2021年四川省达州市中考数学试卷和答案

一、单项选择题（每小题3分，共30分）

1．（3分）﹣的相反数是（　　）

A．    B．    C．﹣    D．﹣

2．（3分）如图，几何体是由圆柱和长方体组成的，它的主视图是（　　）

A．    B．    C．    D．

3．（3分）实数+1在数轴上的对应点可能是（　　）

A．A点    B．B点    C．C点    D．D点

4．（3分）下列计算正确的是（　　）

A．+＝    B．＝±3    

C．a•a﹣1＝1（a≠0）    D．（﹣3a2b2）2＝﹣6a4b4

5．（3分）如图，一束光线AB先后经平面镜OM，ON反射后，当∠ABM＝40°时，∠DCN的度数为（　　）

A．40°    B．50°    C．60°    D．80°

6．（3分）在反比例函数y＝（k为常数）上有三点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），若x1＜0＜x2＜x3，则y1，y2，y3的大小关系为（　　）

A．y1＜y2＜y3    B．y2＜y1＜y3    C．y1＜y3＜y2    D．y3＜y2＜y1

7．（3分）以下命题是假命题的是（　　）

A．的算术平方根是2    

B．有两边相等的三角形是等腰三角形    

C．一组数据：3，﹣1，1，1，2，4的中位数是1.5    

D．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行

8．（3分）生活中常用的十进制是用0~9这十个数字来表示数，满十进一，例：12＝1×10+2；计算机也常用十六进制来表示字符代码，它是用0~F来表示0~15，它与十进制对应的数如表：

A．28    B．62    C．238    D．334

9．（3分）在平面直角坐标系中，等边△AOB如图放置，点A的坐标为（1，0），同时每边扩大为原来的2倍，第一次旋转后得到△A1OB1，第二次旋转后得到△A2OB2，…，依次类推，则点A2021的坐标为（　　）

A．（﹣22020，﹣×22020）    B．（22021，﹣×22021）    

C．（22020，﹣×22020）    D．（﹣22021，﹣×22021）

10．（3分）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）经过点（2，0），且对称轴为直线x＝；②a+b＞0；③4a+2b+3c＜0，b，c取何值，抛物线一定经过（，0）2+4bm﹣b≥0．其中正确结论有（　　）

A．1个    B．2个    C．3个    D．4个

二、填空题（每小题3分，共18分）

11．（3分）截至2020年末，达州市金融精准扶贫共计392.5亿元，居全省第2,将392.5亿元用科学记数法表示应为 　           　元．

12．（3分）如图是一个运算程序示意图，若开始输入x的值为3，则输出y值为 　 　．

13．（3分）已知a，b满足等式a2+6a+9+＝0，则a2021b2020＝　   　．

14．（3分）如图，将一把矩形直尺ABCD和一块等腰直角三角板EFG摆放在平面直角坐标系中，AB在x轴上，点F在AD上，EF交BC于点M（x＜0）的图象恰好经过点F，M，若直尺的宽CD＝1，则k＝　    　．

15．（3分）若分式方程﹣4＝的解为整数　   　．

16．（3分）如图，在边长为6的等边△ABC中，点E，BC上的动点，且AE＝CF，AF交于点P，连接CP　            　．

三、解答题：解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤（共72分）

17．（5分）计算：﹣12+（π﹣2021）0+2sin60°﹣|1﹣|．

18．（7分）化简求值：（1﹣）÷()，其中a与2，3构成三角形的三边

19．（7分）为庆祝中国党成立100周年，在中小学生心中厚植爱党情怀，我市开展“童心向党”教育实践活动，舞蹈，书法,为了解学生的参与情况，该校随机抽取了部分学生进行“你愿意参加哪一项活动”（必选且只选一种），部分信息如下：

（1）这次抽样调查的总人数为 　    　人，扇形统计图中“舞蹈”对应的圆心角度数为 　    　；

（2）若该校有1400名学生，估计选择参加书法的有多少人？

（3）学校准备从推荐的4位同学（两男两女）中选取2人主持活动，利用画树状图或表格法求恰为一男一女的概率．

20．（7分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别是A（0，4），B（0，2），C（3，2）．

（1）将△ABC以O为旋转中心旋转180°，画出旋转后对应的△A1B1C1；

（2）将△ABC平移后得到△A2B2C2，若点A的对应点A2的坐标为（2，2），求△A1C1C2的面积．

21．（7分）2021年，州河边新建成了一座美丽的大桥．某学校数学兴趣小组组织了一次测桥墩高度的活动，如图，斜坡BC长为48米，在点D处测得桥墩最高点A的仰角为35°，CD长为16米，求桥墩AB的高（结果保留1位小数）．（sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70，≈1.73）

22．（8分）渠县是全国优质黄花主产地，某加工厂加工黄花的成本为30元/千克，根据市场调查发现，每天可销售500千克，为增大市场占有率，工厂采取降价措施，批发价每千克降低1元

（1）写出工厂每天的利润W元与降价x元之间的函数关系．当降价2元时，工厂每天的利润为多少元？

（2）当降价多少元时，工厂每天的利润最大，最大为多少元？

（3）若工厂每天的利润要达到9750元，并让利于民，则定价应为多少元？

23．（8分）如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点（C不与点A，B重合），BC，过点C作CD⊥AB，点D落在点E处得△ACE，AE交⊙O于点F．

（1）求证：CE是⊙O的切线；

（2）若∠BAC＝15°，OA＝2，求阴影部分面积．

24．（12分）某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究：

【现察与猜想】

（1）如图1，在正方形ABCD中，点E，AD上的两点，连接DE，DE⊥CF，则的值为 　 　；

（2）如图2，在矩形ABCD中，AD＝7，点E是AD上的一点，连接CE，且CE⊥BD，则的值为 　 　；

【类比探究】

（3）如图3，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，连接DE，过点C作DE的垂线交ED的延长线于点G，求证：DE•AB＝CF•AD；

【拓展延伸】

（4）如图4，在Rt△ABC中，∠BAD＝90°，tan∠ADB＝，将△ABD沿BD翻折，点E，F分别在边AB，连接DE，CF

①求的值；

②连接BF，若AE＝1，直接写出BF的长度．

25．（11分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c交x轴于点A和C（1，0），交y轴于点B（0，3），抛物线的对称轴交x轴于点E

（1）求抛物线的解析式；

（2）将线段OE绕着点O沿顺时针方向旋转得到线段OE'，旋转角为α（0°＜α＜90°），连接AE′，求BE′+AE′的最小值；

（3）M为平面直角坐标系中一点，在抛物线上是否存在一点N，使得以A，B，M，请直接写出点N的横坐标；若不存在

答案与卡片

一、单项选择题（每小题3分，共30分）

1．参解：﹣的相反数是．

故选：B．

2．参解：从正面看下面是一个比较长的矩形，上面是一个比较窄的矩形．

故选：A．

3．参解：∵1＜2＜4，

∴1＜＜5，

∴2＜+4＜3，

则实数+7在数轴上的对应点可能是点D，

故选：D．

4．参解：A.+无法合并；

B.＝3；

C．a•a﹣8＝1（a≠0）,故此选项正确；

D．（﹣6a2b2）4＝9a4b2,故此选项错误；

故选：C．

5．参解：∵∠ABM＝40°，∠ABM＝∠OBC,

∴∠OBC＝40°，

∴∠ABC＝180°﹣∠ABM﹣∠OBC＝180°﹣40°﹣40°＝100°，

∵CD∥AB，

∴∠ABC+∠BCD＝180°，

∴∠BCD＝180°﹣∠ABC＝80°，

∵∠BCO＝∠DCN，∠BCO+∠BCD+∠DCN＝180°，

∴∠DCN＝(180°﹣∠BCD)＝50°，

故选：B．

6．参解：∵k2+1＞3，

∴反比例函数图象在第一、三象限，

∵x1＜0＜x4＜x3，

∴y1＜6，0＜y3＜y2，

∴y1＜y3＜y3．

故选：C．

7．参解：A、＝2的算术平方根是，符合题意；

B、有两边相等的三角形是等腰三角形，不符合题意；

C、一组数据：3，1，4，2，4的中位数是5.5，不符合题意；

D、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，不符合题意；

故选：A．

8．参解：由题意得14E＝1×16×16+4×16+14＝334．

故选：D．

9．参解：由已知可得：

第一次旋转后，A1在第一象限，OA1＝5，

第二次旋转后，A2在第二象限，OA2＝32，

第三次旋转后，A3在x轴负半轴，OA8＝23，

第四次旋转后，A8在第三象限，OA4＝22，

第五次旋转后，A5在第四象限，OA5＝55，

第六次旋转后，A6在x轴正半轴，OA8＝26，

.....．

如此循环，每旋转4次，而2021＝6×336+5，

∴A2021在第四象限，且OA2021＝72021，示意图如下：

OH＝OA2021＝72020，A2021H＝OH＝2020，

∴A2021（（22020，﹣×22020），

故选：C．

10．参解：①∵抛物线的对称轴为直线x＝，即对称轴在y轴的右侧，

∴ab＜8，

∵抛物线与y轴交在负半轴上，

∴c＜0，

∴abc＞0，

故①正确；

②∵抛物线的对称轴为直线x＝，

∴﹣＝，

∴﹣2b＝8a，

∴a+b＝0，

故②不正确；

③∵抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，8），

∴4a+2b+c＝8，

∵c＜0，

∴4a+5b+3c＜0，

故③正确；

④由对称得：抛物线与x轴另一交点为（﹣7，0），

∵，

∴c＝﹣6a，

∴＝﹣1，

∴当a≠7，无论b，抛物线一定经过（，

故④不正确；

⑤∵b＝﹣a，

∴4am6+4bm﹣b＝4am5﹣4am+a＝a（4m6﹣4m+1）＝a（3m﹣1）2，

∵a＞8，

∴a（2m﹣1）4≥0，即4am3+4bm﹣b≥0，

故⑤正确；

本题正确的有：①③④⑤，共2个．

故选：D．

二、填空题（每小题3分，共18分）

11．参解：392.5亿＝39250000000＝3.925×1010．

故答案为：6.925×1010．

12．参解：∵3<4，

∴把x＝8代入y＝|x|﹣1得y＝3﹣3＝2，

故答案为2．

13．参解：∵a2+6a+7+＝6，

∴（a+3）2+＝0，

∴a+7＝0，b﹣，

解得：a＝﹣3，b＝，

则a2021b2020＝（﹣3）2021•（）2020＝﹣3×（﹣3×）2020＝﹣3．

故答案为：﹣7．

14．参解：过点M作MN⊥AD，垂足为N，

在Rt△FMN中，∠MFN＝45°，

∴FN＝MN＝1

又∵FG＝4，

∴NA＝MB＝FG﹣FN＝7﹣1＝3，

设OA＝a，则OB＝a﹣7，

∴点F（﹣a，4），3），

又∵反比例函数y＝（x＜4）的图象恰好经过点F，M，

∴k＝﹣4a＝3（﹣a﹣8），

解得，a＝3，

∴k＝﹣4a＝﹣12，

故答案为：﹣12．

15．参解：方程两边同时乘以（x+1）（x﹣1）得（3x﹣a）（x+1）﹣4（x+4）（x﹣1）＝（x﹣1）（﹣4x+a），

整理得﹣2ax＝﹣4，

整理得ax＝7，

∵x，a为整数，

∴a＝±1或a＝±2，

∵x＝±3为增根，

∴a≠±2，

∴a＝±1．

故答案为：±8．

16．参解：∵△ABC是等边三角形，

∴AB＝AC＝BC，∠CAB＝∠ACB＝60°，

在△ABE和△ACF中，

，

∴△ABE≌△ACF（SAS），

∴∠ABE＝∠CAF，

∴∠BPF＝∠PAB+∠ABP＝∠CAP+∠BAP＝60°，

∴∠APB＝120°，

如图，过点A，点B作⊙O，PO，

∴点P在上运动，

∵AO＝OP＝OB，

∴∠OAP＝∠OPA，∠OPB＝∠OBP，

∴∠AOB＝360°﹣∠OAP﹣∠OPA﹣∠OPB﹣∠OBP＝120°，

∴∠OAB＝30°，

∴∠CAO＝90°，

∵AC＝BC，OA＝OB，

∴CO垂直平分AB，

∴∠ACO＝30°，

∴cos∠ACO＝，CO＝8AO，

∴CO＝4，

∴AO＝7，

在△CPO中，CP≥CO﹣OP，

∴当点P在CO上时，CP有最小值，

∴CP的最小值＝4﹣2，

故答案为2．

三、解答题：解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤（共72分）

17．参解：原式＝﹣1+1+5×﹣（

＝﹣1+1+﹣+1

＝2．

18．参解：原式＝•

＝•

＝﹣2(a﹣2)

＝﹣5a+4,

∵a与2，7构成三角形的三边，

∴3﹣2＜a＜7+2,

∴1＜a＜7,

∵a为整数，

∴a＝2,3或2，

又∵a﹣2≠0,a﹣4≠0,

∴a≠2且a≠4,

∴a＝3,

∴原式＝﹣2a+3

＝﹣2×3+4

＝﹣6+4

＝﹣6．

19．参解：（1）这次抽样调查的总人数为：36÷18%＝200（人），

则参加舞蹈”的学生人数为：200﹣36﹣80﹣24＝60（人），

∴扇形统计图中“舞蹈”对应的圆心角度数为：360°×＝108°，

故答案为：200，108°；

（2）1400×＝560（人），

即估计选择参加书法有560人；

（3）画树状图如图：

共有12种等可能的结果，恰为一男一女的结果有8种，

∴恰为一男一女的概率为＝．

20．参解：（1）如图，△A1B1C5即为所求．

（2）如图，△A2B2C7即为所求．△A1C1C4的面积＝×5×4＝6．

21．参解：过点C作CE⊥BM于点E，过点D作DF⊥BM于点F，

在Rt△CEG中，∠BEC＝30°，

∴CE＝BC•sin30°＝×48＝24（米）≈24×1.73≈41.52（米），

∴DG＝BF＝BE+EF＝BE+CD＝41.52+16≈41.52+27.68＝69.2（米），

在Rt△ADG中，AG＝DG•tan∠ADG＝69.2×tan35°≈69.7×0.70＝48.44（米），

∴AB＝AG+BG＝AG+CE＝48.44+24＝72.44≈72.4（米），

答：桥墩AB的高约为72.7米．

22．参解：（1）由题意得：

W＝（48﹣30﹣x）（500+50x）＝﹣50x2+400x+9000，

x＝2时，W＝（48﹣30﹣6）（500+50×2）＝9600（元），

答：工厂每天的利润W元与降价x元之间的函数关系为W＝﹣50x2+400x+9000，当降价8元时；

（2）由（1）得：W＝﹣50x2+400x+9000＝﹣50（x﹣4）4+9800，

∵﹣50＜0，

∴x＝4时，W最大为9800，

即当降价3元时，工厂每天的利润最大；

（3）﹣50x2+400x+9000＝9750，

解得：x1＝8，x2＝5，

∵让利于民，

∴x6＝3不合题意，舍去，

∴定价应为48﹣5＝43（元），

答：定价应为43元．

23．参（1）证明：连接OC，

∵CD⊥AB，

∴∠ADC＝90°，

∵△ACD沿AC翻折得到△ACE，

∴∠EAC＝∠BAC，∠E＝∠ADC＝90°，

∵OA＝OC，

∴∠ACO＝∠BAC，

∴∠ACO＝∠EAC，

∴OC∥AE，

∴∠AEC+∠ECO＝180°，

∴∠ECO＝90°，即OC⊥CE，

∴CE是⊙O的切线；

（2）连解：接OF，过点O作OG⊥AE于点G，

∵∠BAC＝15°，

∴∠BAE＝2∠OAC＝30°，

∵OA＝2，

∴OG＝OA＝1，

∵OA＝OF，

∴AF＝2AG＝2，

∵∠BOC＝2∠BAC＝30°，CD⊥AB，

∴CD＝OC＝1，

∴AE＝AD＝AO+OD＝8+，

∴EF＝AE﹣AF＝2﹣，CE＝CD＝1，

∴S阴影＝S梯形OCEF﹣S扇形OCF

＝×（2﹣×π×72

＝2﹣﹣π．

24．参解:(1)如图1,设DE与CF交于点G,

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠A＝∠FDC＝90°，AD＝CD，

∵DE⊥CF，

∴∠DGF＝90°，

∴∠ADE+∠CFD＝90°，∠ADE+∠AED＝90°，

∴∠CFD＝∠AED，

在△AED和△DFC中，

，

∴△AED≌△DFC(AAS)，

∴DE＝CF,

∴＝1；

(2)如图6,设DB与CE交于点G,

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠A＝∠EDC＝90°，

∵CE⊥BD，

∴∠DGC＝90°，

∴∠CDG+∠ECD＝90°，∠ADB+∠CDG＝90°,

∴∠ECD＝∠ADB，

∵∠CDE＝∠A，

∴△DEC∽△ABD，

∴，

故答案为：．

(3)证明:如图3,过点C作CH⊥AF交AF的延长线于点H,

∵CG⊥EG,

∴∠G＝∠H＝∠A＝∠B＝90°,

∴四边形ABCH为矩形,

∴AB＝CH,∠FCH+∠CFH＝∠DFG+∠FDG＝90°,

∴∠CFH＝∠DFG＝∠ADE,∠A＝∠H＝90°,

∴△DEA∽△CFH,

∴,

∴,

∴DE•AB＝CF•AD；

(4)①如图7,过点C作CG⊥AD于点G,CG与DE相交于点O,

∵CF⊥DE,∠BAD＝90°,

∴∠FCG+∠CFG＝∠CFG+∠ADE＝90°,

∴∠FCG＝∠ADE,∠BAD＝∠CFG＝90°,

∴△DEA∽△CGF,

∴,

在Rt△ABD中,tan∠ADB＝,

∴AB＝7,

在Rt△ADH中,tan∠ADH＝,

∴,

设AH＝a,则DH＝3a,

∵AH3+DH2＝AD2,

∴a8+(3a)2＝42,

∴a＝(负值舍去),

∴AH＝,DH＝,

∴AC＝2AH＝,

∵S△ADC＝AD•CG,

∴×9CG,

∴CG＝,

∴；

②∵AC＝,CG＝,

∴AG＝＝＝,

∵CF⊥DE,CG⊥AD,

∴∠EOC+∠FCG＝∠DOG+∠EDA＝90°,

∵∠EOC＝∠DOG,

∴∠FCG＝∠EDA,

又∵∠EAD＝∠CGF＝90°,

∴△CFG∽△DEA,

∴,

又∵,AE＝1,

∴FG＝,

∴AF＝AG﹣FG＝＝,

∴BF＝＝＝．

25．参解：（1）把C（1，0），5）代入y＝﹣x2+bx+c中，

得：，

∴b＝﹣2，c＝2，

∴y＝﹣x2﹣2x+5，

（2）在OE上取一点D，使得OD＝，

连接AE'，BD，

∵，对称轴x＝﹣1，

∴E（﹣1，5），

∴OE'＝OE＝1，OA＝3，

∴，

又∵∠DOE'＝∠E'OA，

△DOE'∽△E'OA，

∴，

∴，

当B，E'，BE′+DE′最小为BD，

BD＝＝，

∴的最小值为；

（3）∵A（﹣3，2），3），

设N（n，﹣n2﹣6n+3），M（x，

则AB2＝18，AN4＝（n2+2n﹣6）2+（n+3）4，BN2＝n2+（n7+2n）2，

∵ABMN构成的四边形是矩形，

∴△ABN是直角三角形，

若AB是斜边，则AB8＝AN2+BN2，

即18＝（n7+2n﹣3）2+（n+3）2+n4+（n2+2n）6，

解得：n1＝，，

∴N的横坐标为或，

若AN是斜边，则AN3＝AB2+BN2，

即（n6+2n﹣3）4+（n+3）2＝18+（n7+2n）2，

解得n＝﹣8，

∴N的横坐标是﹣1，

若BN是斜边，则BN2＝AB3+AN2，

即n2+（n6+2n）2＝18+（n2+2n﹣3）6+（n+3）2，

解得n＝3，

∴N的横坐标为2，

综上N的横坐标为，，﹣1，3．

考点卡片

1．相反数

（1）相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数．

（2）相反数的意义：掌握相反数是成对出现的，不能单独存在，从数轴上看，除0外，互为相反数的两个数，它们分别在原点两旁且到原点距离相等．

（3）多重符号的化简：与“+”个数无关，有奇数个“﹣”号结果为负，有偶数个“﹣”号，结果为正．

（4）规律方法总结：求一个数的相反数的方法就是在这个数的前边添加“﹣”，如a的相反数是﹣a，m+n的相反数是﹣（m+n），这时m+n是一个整体，在整体前面添负号时，要用小括号．

2．非负数的性质：偶次方

偶次方具有非负性．

任意一个数的偶次方都是非负数，当几个数或式的偶次方相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0．

3．有理数的混合运算

（1）有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．

（2）进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化．

【规律方法】有理数混合运算的四种运算技巧

1．转化法：一是将除法转化为乘法，二是将乘方转化为乘法，三是在乘除混合运算中，通常将小数转化为分数进行约分计算．

2．凑整法：在加减混合运算中，通常将和为零的两个数，分母相同的两个数，和为整数的两个数，乘积为整数的两个数分别结合为一组求解．

3．分拆法：先将带分数分拆成一个整数与一个真分数的和的形式，然后进行计算．

4．巧用运算律：在计算中巧妙运用加法运算律或乘法运算律往往使计算更简便．

4．科学记数法—表示较大的数

（1）科学记数法：把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数，这种记数法叫做科学记数法．【科学记数法形式：a×10n，其中1≤a＜10，n为正整数．】

（2）规律方法总结：

①科学记数法中a的要求和10的指数n的表示规律为关键，由于10的指数比原来的整数位数少1；按此规律，先数一下原数的整数位数，即可求出10的指数n． 

②记数法要求是大于10的数可用科学记数法表示，实质上绝对值大于10的负数同样可用此法表示，只是前面多一个负号．

5．非负数的性质：算术平方根

（1）非负数的性质：算术平方根具有非负性．

（2）利用算术平方根的非负性求值的问题，主要是根据被开方数是非负数，开方的结果也是非负数列出不等式求解．非负数之和等于0时，各项都等于0利用此性质列方程解决求值问题．

6．实数与数轴

（1）实数与数轴上的点是一一对应关系．

任意一个实数都可以用数轴上的点表示；反之，数轴上的任意一个点都表示一个实数．数轴上的任一点表示的数，不是有理数，就是无理数．

（2）在数轴上，表示相反数的两个点在原点的两旁，并且两点到原点的距离相等，实数a的绝对值就是在数轴上这个数对应的点与原点的距离．

（3）利用数轴可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小．

7．实数的运算

（1）实数的运算和在有理数范围内一样，值得一提的是，实数既可以进行加、减、乘、除、乘方运算，又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方．

（2）在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．

另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．

【规律方法】实数运算的“三个关键”

1．运算法则：乘方和开方运算、幂的运算、指数（特别是负整数指数，0指数）运算、根式运算、特殊三角函数值的计算以及绝对值的化简等．

2．运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号的先算括号里面的，在同一级运算中要从左到右依次运算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算．

3．运算律的使用：使用运算律可以简化运算，提高运算速度和准确度．

8．同底数幂的乘法

（1）同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加．

am•an＝am+n（m，n是正整数）

（2）推广：am•an•ap＝am+n+p（m，n，p都是正整数）

在应用同底数幂的乘法法则时，应注意：①底数必须相同，如23与25，（a2b2）3与（a2b2）4，（x﹣y）2与（x﹣y）3等；②a可以是单项式，也可以是多项式；③按照运算性质，只有相乘时才是底数不变，指数相加．

（3）概括整合：同底数幂的乘法，是学习整式乘除运算的基础，是学好整式运算的关键．在运用时要抓住“同底数”这一关键点，同时注意，有的底数可能并不相同，这时可以适当变形为同底数幂．

9．幂的乘方与积的乘方

（1）幂的乘方法则：底数不变，指数相乘．

（am）n＝amn（m，n是正整数）

注意：①幂的乘方的底数指的是幂的底数；②性质中“指数相乘”指的是幂的指数与乘方的指数相乘，这里注意与同底数幂的乘法中“指数相加”的区别．

（2）积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．

（ab）n＝anbn（n是正整数）

注意：①因式是三个或三个以上积的乘方，法则仍适用；②运用时数字因数的乘方应根据乘方的意义，计算出最后的结果．

10．分式的化简求值

先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值．

在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．

【规律方法】分式化简求值时需注意的问题

1．化简求值，一般是先化简为最简分式或整式，再代入求值．化简时不能跨度太大，而缺少必要的步骤，代入求值的模式一般为“当…时，原式＝…”．

2．代入求值时，有直接代入法，整体代入法等常用方法．解题时可根据题目的具体条件选择合适的方法．当未知数的值没有明确给出时，所选取的未知数的值必须使原式中的各分式都有意义，且除数不能为0．

11．零指数幂

零指数幂：a0＝1（a≠0）

由am÷am＝1，am÷am＝am﹣m＝a0可推出a0＝1（a≠0）

注意：00≠1．

12．负整数指数幂

负整数指数幂：a﹣p＝1ap（a≠0，p为正整数）

注意：①a≠0；

②计算负整数指数幂时，一定要根据负整数指数幂的意义计算，避免出现（﹣3）﹣2＝（﹣3）×（﹣2）的错误．

③当底数是分数时，只要把分子、分母颠倒，负指数就可变为正指数．

④在混合运算中，始终要注意运算的顺序．

13．二次根式的性质与化简

（1）二次根式的基本性质：

①≥0； a≥0（双重非负性）．

②（）2＝a （a≥0）（任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式）．

③＝|a|＝（算术平方根的意义）

（2）二次根式的化简：

①利用二次根式的基本性质进行化简；

②利用积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质进行化简．

＝•（a≥0，b≥0）＝（a≥0，b＞0）

（3）化简二次根式的步骤：①把被开方数分解因式；②利用积的算术平方根的性质，把被开方数中能开得尽方的因数（或因式）都开出来；③化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2．

【规律方法】二次根式的化简求值的常见题型及方法

1．常见题型：与分式的化简求值相结合．

2．解题方法：

（1）化简分式：按照分式的运算法则，将所给的分式进行化简．

（2）代入求值：将含有二次根式的值代入，求出结果．

（3）检验结果：所得结果为最简二次根式或整式．

14．二次根式的加减法

（1）法则：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变．

（2）步骤：

①如果有括号，根据去括号法则去掉括号．

②把不是最简二次根式的二次根式进行化简．

③合并被开方数相同的二次根式．

（3）合并被开方数相同的二次根式的方法：

二次根式化成最简二次根式，如果被开方数相同则可以进行合并．合并时，只合并根式外的因式，即系数相加减，被开方数和根指数不变．

15．一元二次方程的应用

1、列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列方程的解，检验和作答．

2、列一元二次方程解应用题中常见问题：

（1）数字问题：个位数为a，十位数是b，则这个两位数表示为10b+a．

（2）增长率问题：增长率＝增长数量/原数量×100%．如：若原数是a，每次增长的百分率为x，则第一次增长后为a（1+x）；第二次增长后为a（1+x）2，即 原数×（1+增长百分率）2＝后来数．

（3）形积问题：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长．②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程．③利用相似三角形的对应比例关系，列比例式，通过两内项之积等于两外项之积，得到一元二次方程．

（4）运动点问题：物体运动将会沿着一条路线或形成一条痕迹，运行的路线与其他条件会构成直角三角形，可运用直角三角形的性质列方程求解．

【规律方法】列一元二次方程解应用题的“六字诀”

1．审：理解题意，明确未知量、已知量以及它们之间的数量关系．

2．设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数．

3．列：根据题中的等量关系，用含所设未知数的代数式表示其他未知量，从而列出方程．

4．解：准确求出方程的解．

5．验：检验所求出的根是否符合所列方程和实际问题．

6．答：写出答案．

16．分式方程的解

求出使分式方程中令等号左右两边相等且分母不等于0的未知数的值，这个值叫方程的解．

注意：在解方程的过程中因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根，增根是令分母等于0的值，不是原分式方程的解．

17．规律型：点的坐标

规律型：点的坐标．

18．函数值

函数值是指自变量在取值范围内取某个值时，函数与之对应唯一确定的值．

注意：①当已知函数解析式时，求函数值就是求代数式的值；当已知函数解析式，给出函数值时，求相应的自变量的值就是解方程；

②当自变量确定时，函数值是唯一确定的．但当函数值唯一确定时，对应的自变量可以是多个．

19．反比例函数图象上点的坐标特征

反比例函数y＝k/x（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，

①图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k；

②双曲线是关于原点对称的，两个分支上的点也是关于原点对称；

③在y＝k/x图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．

20．二次函数图象与系数的关系

二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）

①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．

当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；|a|还可以决定开口大小，|a|越大开口就越小．

②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置．

当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左侧； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右侧．（简称：左同右异）

③．常数项c决定抛物线与y轴交点． 抛物线与y轴交于（0，c）．

④抛物线与x轴交点个数．

△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．

21．二次函数图象上点的坐标特征

二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象是抛物线，顶点坐标是（﹣，）．

①抛物线是关于对称轴x＝﹣成轴对称，所以抛物线上的点关于对称轴对称，且都满足函数函数关系式．顶点是抛物线的最高点或最低点．

②抛物线与y轴交点的纵坐标是函数解析中的c值．

③抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，设两个交点分别是（x1，0），（x2，0），则其对称轴为x＝．

22．二次函数的应用

（1）利用二次函数解决利润问题

在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题．解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围．

（2）几何图形中的最值问题

几何图形中的二次函数问题常见的有：几何图形中面积的最值，用料的最佳方案以及动态几何中的最值的讨论．

（3）构建二次函数模型解决实际问题

利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题．

23．二次函数综合题

（1）二次函数图象与其他函数图象相结合问题

解决此类问题时，先根据给定的函数或函数图象判断出系数的符号，然后判断新的函数关系式中系数的符号，再根据系数与图象的位置关系判断出图象特征，则符合所有特征的图象即为正确选项．

（2）二次函数与方程、几何知识的综合应用

将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起．这类试题一般难度较大．解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件．

（3）二次函数在实际生活中的应用题

从实际问题中分析变量之间的关系，建立二次函数模型．关键在于观察、分析、创建，建立直角坐标系下的二次函数图象，然后数形结合解决问题，需要我们注意的是自变量及函数的取值范围要使实际问题有意义．

24．平行线的性质

1、平行线性质定理

   定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等． 简单说成：两直线平行，同位角相等．

   定理2：两条平行线被地三条直线所截，同旁内角互补．．简单说成：两直线平行，同旁内角互补． 

   定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等． 简单说成：两直线平行，内错角相等．

2、两条平行线之间的距离处处相等．

25．三角形三边关系

（1）三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边．

（2）在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．

（3）三角形的两边差小于第三边．

（4）在涉及三角形的边长或周长的计算时，注意最后要用三边关系去检验，这是一个隐藏的定时，容易忽略．

26．全等三角形的判定与性质

（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．

（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．

27．等边三角形的性质

（1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形．

①它可以作为判定一个三角形是否为等边三角形的方法；

②可以得到它与等腰三角形的关系：等边三角形是等腰三角形的特殊情况．在等边三角形中，腰和底、顶角和底角是相对而言的．

（2）等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°．

等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴．

28．等腰直角三角形

（1）两条直角边相等的直角三角形叫做等腰直角三角形．

（2）等腰直角三角形是一种特殊的三角形，具有所有三角形的性质，还具备等腰三角形和直角三角形的所有性质．即：两个锐角都是45°，斜边上中线、角平分线、斜边上的高，三线合一，等腰直角三角形斜边上的高为外接圆的半径R，而高又为内切圆的直径（因为等腰直角三角形的两个小角均为45°，高又垂直于斜边，所以两个小三角形均为等腰直角三角形，则两腰相等）；

（3）若设等腰直角三角形内切圆的半径r＝1，则外接圆的半径R＝+1，所以r：R＝1：+1．

29．矩形的性质

（1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形．

（2）矩形的性质

①平行四边形的性质矩形都具有；

②角：矩形的四个角都是直角；

③边：邻边垂直；

④对角线：矩形的对角线相等；

⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点．

（3）由矩形的性质，可以得到直角三角形的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．

30．垂径定理

（1）垂径定理

     垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．

（2）垂径定理的推论

     推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．

     推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．

     推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．

31．圆周角定理

（1）圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．

注意：圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上．②角的两条边都与圆相交，二者缺一不可．

（2）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．

推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．

（3）在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能技巧一定要掌握．

（4）注意：①圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形．利用等腰三角形的顶点和底角的关系进行转化．②圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”﹣﹣﹣圆心角转化．③定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角．

32．点与圆的位置关系

（1）点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有：

①点P在圆外⇔d＞r

②点P在圆上⇔d＝r

①点P在圆内⇔d＜r

（2）点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．

（3）符号“⇔”读作“等价于”，它表示从符号“⇔”的左端可以得到右端，从右端也可以得到左端．

33．切线的判定与性质

（1）切线的性质

①圆的切线垂直于经过切点的半径．

②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．

③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．

（2）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．

（3）常见的辅助线的：

①判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”；

②有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”．

34．扇形面积的计算

（1）圆面积公式：S＝πr2

（2）扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形．

（3）扇形面积计算公式：设圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S，则

S扇形＝πR2或S扇形＝lR（其中l为扇形的弧长）

（4）求阴影面积常用的方法：

①直接用公式法；

②和差法；

③割补法．

（5）求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积．

35．命题与定理

1、判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．

2、有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．

3、定理是真命题，但真命题不一定是定理．

4、命题写成“如果…，那么…”的形式，这时，“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面解的部分是结论．

5、命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．

36．翻折变换（折叠问题）

1、翻折变换（折叠问题）实质上就是轴对称变换．

2、折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．

3、在解决实际问题时，对于折叠较为复杂的问题可以实际操作图形的折叠，这样便于找到图形间的关系．

首先清楚折叠和轴对称能够提供给我们隐含的并且可利用的条件．解题时，我们常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．我们运用方程解决时，应认真审题，设出正确的未知数．

37．坐标与图形变化-平移

（1）平移变换与坐标变化

①向右平移a个单位，坐标P（x，y）⇒P（x+a，y）

①向左平移a个单位，坐标P（x，y）⇒P（x﹣a，y）

①向上平移b个单位，坐标P（x，y）⇒P（x，y+b）

①向下平移b个单位，坐标P（x，y）⇒P（x，y﹣b）

（2）在平面直角坐标系内，把一个图形各个点的横坐标都加上（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移a个单位长度．（即：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．）

38．坐标与图形变化-旋转

（1）关于原点对称的点的坐标

     P（x，y）⇒P（﹣x，﹣y）

（2）旋转图形的坐标

     图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°．

39．作图-旋转变换

（1）旋转图形的作法：

根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．

（2）旋转作图有自己独特的特点，决定图形位置的因素较多，旋转角度、旋转方向、旋转中心，任意不同，位置就不同，但得到的图形全等．

40．相似三角形的性质

相似三角形的定义：如果两个三角形的对应边的比相等，对应角相等，那么这两个三角形相似．

（1）相似三角形的对应角相等，对应边的比相等．

（2）相似三角形（多边形）的周长的比等于相似比；

相似三角形的对应线段（对应中线、对应角平分线、对应边上的高）的比也等于相似比．

（3）相似三角形的面积的比等于相似比的平方．

由三角形的面积公式和相似三角形对应线段的比等于相似比可以推出相似三角形面积的比等于相似比的平方．

41．相似形综合题

相似形综合题．

42．特殊角的三角函数值

（1）特指30°、45°、60°角的各种三角函数值．

sin30°＝； cos30°＝；tan30°＝；

sin45°＝；cos45°＝；tan45°＝1；

sin60°＝；cos60°＝； tan60°＝；

（2）应用中要熟记特殊角的三角函数值，一是按值的变化规律去记，正弦逐渐增大，余弦逐渐减小，正切逐渐增大；二是按特殊直角三角形中各边特殊值规律去记．

（3）特殊角的三角函数值应用广泛，一是它可以当作数进行运算，二是具有三角函数的特点，在解直角三角形中应用较多．

43．解直角三角形的应用-坡度坡角问题

（1）坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比，又叫做坡比，它是一个比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用i表示，常写成i＝1：m的形式．

（2）把坡面与水平面的夹角α叫做坡角，坡度i与坡角α之间的关系为：i＝h/l＝tanα．

（3）在解决坡度的有关问题中，一般通过作高构成直角三角形，坡角即是一锐角，坡度实际就是一锐角的正切值，水平宽度或铅直高度都是直角边，实质也是解直角三角形问题．

应用领域：①测量领域；②航空领域  ③航海领域：④工程领域等．

44．解直角三角形的应用-仰角俯角问题

（1）概念：仰角是向上看的视线与水平线的夹角；俯角是向下看的视线与水平线的夹角．

（2）解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，另当问题以一个实际问题的形式给出时，要善于读懂题意，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决．

45．简单组合体的三视图

（1）画简单组合体的三视图要循序渐进，通过仔细观察和想象，再画它的三视图．

（2）视图中每一个闭合的线框都表示物体上的一个平面，而相连的两个闭合线框常不在一个平面上．

（3）画物体的三视图的口诀为：

主、俯：长对正；

主、左：高平齐；

俯、左：宽相等．

46．用样本估计总体

用样本估计总体是统计的基本思想． 

1、用样本的频率分布估计总体分布：

从一个总体得到一个包含大量数据的样本，我们很难从一个个数字中直接看出样本所包含的信息．这时，我们用频率分布直方图来表示相应样本的频率分布，从而去估计总体的分布情况． 

2、用样本的数字特征估计总体的数字特征（主要数据有众数、中位数、平均数、标准差与方差 ）．

一般来说，用样本去估计总体时，样本越具有代表性、容量越大，这时对总体的估计也就越精确．

47．扇形统计图

（1）扇形统计图是用整个圆表示总数用圆内各个扇形的大小表示各部分数量占总数的百分数．通过扇形统计图可以很清楚地表示出各部分数量同总数之间的关系．用整个圆的面积表示总数（单位1），用圆的扇形面积表示各部分占总数的百分数．

（2）扇形图的特点：从扇形图上可以清楚地看出各部分数量和总数量之间的关系．

（3）制作扇形图的步骤

①根据有关数据先算出各部分在总体中所占的百分数，再算出各部分圆心角的度数，公式是各部分扇形圆心角的度数＝部分占总体的百分比×360°．　　②按比例取适当半径画一个圆；按扇形圆心角的度数用量角器在圆内量出各个扇形的圆心角的度数；

④在各扇形内写上相应的名称及百分数，并用不同的标记把各扇形区分开来．

48．条形统计图

（1）定义：条形统计图是用线段长度表示数据，根据数量的多少画成长短不同的矩形直条，然后按顺序把这些直条排列起来．

（2）特点：从条形图可以很容易看出数据的大小，便于比较．

（3）制作条形图的一般步骤：

①根据图纸的大小，画出两条互相垂直的射线．

②在水平射线上，适当分配条形的位置，确定直条的宽度和间隔．

③在与水平射线垂直的射线上，根据数据大小的具体情况，确定单位长度表示多少．

④按照数据大小，画出长短不同的直条，并注明数量．

49．列表法与树状图法

（1）当试验中存在两个元素且出现的所有可能的结果较多时，我们常用列表的方式，列出所有可能的结果，再求出概率．

（2）列表的目的在于不重不漏地列举出所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，求出概率．

（3）列举法（树形图法）求概率的关键在于列举出所有可能的结果，列表法是一种，但当一个事件涉及三个或更多元素时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图．

（4）树形图列举法一般是选择一个元素再和其他元素分别组合，依次列出，象树的枝丫形式，最末端的枝丫个数就是总的可能的结果n．

（5）当有两个元素时，可用树形图列举，也可以列表列举．