...第四单元《整式的乘法与因式分解》测试(含答案解析)

1．若，，则的值是（ ）

A． ． ．1 ．9

2．已知，那么的值为（ ）

A．10 ．40 ．80 ．210

3．将因式分解，结果正确的是（ ）

A． ．

C． ．

4．在下列的计算中正确的是（ ）

A．； ．；

C．； ．

5．把多项式分解因式，结果正确的是（ ）

A． ． ． ．

6．下列计算中能用平方差公式的是（ ）．

A． ．

C． ．

7．下列运算正确的是（ ）．

A． ． ． ．

8．若关于的方程的解是，则代数式的值为（  ）

A． ． ． ．

9．当时，代数式的值为6，则时，的值为（ ）

A． ． ．4 ．

10．下列计算正确的是（　　　）

A．（a2）3=a5 ．（2a2）2=2a4 ．a3•a4=a7 ．a4÷a=a4

11．长和宽分别为a，b的长方形的周长为16，面积为12，则的值为（ ）

A．24 ．48 ．96 ．192

12．下列运算中错误的是(．

A．-(-3anb)4=-81a4nb4 ．(an+1+bn)4 = a4n+4b4n

C．(-2an)2．(3a2)3 = -54a2n+6 ．(3xn+1-2xn)5x=15xn+2-10xn+1

二、填空题

13．历史上数学家欧拉最先把关于的多项式用记号来表示，把等于某数时的多项式的值用来表示．例如，对于多项式，当时，多项式的值为，若，则的值为__________．

14．已知，，则_______．

15．若，则________．

16．数学家发明了一个魔术盒，当任意数对放入其中时，会得到一个新的数：．例如：将数对放入其中时，最后得到的数是________；

（1）将数对放入其中，最后得到的数________；

（2）现将数对放入其中，得到数，再将数对放入其中后，最后得到的数是________．（结果要化简）

17．分解因式：________________．

18．已知有理数a，b满足，，，则的值为______．

19．设（2a+3b）2＝（2a﹣3b）2+A，则A＝__________

20．如图：一块直径为的圆形钢板，从中挖去直径分别为与的两个半圆，则剩下的钢板面积为______．

三、解答题

21．如图1是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图2）．

（1）观察图2请你写出、、之间的等量关系是______；

（2）拓展应用：若，求的值．

22．乘法公式的探究及应用．

（1）如图1，可以求出阴影部分的面积是_______（写成两数平方差的形式）；

（2）图2是将图1中的阴影部分裁剪开，重新拼成的一个长方形，观察它的长和宽，其面积是______（写成多项式乘法的形式）．

（3）比较左、右两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式_______．（用等式表示）

（4）运用你所得到的公式，计算下列各题：

①

②

23．我们知道某些代数恒等式可用一些卡片拼成的图形面积来解释，例如：图（1）可以

用来解释，实际上利用一些卡片拼成的图形面积也可以对某些二次三项式进行因式分解．

如图（2），将一张长方形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为的大正方形，两块是边长都为的小正方形，五块是长为，宽为的全等小长方形，且．（以上长度单位： ）

（1）观察图形，可以发现代数式可以分解因式为_________

（2）若每块小长方形的面积为，四个正方形的面积和为试求图中所有裁剪线（虚线部分）长之和．

24．已知

（1）求的值

（2）求的值

25．计算：

（1）化简：

（2）因式分解：

26．计算：

（1）2a(4a2-2a+1)

（2）(2x -1)(2x+2)-(-2x)2

（3）(-x-2y)(x-2y)-(2y-x)2

（4）（用简便方法计算）

【参】***试卷处理标记，请不要删除

一、选择题

1．A

解析：A

【分析】

利用多项式乘以多项式法则计算，整理后将已知等式代入计算即可求出值．

【详解】

解：∵x+y=2，xy=-1，

∴（1-2x）（1-2y）=1-2y-2x+4xy=1-2（x+y）+4xy=1-2×2-4=-7；

故选：A．

【点睛】

本题考查了多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

2．B

解析：B

【分析】

所求式子变形后，将已知等式变形代入计算即可求出值．

【详解】

＝ 

＝25+15

=40

故选：B

【点睛】

此题主要考查整体代入的思想，还考查代数式求值的问题，是一道基础题．

3．D

解析：D

【分析】

先提公因式xn-1，再用平方差公式进行分解即可.

【详解】

xn+1−xn-1=xn-1(x2-1)=xn−1(x+1)(x−1)，

故选：D

【点睛】

此题考查了提公因式法和公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解答本题的关键.

4．A

解析：A

【分析】

根据单项式的乘法，平方差公式，完全平方公式，对各选项计算后利用排除法求解．

【详解】

A、a2•ab＝a3b，正确；

B、应为（a＋2）（a−2）＝a2−4，故本选项错误；

C、2x与3y不是同类项不能合并；

D、应为（x−3）2＝x2−6x＋9，故本选项错误．

故选：A．

【点睛】

本题主要考查平方差公式，单项式的乘法法则，完全平方公式，熟练掌握运算法则和公式是解题的关键，合并同类项时，不是同类项的不能合并．

5．D

解析：D

【分析】

先提出公因式4x，再利用完全平方公式因式分解即可解答．

【详解】

解：

=

=，

故选：D．

【点睛】

本题考查因式分解、完全平方公式，熟练掌握提公因式法和公式法分解因式的方法步骤是解答的关键．

6．B

解析：B

【分析】

根据平方差公式一项一项代入判断即可．

【详解】

A选项：两项都是互为相反数，故不能用平方差公式；

B选项：两项有一项完全相同，另一项为相反数，故可用平方差公式；

C选项：两项完全相同，故不能用平方差公式；

D选项：有一项与1不同，故不能用平方差公式．

故选：B．

【点睛】

此题考查平方差的基本特征：中a与b两项符号不同，难度一般．

7．A

解析：A

【分析】

分别根据同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方的法则进行逐一计算即可．

【详解】

A选项：，正确，符合题意；

B选项：，错误，不符合题意；

C选项：，错误，不符合题意；

D选项：，错误，不符合题意．

故选：A．

【点睛】

本题主要考查了同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方，熟练掌握性质和法则是解题的关键．

8．A

解析：A

【分析】

将方程的解代回方程得，再整体代入代数式求值即可．

【详解】

解：把代入原方程得，即，

则．

故选：A．

【点睛】

本题考查代数式求值和方程解的定义，解题的关键是掌握方程解的定义，以及利用整体代入的思想求值．

9．D

解析：D

【分析】

根据已知把x=2代入得：8a+2b+1=6，变形得：-8a-2b=-5，再将x=-2代入这个代数式中，最后整体代入即可．

【详解】

解：当x=2时，代数式ax3+bx+1的值为6，

则8a+2b+1=6，即8a+2b=5，

∴-8a-2b=-5，

则当x=-2时，ax3+bx+1=（-2）3a-2b+1=-8a-2b+1=-5+1=-4，

故选：D．

【点睛】

本题考查了求代数式的值，求代数式的值可以直接代入、计算．如果给出的代数式可以化简，要先化简再求值．题型简单总结以下三种：①已知条件不化简，所给代数式化简；②已知条件化简，所给代数式不化简；③已知条件和所给代数式都要化简．

10．C

解析：C

【分析】

根据幂的乘方、积的乘方、同底数幂的乘除法逐项判断即可得．

【详解】

A、，此项错误；

B、，此项错误；

C、，此项正确；

D、，此项错误；

故选：C．

【点睛】

本题考查了幂的乘方、积的乘方、同底数幂的乘除法，熟练掌握各运算法则是解题关键．

11．C

解析：C

【分析】

根据已知条件长方形的长与宽之和为8，长与宽之积为12，然后分解因式代入即可．

【详解】

∵长方形的周长为16，

∴，

∵面积为12，

∴，

∴，

故选：C．

【点睛】

本题考查的是因式分解的应用，以及长方形周长和面积的计算，熟练掌握长方形的周长和面积的计算公式是解答本题的关键．

12．C

解析：C

【分析】

根据幂的乘方法则、积的乘方法则、单项式乘法法则以及多项式乘以单项式的运算法则计算即可．

【详解】

解：A: ，故答案正确；

B: ，故答案正确；

C: ，故答案错误；

D: = ，故答案正确．

故选：C．

【点睛】

此题考查了积的乘方法则、幂的乘方法则、单项式乘法法则以及多项式乘以单项式的运算法则，熟练掌握运算法则是解题的关键．

二、填空题

13．4【分析】由得到整体代入求出结果【详解】解：∵∴即∴故答案是：4【点睛】本题考查代数式求值解题的关键是掌握整体代入求值的思想

解析：4

【分析】

由得到，整体代入求出结果．

【详解】

解：∵，

∴，即，

∴．

故答案是：4．

【点睛】

本题考查代数式求值，解题的关键是掌握整体代入求值的思想．

14．【分析】将变形整体代入即可求解【详解】解：∵=∴故答案为：【点睛】本题主要考察了同底数幂的乘法幂的乘方解题的关键是熟练掌握同底数幂的乘法幂的乘方的逆运算

解析：．

【分析】

将变形，整体代入即可求解．

【详解】

解：∵= 

∴ ．

故答案为：．

【点睛】

本题主要考察了同底数幂的乘法、幂的乘方，解题的关键是熟练掌握同底数幂的乘法、幂的乘方的逆运算．

15．6【分析】将原式化为再整体代入即可【详解】解：∵∴原式==8-2×1=6故答案为：6【点睛】本题考查了求代数式的值把某一部分看成一个整体是解题的关键

解析：6

【分析】

将原式化为，再整体代入即可．

【详解】

解：∵，

∴原式==8-2×1=6．

故答案为：6．

【点睛】

本题考查了求代数式的值，把某一部分看成一个整体是解题的关键．

16．-1-2-2m2+5m-2【分析】根据题目中的新定义运算规则可分别计算出数对和放入其中后最后得到的数再由数对放入其中得到数计算出m与n的关系再计算数对即可得到结果【详解】解：由题意得：数对放入其中时

解析：-1    -2    -2m2

【分析】

根据题目中的新定义运算规则，可分别计算出数对和放入其中后，最后得到的数，再由数对放入其中，得到数，计算出m与n的关系，再计算数对，即可得到结果．

【详解】

解：由题意得：数对放入其中时，最后得到的数是：（2-1）×（1-2）＝-1；

故答案为：-1；

（1）将数对放入其中，最后得到的数是：（-1）（-2）＝-2；

故答案为：-2；

（2）根据数对放入其中得到数，可得：（m−1）×（0−2）＝n， 则-2m+2＝n，

∴将数对（n，m）放入其中后，最后得到的数是：（n−1）（m−2）＝（-2m+2−1）（m−2）＝（-2m+1）（m−2）＝-2m2+5m-2．

故答案为：-2m2+5m-2．

【点睛】

此题主要考查了新定义下的实数运算，弄清题中的新定义运算规则、实数及多项式乘多项式的运算法则是解本题的关键．

17．【分析】原式提取公因式再利用平方差公式分解即可【详解】解：原式=5x（x2-4y2）=故答案为：【点睛】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用熟练掌握因式分解的方法是解题的关键

解析：

【分析】

原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可．

【详解】

解：原式=5x（x2-4y2）=，

故答案为：

【点睛】

本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．

18．0【分析】分情况讨论或根据绝对值的性质化简得到即可求出结果【详解】解：①时（矛盾）舍去；②时原式故答案是：0【点睛】本题考查代数式的求值解题的关键是掌握绝对值的化简利用整体代入的思想求值

解析：0

【分析】

分情况讨论，，或，，根据绝对值的性质化简，得到，即可求出结果．

【详解】

解：①，时，，

，

，

（矛盾），

舍去；

②，时，，

，

，

原式．

故答案是：0．

【点睛】

本题考查代数式的求值，解题的关键是掌握绝对值的化简，利用整体代入的思想求值．

19．24ab【分析】由完全平方公式（a±b）2＝a2±2ab+b2得到（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab据此可以作出判断【详解】解：∵（2a+3b）2＝（2a﹣3b）2+4×2a×3b＝（2a﹣3b）2

解析：24ab

【分析】

由完全平方公式（a±b）2＝a2±2ab+b2，得到（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab，据此可以作出判断．

【详解】

解：∵（2a+3b）2＝（2a﹣3b）2+4×2a×3b＝（2a﹣3b）2+24ab，

（2a+3b）2＝（2a﹣3b）2+A，

∴A＝24ab．

故答案为：24ab．

【点睛】

本题考查了完全平方公式．关键是要了解（a﹣b）2与（a+b）2展开式中区别就在于2ab项的符号上，通过加上或者减去4ab可相互变形得到．

20．【分析】先求出圆形钢板的面积再减去两个小半圆的面积即可【详解】解：圆形钢板的面积为：直径为a的半圆面积为：直径为b的半圆面积为：剩下钢板的面积为：=故答案为：【点睛】本题考查了圆的面积利用面积的差求

解析：

【分析】

先求出圆形钢板的面积，再减去两个小半圆的面积即可．

【详解】

解：圆形钢板的面积为：，

直径为a的半圆面积为：，

直径为b的半圆面积为：，

剩下钢板的面积为：，

=，

故答案为：．

【点睛】

本题考查了圆的面积，利用面积的差求出剩余钢板的面积，注意：圆的面积等于半径的平方乘以π．

三、解答题

21．（1）；（2）．

【分析】

（1）由图可知，图1的面积为4ab，图2中白色部分的面积为（a+b）2-（b-a）2=（a+b）2-（a-b）2，根据图1的面积和图2中白色部分的面积相等可得答案；

（2）令，，则，，根据求解

【详解】

解：（1）

（2）令，，

则，

由

∴

∴

即．

【点睛】

本题考查了完全平方公式的几何背景，解决此类题目的关键在于同一个图形的面积用两种不同的方法表示．

22．（1）；（2）；（3）；（4）①99.91；②

【分析】

（1）利用正方形的面积公式就可求出；

（2）仔细观察图形就会知道长，宽，由面积公式就可求出面积；

（3）建立等式就可得出；

（4）利用平方差公式就可方便简单的计算．

【详解】

解：（1）利用大正方形面积减去小正方形面积即可求出：，

故填：；

（2）它的宽是a﹣b，长是a+b，面积是，

故填：；

（3）根据题意得出：，

故填：；

（4）①解：原式

；

②解：原式

．

【点睛】

此题主要考查了平方差公式．即两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差，这个公式就叫做平方差公式．对于有图形的题同学们注意利用数形结合求解更形象直观．

23．（1）；（2）42cm．

【分析】

（1）根据图形的面积直接可以得到；

（2）根据，，可得，可求得，根据图形可知，图中所有裁剪线（虚线部分）长之和是，据此求解即可．

【详解】

（1）根据图形，依题意可得：

（2）依题意得，

，

根据图形可知，图中所有裁剪线（虚线部分）长之和是：

图中所有裁剪线（虚线部分）长之和为．

【点睛】

本题考查完全平方公式和因式分解的应用，理解题意，从题目中获取信息，列出正确的代数式，再由图形的特点求解是解题的关键．

24．（1）84；（2）25．

【分析】

（1）先提取公因式将所求式子因式分解为，再将已知式子的值代入即可得；

（2）利用完全平方公式进行变形求值即可得．

【详解】

（1），

，

，

；

（2），

，

，

，

．

【点睛】

本题考查了利用因式分解和完全平方公式进行变形求值，熟练掌握因式分解的方法和完全平方公式是解题关键．

25．（1）；（2）．

【分析】

（1）先利用单项式乘多项式和平方差公式计算，再合并同类项即可；

（2）先提取公因式，再利用完全平方公式因式分解．

【详解】

解：（1）原式=

=

=；

（2）原式=

=．

【点睛】

本题考查整式的混合运算，因式分解．（1）中掌握单项式乘多项式法则和平方差公式是解题关键；（2）中因式分解时一般有公因式先提取公因式，再看能否运用公式法因式分解．

26．（1）8a3-4a2+2a；（2）2x-2；（3）-2x2+4xy；（4）.

【分析】

（1）利用单项式乘多项式法则计算即可；

（2）根据多项式乘多项式和积的乘方展开，再合并同类项即可；

（3）根据平方差公式和完全平方公式展开，再合并同类项即可；

（4）原式先变形，再利用平方差公式计算即可.

【详解】

（1）2a(4a2-2a+1)= 2a4a2-2a2a +2a1=8a3-4a2+2a；

（2）(2x -1)(2x+2)-(-2x)2=4x2+4x-2x-2-4x2=2x-2；

（3）(-x-2y)(x-2y)-(2y-x)2= (-2y-x)( -2y+x) -(2y-x)2=4y2-x2-4y2-x2+4xy=-2x2+4xy；

（4）=.

【点睛】

此题考查了整式的混合运算，熟练掌握相应的运算法则是解答此题的关键.