10－4＝2×10－5，故选D.

9. C　【解析】如解图，再涂黑3个小三角形，构成等边三角形，此时组成的新图案有三条对称轴，故选C.

第9题解图

10. C　【解析】三角形外心为各边垂直平分线的交点，选项C中作图痕迹为两边的垂直平分线，则用直尺作出这两条垂直平分线，交点即为外心．故选C.

11. D　【解析】根据统计的要求，正确的统计步骤应为：②去图书馆收集学生借阅图书的记录；④整理借阅图录并绘制频数分布表；③绘制扇形图来表示各个种类所占的百分比；①从扇形图中分析出最受学生欢迎的种类．所以正确顺序应为②④③①，故选D.

12. A　【解析】y＝(x>0)的图象在第一象限，y＝－(x<0)的图象在第二象限，由图可知，当点M为坐标原点时，符合上述要求，故选A.

13. B　【解析】化简得－＝－＝1－，∵x为正整数，即x≥1，∴0<≤，∴－≤－<0，∴≤1－<1，即落在段②之间．故选B.

14. A　【解析】∵S主＝x2＋2x＝x(x＋2)，S左＝ x2＋x＝x(x＋1)，∴俯视图的两个边分别为(x＋2)和(x＋1)，∴S俯＝(x＋2)(x＋1)＝ x2＋3x＋2.故选A.

15. A　【解析】∵a＝1，b＝4，∴方程为x2＋4x＋c＝0，∵其中的一个根为x＝－1，∴将x＝－1代入方程可得(－1)2＋4×(－1)＋c＝0，解得c＝3，∵所抄的c比原方程的c值小2，∴原方程的c值为5，∴原方程为x2＋4x＋5＝0，∴Δ＝42－4×1×5＝－4＜0，∴原方程没有实数根．故选A.

16. B　【解析】当x为矩形外接圆直径长时就可以转过去，矩形的对角线为直径，对角线为＝6≈13.416，∴n＝14.∴甲的思路对，n值错；乙的思路和n值都对，丙的思路和n值都错．故选B.

17. －3　【解析】∵7－2×7－1×70＝7－2－1＋0＝7－3＝7p，∴p＝－3.

18. (1)3x；　(2)1

【解析】根据题意得m＝x＋2x＝3x，n＝2x＋3，y＝m＋n＝5x＋3，当y＝－2时，可得x＝－1，n＝1.

19. (1)20　【解析】∵A(12，1)、B(－8，1)，∴AB＝12－(－8)＝20；

(2)13　【解析】如解图，根据点到直线的距离垂线段最短，可知最短公路l在y轴上，即为CF，作AC的垂直平分线交CF于点D，交AC于点E，则点D即为所求．∵AF＝12，CF＝18，∴ AC＝＝6，∴CE＝AC＝3，∵∠ACF＝∠DCE，∴△DCE∽△ACF，∴＝，∴＝.∴CD＝13.

第19题解图

20. 解：(1)原式＝3－15

＝－12；

(2)∵1÷2×6＝3，

∴3□9＝－6.

∴□内是－号；

(3)－20.

【解法提示】∵当1□2□6最小时，1□2□6－9的值最小，∴当1□2□6＝1－2×6＝－11时值最小，∴1－2×6－9＝－11－9＝－20.

21. 解：尝试　整式A化简得：

A＝(n2－1)2＋(2n)2

＝n4－2n2＋1＋4n2

＝n4＋2n2＋1

＝(n2＋1)2，

发现　∵A＝B2，∴B2＝(n2＋1)2，∴B＝±(n2＋1)，

∵B＞0，∴B＝n2＋1；

联想

22. 解：(1)∵P(一次拿到8元球)＝，

∴8元球为2个，

∴四个乒乓球的价格为7、8、8、9，

∴这四个球价格的众数为8；

(2)①相同；

理由：原四个球的中位数为8，拿走一个7元球后，剩余球的价格为8、8、9，中位数为8，与原来4个球价格的中位数相同．

②列表如下：

先拿　　

∴P(乙组两次都拿到8元球)＝.

23. (1)证明：在△ABC和△ADE中，

∴△ABC≌△ADE(SAS)，

∴∠BAC＝∠DAE，

∴∠BAC－∠DAC＝∠DAE－∠DAC，

∴∠BAD＝∠CAE；

(2)解：∵AD＝6，∴PD＝6－AP＝6－x，

∴当AP最小时，PD的值最大．

如解图，当AP⊥BC时，x最小，PD最大，

第23题解图

∵AB＝6，∠B＝30°，

∴x＝AB＝×6＝3.

∴PD＝6－x＝3，即PD的最大值为3；

(3)解：m＝105，n＝150.

【解法提示】∵点I为△APC的内心，∴AI、CI分别平分∠PAC和∠ACP，∵AB⊥AC，∠B＝30°，∴∠ACB＝180°－∠CAB－∠B＝60°.∴∠AIC＝180°－∠IAC－∠ICA＝180°－∠CAP－∠ACB＝150°－∠CAP.∵0°＜∠CAP＜90°，∴105°＜∠AIC＜150°，即m＝105，n＝150.

24. 解：(1)①由题意知S头＝vt＋300，

∵v＝2(m/s)，∴S头＝2t＋300；

②∵v＝2，甲的速度为2v，∴甲的速度为4m/s，

甲从排尾赶到排头时，4t＝2t＋300，解得t＝150(m)，

代入可得，S头＝2×150＋300＝600(m)；

甲从排头返回到排尾的过程中所用的时间为(t－150)s，

则S甲＝600－4(t－150)＝－4t＋1200；

(2)设甲从排尾赶到排头所用时间为t1，则2vt1＝vt1＋300，∴t1＝.

甲从排头返回排尾时所用时间为t2＝＝，

∴T＝t1＋t2＝；

∴队伍在此过程中行进的路程为×v＝400 m.

25. 解：(1)圆心O落在AP上，即AP为⊙O的直径，

∵四边形ABCD为平行四边形，

∴AD∥BC，

∴∠DAB＝∠CBP, ∴tan∠CBP＝tan∠DAB＝，

∵BP＝x，∴CP＝x.

∵CP为⊙O的切线，

∴∠BPC＝90°，

在Rt△CBP中，BP2＋PC2＝BC2，

∴x2＋(x)2＝152，解得x＝9，

即x为9时，圆心O落在AP上；

垂直；

【解法提示】∵AP为⊙O的直径，∴∠AEP＝90°，即PE⊥AD，∵AD∥BC，∴PE⊥BC.

(2)如解图，过点C作CM⊥AB交AB的延长线于点M，过点O作OF⊥AB交AB的延长线于点F，连接OP，OQ，

第25题解图

由(1)可知BM＝9，CM＝×9＝12，

∵AB＝3，∴AM＝12，∴AM＝CM.∴∠CAP＝45°.

∵x＝4，∴AP＝7，PM＝5.

∴CP＝＝＝13.

∵OF⊥AP，∴PF＝AP＝.

∵CP为⊙O的切线，∴OP⊥CP，

∴∠OPF＋∠CPM＝90°，

又∵∠CPM＋∠PCM＝90°，

∴∠OPF＝∠PCM，

又∵∠OFP＝∠PMC＝90°，

∴△OPF∽△PCM，

∴＝，即＝，

解得OP＝.

∵∠QOP＝2∠CAP＝90°，

∴l＝×2π×＝，

∵＜7，

∴ll；

(3)x≥18.

26. 解：(1)∵直线a与y轴交与点B，

∴B(0，－b)，

∵AB＝8，

∴OA＝OB＝4，

∴b＝4；

∴抛物线L的解析式为y＝－x2＋4x，对称轴为x＝－＝2，

当x＝2时，y＝2－4＝－2，

∴L的对称轴与a的交点坐标为(2，－2)；

(2)∵抛物线L的解析式为y＝－x2＋bx，

∴点C的坐标为(，)．

∵点C在l下方，

∴点C与l的距离为b－＝－(b－2)2＋1≤1，

∴点C与l距离的最大值为1；

(3)由题意可得，y1＝b，y2＝x0－b，y3＝－x＋bx0，

∵y3是y1、y2的平均数，

∴y3＝，即－x＋bx0＝，

化简得x0(2x0－2b＋1)＝0，

解得x0＝0或x0＝b－，

∵x0≠0，

∴x0＝b－，

对于L，当y＝0时，0＝－x2＋bx，即0＝－x(x－b)．

解得x1＝0，x2＝b，

∵b＞0，

∴D点坐标为(b，0)，

∴点(x0，0)与点D间的距离为b－(b－)＝；

(4)4040；1010.

【解法提示】当b＝2019时，直线a的解析式为y＝x－2019，

抛物线L的解析式为y＝－x2＋2019x，

联立可得

解得或

∴抛物线L和直线a的交点坐标为(－1，－2020)，(2019，0)，

∴美点的个数为2021＋2019＝4040个；

当b＝2019.5时，直线a的解析式为y＝x－2019.5，

抛物线L的解析式为y＝－x2＋2019.5x，

联立可得

解得或

∴抛物线L和直线a的交点坐标为(－1，－2020.5)，(2019.5，0)，

∴美点的个数为0＋1010＝1010个．