2007年甘肃省兰州市数学中考真题(word版含答案)

数学试卷

一、选择题（本题共12个小题，每小题4分，共计48分．在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

1．下列方程中是一元二次方程的是（　　）

Ａ．        Ｂ．        Ｃ．        Ｄ． 

2．把各边的长度都扩大倍得，那么锐角，的余弦值的关系为（　　）

Ａ．        Ｂ． 

Ｃ．        Ｄ．不能确定

3．下列函数中，自变量的取值范围是的函数是（　　）

Ａ．        Ｂ．        Ｃ．        Ｄ． 

4．下列说法正确的是（　　）

Ａ．在同一年出生的367名学生中，至少有两人的生日是同一天

Ｂ．彩票中奖的机会是1%，买100张一定会中奖

Ｃ．天气预报说明天下雨的概率是50%，所以明天将有一半的时间在下雨

Ｄ．抛一枚图钉钉尖着地和钉尖朝上的概率一样大

5．下列四个图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）

Ａ．①②        Ｂ．①③        Ｃ．②③        Ｄ．①②③

6．顺次连接等腰梯形四边中点所得到的四边形是（　　）

Ａ．等腰梯形        Ｂ．直角梯形        Ｃ．矩形        Ｄ．菱形

7．“圆柱与球的组合体”如图1所示，则它的三视图是（　　）

主视图　左视图　俯视图  　主视图　左视图　俯视图　主视图　左视图　俯视图　主视图　左视图　俯视图

      Ａ．　　　　　　　　　Ｂ．　　　　　　　　Ｃ．　　　　　　　Ｄ．

8．二次函数图象如图2所示，则点在（　　）

Ａ．第一象限        Ｂ．第二象限        Ｃ．第三象限        Ｄ．第四象限

9．如图3，正方形内接于，点在劣弧上，则等于（　　）

Ａ．        Ｂ．        Ｃ．        Ｄ． 

10．在同一时刻的阳光下，小明的影子比小强的影子长，那么在同一路灯下（　　）

Ａ．小明的影子比小强的影子长        Ｂ．小明的影子比小强的影子短

Ｃ．小明的影子和小强的影子一样长    Ｄ．无法判断谁的影子长

11．已知，则函数和的图象大致是（　　）

12．如图4，小丽自己动手做了一顶圆锥形的圣诞帽，母线长是，底面半径是，她想在帽子上缠一根漂亮的丝带，从出发绕帽子侧面一周，至少需要丝带（　　）

Ａ．        Ｂ．        

Ｃ．        Ｄ． 

二、填空题（本题共8个小题，每小题4分，共32分，请把答案填在题中的横线上．）

13．右图是一个小熊的头像，图中反映出圆与圆的四种位置关系，但是其中有一种位置关系没有反映出来，请你写出这种位置关系，它是________．

14．老师给出了一个函数，甲、乙、丙三位学生分别指出了这个函数的一个性质，甲：第一象限内有它的图象；乙：第三象限内有它的图象；丙：在每个象限内，随的增大而减小．请你写一个满足上述性质的函数解析式________________．

15．兰州市为解决老百姓看病难的问题，决定下调药品的价格，某种药品经过两次降价，由每盒72元调至56元．若每次平均降价的百分率为，由题意可列方程为________．

16．将抛物线先沿轴方向向左平移个单位，再沿轴方向向下平移个单位，所得抛物线的解析式是________．

17．赵亮同学想利用影长测量学校旗杆的高度，如图5，他在某一时刻立1米长的标杆测得其影长为1.2米，同时旗杆的投影一部分在地面上，另一部分在某一建筑的墙上，分别测得其长度为9.6米和2米，则学校旗杆的高度为________米．

18．抛物线的一部分如图6所示，那么该抛物线在轴右侧与轴交点的坐标是________．

19．如图7，切于两点，若，的半径为，则阴影部分的面积为________．

20．下列是三种化合物的结构式及分子式，请按其规律，写出后一种化合物的分子式为________．

三、作图题（本题满分5分，要求尺规作图，不写作法和证明，但保留作图痕迹）

21．在中，，，用两种方法把它分成两个三角形，且要求一个三角形是等腰三角形．

四、解答题（本大题共9道题，共计65分，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）

22．（本题满分5分）计算： 

23．（本题满分6分）

阅读材料：为解方程，我们可以将看作一个整体，然后设……①，那么原方程可化为，解得，，当时，，，；当时，，，，故原方程的解为，，，．

解答问题：（1）上述解题过程，在由原方程得到方程①的过程中，利用________法达到了解方程的目的，体现了转化的数学思想；

（2）请利用以上知识解方程．

24．（本题满分6分）

将背面相同，正面分别标有数字的四张卡片洗匀后，背面朝上放在桌面上．

（1）从中随机抽取一张卡片，求该卡片正面上的数字是偶数的概率；

（2）先从中随机抽取一张卡片（不放回），将该卡片正面上的数字作为十位上的数字；再随机抽取一张，将该卡片正面上的数字作为个位上的数字，则组成的两位数恰好是4的倍数的概率是多少？请用树状图或列表法加以说明．

25．（本题满分7分）

如图8，已知为的直径，弦，垂足为．

（1）求证：；

（2）若过的直线与弦（不含端点）相交于点，与相交于点，求证：；

（3）若过的直线与直线相交于点，与相交于点，判断是否成立（不必证明）．

26．（本题满分7分）

兰州市某校对九年级学生进行“综合素质”评价，评价的结果为（优）、（良好）、（合格）、（不合格）四个等级．现从中抽测了若干名学生的“综合素质”等级作为样本进行数据处理，并作出图9所示的统计图，已知图中从左到右的四个长方形的高的比为：

，评价结果为等级的有人，请你回答以下问题：

（1）共抽测了多少人？

（2）样本中等级的频率是多少？等级的频率是多少？

（3）如果要绘制扇形统计图，两个等级在扇形统计图中所占的圆心角分别是多少度？

（4）该校九年级的毕业生共300人，假如“综合素质”等级为或的学生才能报考示范性高中，请你计算该校大约有多少名学生可以报考示范性高中？

27．（本题满分7分）

某农场计划建一个养鸡场，为了节约材料，鸡场一边靠着原有的一堵墙（墙足够长），另外的部分用米的竹篱笆围成，现有两种方案：①围成一个矩形（如下左图）；②围成一个半圆形（如下右图）．设矩形的面积为平方米，宽为米，半圆形的面积为平方米，半径为米，设你通过计算帮助农场主选择一个围成区域面积最大的方案（）．

28．（本题满分8分）

兰州市城市规划期间，欲拆除黄河岸边的一根电线杆（如图10），已知距电线杆水平距离米处是河岸，即米，该河岸的坡面的坡面的正切值为，岸高为米，在坡顶处测得杆顶的仰角为，之间是宽米的人行道，请你通过计算说明在拆除电线杆时，为确保安全，是否将此人行道封上？（在地面上以点为圆心，以长为半径的圆形区域为危险区域）．

29．（本题满分9分）

如图11所示，在中，分别以为边在的同侧作等边，等边，等边．

（1）求证：四边形是平行四边形；

（2）探究下列问题：（只填满足的条件，不需证明）

①当满足________条件时，四边形是矩形；

②当满足________条件时，四边形是菱形；

③当满足________条件时，以为顶点的四边形不存在．

30．（本题满分10分）

已知抛物线的图象交轴于点和点，与轴的正半轴交于点，其对称轴是直线，，点关于轴的对称点为点．

（1）确定三点的坐标；

（2）求过三点的抛物线的解析式；

（3）若过点且平行于轴的直线与（2）小题中所求抛物线交于两点，以为一边，抛物线上任一点为顶点作平行四边形，若平行四边形的面积为，写出关于点纵坐标的函数解析式．

（4）当时，（3）小题中平行四边形的面积是否有最大值，若有，请求出，若无，请说明理由．

2007兰州市中考试题答案（数学）

一、选择题

13．相交；　　　14．（注：只要即可）；　　　15．；

16．或；　　　　　　17．10米；

18．；　　　19．；　　　　20．．

三、作图题：（本题满分5分）

21．可参考的作法有：

（1）作的中线交于，连接，得等腰；

（2）作的平分线交于，得等腰；

（3）作上截取，连接，得等腰；

（4）作上截取，连接，得等腰．

（每个作图2分，共4分，答语1分．其它作法正确均可得分．）

四、解答题（本大题共9道题，共计65分）

22．本题满分5分

解：原式    3分

    5分

23．本题满分6分

（1）换元法    1分

（2）设，那么原方程可化为    2分

解得；    3分

当时，；    4分

当时，不符合题意，舍去．    5分

原方程的解为，．    6分

24．本题满分6分

（1）    2分

（2）树状图为：

或列表法为：

第一次

第二次

所以    6分

25．本题满分7分

（1）连结，是的直径，    1分

而，．    2分

，即．    3分

（2）连结，易证，    4分

，    5分

．    6分

（也可连结，证）

（3）结论成立．    7分

26．本题满分7分

解：（1）（人），所以抽测了60人．    1分

（2）　　样本中等级的频率是    2分

　　样本中等级的频率是    3分

（3）等级在扇形统计图中所占的圆心角为：    4分

等级在扇形统计图中所占的圆心角为：    5分

（4）名

答：估计该校大约有230名学生可以报考示范性高中．    7分

27．本题满分7分

解：    1分

．    2分

当米时，取大值平方米．    3分

由；得米    4分

平方米．    5分

　　    6分

应选择方案．    7分

28．本题满分8分

解：由，米

米，米    1分

米，米    2分

在中，由

米    4分

，米    5分

米    6分

不需要封人行道．    8分

29．本题满分9分

（1）和都是等边三角形

又， 

    2分

    3分

同理

    4分

四边形是平行四边形．    6分

（2）①    7分

②    8分

③    9分

30．本题满分10分

解：（1）点与点关于直线对称，点的坐标是

点的坐标是    1分

由，可得　    2分

点关于轴的对称点为

点的坐标    3分

（2）经过三点的抛物线与过点平行于轴的直线相交于点和点

，， 

而抛物线的顶点为

当时， 

当时，    8分

（4）以为一边，为顶点，且当的平行四边形面积最大，只要点到的距离最大．

当，时，，．

所以满足条件的平行四边形面积有最大值．    10分