2021届新高考数学模拟试卷及答案解析(6)

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．设集合，，则　　

A．    B．    C．    D．

2．若，，，则　　

A．    B．    C．    D．

3．在中，，，，则的面积为　　

A．    B．1    C．    D．

4．已知，，为不共线的三点，则“”是“为直角三角形”的　　

A．充分不必要条件    B．必要不充分条件    

C．充要条件    D．既不充分也不必要条件

5．函数，，的图象大致为　　

A．    B．    

C．    D．

6．已知奇函数在上单调，若正实数，满足，则的最小值是　　

A．1    B．    C．9    D．18

7．已知，是双曲线的左、右焦点，若点关于双曲线渐近线的对称点满足为坐标原点），则双曲线的渐近线方程为　　

A．    B．    C．    D．

8．已知函数，若有且只有两个整数，使得，且，则的取值范围是　　

A．    B．    

C．    D．

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．

9．下列命题中的真命题是　　

A．，    B．，    

C．，    D．，

10．将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象，则函数具有性质　　

A．在上单调递增，为偶函数    

B．最大值为1，图象关于直线对称    

C．在上单调递增，为奇函数    

D．周期为，图象关于点对称

11．已知、为两条不重合的直线，、为两个不重合的平面，则下列说法正确的是　　

A．若，且，则    B．若，，，则    

C．若，，，，则    D．若，，，则

12．设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，并满足条件，，，下列结论正确的是　　

A．    B．    

C．是数列中的最大值    D．数列无最大值

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．在的展开式中，含项的系数是　　．

14．已知抛物线的焦点为，准线为，是上一点，是直线与的一个交点，若，则　　．

15．2019年7月，中国良渚古城遗址获准列入世界遗产名录，标志着中华五千年文明史得到国际社会认可．良渚古城遗址是人类早期城市文明的范例，实证了中华五千年文明史．考古科学家在测定遗址年龄的过程中利用了“放射性物质因衰变而减少”这一规律．已知样本中碳14的质量随时间（单位：年）的衰变规律满足表示碳14原有的质量），则经过5730年后，碳14的质量变为原来的　　；经过测定，良渚古城遗址文物样本中碳14的质量是原来的至，据此推测良渚古城存在的时期距今约在　　年到5730年之间．（参考数据：，

16．如图是两个腰长均为的等腰直角三角形拼成的一个四边形，现将四边形沿折成直二面角，则三棱锥的外接球的体积为　　．

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（10分）已知等差数列满足，前7项和．

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）设，求数列的前项和．

18．（12分）已知．

（Ⅰ）若，求的值；

（Ⅱ）在中，角，，所对应的边分别，，，若有，求角的大小以及（A）的取值范围．

19．（12分）如图，在平行四边形中，，，，四边形为正方形，且平面平面．

（Ⅰ）证明：；

（Ⅱ）求平面与平面所成锐二面角的余弦值．

20．（12分）如图，某市三地，，有直道互通．现甲交警沿路线、乙交警沿路线同时从地出发，匀速前往地进行巡逻，并在地会合后再去执行其他任务．已知，，，甲的巡逻速度为，乙的巡逻速度为．

（Ⅰ）求乙到达地这一时刻的甲、乙两交警之间的距离；

（Ⅱ）已知交警的对讲机的有效通话距离不大于，从乙到达地这一时刻算起，求经过多长时间，甲、乙方可通过对讲机取得联系．

21．（12分）已知椭圆的一个焦点为，长轴与短轴的比为．直线与椭圆交于、两点，其中为直线的斜率．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）若以线段为直径的圆过坐标原点，问：是否存在一个以坐标原点为圆心的定圆，不论直线的斜率取何值，定圆恒与直线相切？如果存在，求出圆的方程及实数的取值范围；如果不存在，请说明理由．

22．（12分）已知函数，．

（Ⅰ）求证：当时，对任意，恒成立；

（Ⅱ）求函数的极值；

（Ⅲ）当时，若存在，且，满足，求证：．

2020届新高考数学模拟试题（6）

答案解析

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．设集合，，则　　

A．    B．    C．    D．

【解析】集合，，

则．

故选：．

2．若，，，则　　

A．    B．    C．    D．

【解析】，，，则．

故选：．

3．在中，，，，则的面积为　　

A．    B．1    C．    D．

【解析】，，，

，，

则的面积．

故选：．

4．已知，，为不共线的三点，则“”是“为直角三角形”的　　

A．充分不必要条件    B．必要不充分条件    

C．充要条件    D．既不充分也不必要条件

【解析】若，则平方得，

得，即，则为直角，则“为直角三角形成立，

反之当为直角，满足为直角三角形成立，但，不成立，

故“”是“为直角三角形”的充分不必要条件，

故选：．

5．函数，，的图象大致为　　

A．    B．    

C．    D．

【解析】因为函数，，，

所以函数为偶函数，故排除，

，，，

因为，

所以当时，，当时，，

故排除，

故选：．

6．已知奇函数在上单调，若正实数，满足，则的最小值是　　

A．1    B．    C．9    D．18

【解析】因为奇函数在上单调，且正实数，满足，

所以，

所以即，

则，

当且仅当且即，时取等号，此时取得最小值1．

故选：．

7．已知，是双曲线的左、右焦点，若点关于双曲线渐近线的对称点满足为坐标原点），则双曲线的渐近线方程为　　

A．    B．    C．    D．

【解析】设，，

渐近线方程为，

的对称点为，

即有，

且，

解得，，

满足，可得，

即有，

结合，

化为，即，

可得双曲线的渐近线方程为．

故选：．

8．已知函数，若有且只有两个整数，使得，且，则的取值范围是　　

A．    B．    

C．    D．

【解析】由，得，

作出函数与的图象如图：

直线过定点，

当时，曲线上的点为，当时，曲线上的点为．

过点与的直线的斜率，

过点与的直线的斜率．

由，得，由，得．

若有且只有两个整数，使得，且，则的取值范围是．

故选：．

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．

9．下列命题中的真命题是　　

A．，    B．，    

C．，    D．，

【解析】指数函数的值域为

任意，均可得到成立，故项正确；

当时，，可得，当且仅当时等号

存在，使不成立，故项不正确；

当时，

存在，使得成立，故项正确；

正切函数的值域为

存在锐角，使得成立，故项正确

故选：．

10．将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象，则函数具有性质　　

A．在上单调递增，为偶函数    

B．最大值为1，图象关于直线对称    

C．在上单调递增，为奇函数    

D．周期为，图象关于点对称

【解析】将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象，

则，

则函数为偶函数，当时，，此时为增函数，故正确，

函数的最大值为1，当时，，为最大值，则函数图象关于直线对称，故正确，

函数为偶函数，故错误，

函数的周期，，即图象关于点对称，故正确

故正确的是，

故选：．

11．已知、为两条不重合的直线，、为两个不重合的平面，则下列说法正确的是　　

A．若，且，则    B．若，，，则    

C．若，，，，则    D．若，，，则

【解析】对，若，且，则或者与相交，或者与异面，所以错误；

对，若，，则，又，所以，正确；

对，若，，则，又，，所以，正确；

对，若，，则，又，所以或，所以错误．

故选：．

12．设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，并满足条件，，，下列结论正确的是　　

A．    B．    

C．是数列中的最大值    D．数列无最大值

【解析】等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，并满足条件，

，，，，．

根据，，可知

等比数列为正项的递减数列．

即．

，

，故选项正确；

，

．

即．故选项错误；

根据．可知

是数列中的最大项，故选项正确、选项错误．

故选：．

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．在的展开式中，含项的系数是　280　．

【解析】由；

令，得．

展开式中含的系数为：．

故答案为：280．

14．已知抛物线的焦点为，准线为，是上一点，是直线与的一个交点，若，则　　．

【解析】设到的距离为，则，

，

，

不妨设直线的斜率为，

，

直线的方程为，

与联立可得，

，

故答案为：．

15．2019年7月，中国良渚古城遗址获准列入世界遗产名录，标志着中华五千年文明史得到国际社会认可．良渚古城遗址是人类早期城市文明的范例，实证了中华五千年文明史．考古科学家在测定遗址年龄的过程中利用了“放射性物质因衰变而减少”这一规律．已知样本中碳14的质量随时间（单位：年）的衰变规律满足表示碳14原有的质量），则经过5730年后，碳14的质量变为原来的　　；经过测定，良渚古城遗址文物样本中碳14的质量是原来的至，据此推测良渚古城存在的时期距今约在　　年到5730年之间．（参考数据：，

【解析】生物体内碳14的量与死亡年数之间的函数关系式为：；

时，；

所以每经过5730年衰减为原来的；

由于良渚古城遗址文物样本中碳14的质量是原来的至，

；

两边同时取以2为底的对数，得：

；

故推测良渚古城存在的时期距今约在4011年到5730年之间．

故答案为：，4011．

16．如图是两个腰长均为的等腰直角三角形拼成的一个四边形，现将四边形沿折成直二面角，则三棱锥的外接球的体积为　　．

【解析】四边形中，，

，；

沿折成直二面角，如图所示；

平面，平面，

，；

三棱锥的外接球的直径为，

且

外接球的半径为，它的体积为．

故答案为：．

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（10分）已知等差数列满足，前7项和．

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）设，求数列的前项和．

【解析】设等差数列的公差为，由可知，前7项和．，解得，，

；

由知，，

前项和．

18．（12分）已知．

（Ⅰ）若，求的值；

（Ⅱ）在中，角，，所对应的边分别，，，若有，求角的大小以及（A）的取值范围．

【解析】（Ⅰ），

因为，

所以，

所以．

因为，

由正弦定理得：，

所以，

即，

因为，

所以，

所以，，

所以，

所以（A）的取值范围是．

19．（12分）如图，在平行四边形中，，，，四边形为正方形，且平面平面．

（Ⅰ）证明：；

（Ⅱ）求平面与平面所成锐二面角的余弦值．

【解析】证明：在平行四边形中，，

在中，由余弦定理得：，

即，

由，得，，

又四边形为正方形，，

又平面平面，平面平面

平面，，

又，平面，

平面，．

解：由得，，两两垂直，

分别以，，所在直线为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，

设平面的一个法向量，，

则，取，

同理可得平面的一个法向量为，

设平面与平面所成锐二面角的平面角为，

则．

平面与平面所成锐二面角的余弦值为．

20．（12分）如图，某市三地，，有直道互通．现甲交警沿路线、乙交警沿路线同时从地出发，匀速前往地进行巡逻，并在地会合后再去执行其他任务．已知，，，甲的巡逻速度为，乙的巡逻速度为．

（Ⅰ）求乙到达地这一时刻的甲、乙两交警之间的距离；

（Ⅱ）已知交警的对讲机的有效通话距离不大于，从乙到达地这一时刻算起，求经过多长时间，甲、乙方可通过对讲机取得联系．

【解析】由，，，知，．

设当乙到达地时，甲处在点，则；

所以在中，由余弦定理得：

，

解得；

即此时甲、乙两交警之间的距离为．

设乙到达地后，经过小时，甲、乙两交警之间的距离为，

在，

乙从地到达地，用时小时，甲从处到达地，用时小时，

所以当乙从地到达地，此时，甲从处行进到点处，且，

所以当；

令，即，；

解得或（舍去）；

又当时，甲、乙两交警间的距离为，

因为甲、乙间的距离不大于时方可通过对讲机取得联系；

所以从乙到达地这一时刻算起，经过小时，甲、乙可通过对讲机取得联系．

21．（12分）已知椭圆的一个焦点为，长轴与短轴的比为．直线与椭圆交于、两点，其中为直线的斜率．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）若以线段为直径的圆过坐标原点，问：是否存在一个以坐标原点为圆心的定圆，不论直线的斜率取何值，定圆恒与直线相切？如果存在，求出圆的方程及实数的取值范围；如果不存在，请说明理由．

【解析】，，．

解得：，，

椭圆的方程为．

解法一：

假设存在定圆，不论直线的斜率取何值时，定圆恒与直线相切．

这时，只需证明坐标原点到直线的距离为定值即可．

设，，，，联立方程，消去整理得：，

△，得：，①

，

以线段为直径的圆过坐标原点，

，

．

化简得：，②

此时，坐标原点到直线距离为：．

由坐标原点到直线的距离为定值知，所以存在定圆，不论直线的斜率取何值时，定圆恒与直线相切，定圆的方程为：．

得的取值范围是．

解法二：

假设存在定圆，不论直线的斜率取何值时，定圆恒与直线相切．

这时，只需证明坐标原点到直线的距离为定值即可．

设直线的方程为：，点的坐标为，，则，

联立方程组，①

以线段为直径的圆过坐标原点，，直线的方程为：．

在①式中以换，得②

又由知：

设坐标原点到直线的距离为，则有，

．

又当直线与轴重合时，，此时．

由坐标原点到直线的距离为定值知，所以存在定圆，不论直线的斜率取何值时，定圆恒与直线相切，定圆的方程为：．

直线与轴交点为，且点不可能在圆内，又当时，直线与定圆切于点，所以的取值范围是．

22．（12分）已知函数，．

（Ⅰ）求证：当时，对任意，恒成立；

（Ⅱ）求函数的极值；

（Ⅲ）当时，若存在，且，满足，求证：．

【解析】（1），．

，，，

在上为增函数，

当时，恒有成立．

（2）由，

当时，，在上为增函数，无极值；

当，，；，，

在上为减函数，在上为增函数，

，有极小值，无极大值，

综上，当时，无极值；

当时，有极小值，无极大值．

（3）当，在上为增函数，

由（2）知，当时，在上为增函数，

此时在上为增函数，

不可能存在，，满足且

有，不防设，则由，

得，

①

由，得②

由①②式，得，

即，

又，，③

要证，即证，

，，即证④

由③式，知只需证明，即证，

设，只需证，即证：，

令，则，

在上为增函数，（1）成立，

由③知，，成立．

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