人教版高中数学必修一《基本初等函数》全章知识小结

基本初等函数

一、目标解读

函数是高中数学的主要内容之一，这是因为函数思想方法灵活多样，逻辑思维性强，许多数学问题都可以从函数的角度来认识、研究．函数知识与数学的其他各分支的巧妙结合容易形成综合性较强的新颖的试题，这样的试题往往成为高考中极具份量的一类解答题，综合考查考生应用函数知识分析问题、解决问题的能力．而在命题的具体设计上，总是具有从易到难、逐步设问的特点，以较隐蔽的方式给出解题思路，在考查函数内容的同时也考查应用函数的思想方法，观察问题、分析问题和解决问题的能力，同时考查学生数形结合的思想和分类讨论的思想的应用能力．

函数是中学数学的重要组成部分．它所涉及的内容是升入大学继续学习的基础，因此，函数不仅是中学数学教学的重点，也是高考考查的重点．近年来，函数的分值占30%左右．

函数是高中代数的主线．它体系完整，内容丰富，应用广泛．由于它描述的是自然界中量的依存关系，是对问题本身数量的制约关系的一种刻画，所以是对数量关系本质特征的一种揭示，为我们从运动、变化、联系、发展的角度认识问题打开了思路．

本章主要研究的是基本初等函数：指数函数、对数函数和幂函数的概念、图象和性质．包括理解分数指数幂的概念，掌握有理指数幂的运算性质，理解对数的概念，掌握对数的运算性质，能运用函数的一般性质和指数函数、对数函数的特征性质解决某些简单的实际问题．

指数函数与对数函数都是初等超越函数．在历年的高考题中出现的频率较大．出现在小题时是较基本的考查方式；出现在大题中时，往往与其他知识综合形成开放性问题，加大对开放性问题的考查力度．

通过本章的学习达到以下基本目标：

①了解指数函数模型的实际背景，体会指数函数是一类重要的函数模型．

②理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算．

③理解指数函数的概念和意义，能画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点．

④了解对数函数模型所刻画的数量关系，初步理解对数函数的概念，体会对数函数是一类重要的函数模型．

⑤能画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点．

⑥理解对数的概念及其运算性质，能用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数．

⑦了解指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)互为反函数．

⑧了解幂函数的概念，结合函数y＝xα (α＝1,2,3，，－1)的图象，了解它们的变化情况．

二、主干知识 

(一)指数与指数幂的运算

1．整数指数幂的概念．

(1)正整数指数幂的意义：

(2)零指数幂：a0＝1(a≠0)．

(3)负整数指数幂：

a－n＝(a≠0，n∈N*)．

2．整数指数幂的运算性质：

①am·an＝am＋n；②(am)n＝amn；③(ab)n＝anbn.

3．如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n＞0，且n∈N*.

(1)当n是奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数．此时a的n次方根用符号表示．

(2)方根的性质：①当n是奇数时，＝a；

②当n是偶数时，＝|a|＝

4．分数指数幂．

(1)正数的分数指数幂的意义：设a＞0，m，n∈N*，n＞1，规定

(2)0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义．

5．有理指数幂的运算性质：

①ar·as＝ar＋s(a＞0，r，s∈Q)；

②(ar)s＝ars(a＞0，r，s∈Q)；

③(ab)r＝arbr(a＞0，b＞0，r∈Q)．

(二)指数函数及其性质

1．函数y＝ax(a＞0，且a≠1)叫做指数函数，其中x是自变量．

2．指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的图象和性质(见下表)：

1．如果ax＝N(a＞0，a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数．记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．对数式的书写格式：

(1)以10为底的对数叫做常用对数，并把常用对数log10N简记为lg N；

(2)以无理数e＝2.718 28……为底的对数，叫自然对数，并把自然对数logeN简记为ln N.

2．指数与对数的关系：设a＞0，且a≠1，则ax＝N⇔logaN＝x.

3．对数的性质．

(1)在指数式中N＞0，故0和负数没有对数，即式子logaN中N必须大于0；

(2)设a＞0，a≠1，则有a0＝1，所以loga1＝0，即1的对数为0；

(3)设a＞0，a≠1，则有a1＝a，所以logaa＝1，即底数的对数为1.

4．对数恒等式．

(1)如果把ab＝N中的b写成logaN形式，则有

(2)如果把x＝logaN中的N写成ax形式，则有logaax＝x.

5．对数的运算性质．

设a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，则有：

(1)loga(MN)＝logaM＋logaN，简记为：积的对数＝对数的和；

(2)loga＝logaM－logaN，简记为：商的对数＝对数的差；

(3)logaMn＝nlogaM(n∈R)．

(四)对数函数及其性质

1．函数y＝logax(a＞0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)．

2．对数函数的图象、性质(见下表)：

(2)当0＜a＜1时，若0＜x＜1，则logax＞0，若x＞1，则logax＜0.

3．函数y＝ax与y＝logax(a＞0，且a≠1)互为反函数，互为反函数的两个函数的图象关于直线y＝x对称．

(五)幂函数

1．形如y＝xα(α∈R)的函数叫做幂函数，其中α为常数．只研究α为有理数的情形．

3．幂函数的性质．

(1)幂函数在(0，＋∞)都有定义，并且图象都过点(1,1)．

(2)当α＞0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间[0，＋∞)上是增函数．特别地，当α＞1时，幂函数的图象下凸；当0＜α＜1时，幂函数的图象上凸．

(3)当α＜0时，幂函数的图象在区间(0，＋∞)上是减函数．在第一象限内，当x从右边趋向原点时，图象在y轴右方无限地逼近y轴正半轴，当x趋于＋∞时，图象在x轴上方无限地逼近x轴正半轴．

4．图象形状：当α＞0(α≠1)时，图象为抛物线型；当α＜0时，图象为双曲线型；当α＝0,1时，图象为直线型．

指数幂的运算

1．正数的分数指数幂的意义：设a>0，m，n∈N*，n>1，规定：0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义．

2．有理指数幂的运算性质：

①ar·as＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)；

②(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)；

③(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q)．

答案：

►跟踪训练

解析：由平方差公式化简即得答案．

答案： －27

答案：－6a　

3．幂函数y＝f(x)的图象经过点，则满足f(x)＝27的x的值是________．

答案：

指数与对数运算

1．设a>0，且a≠1，则ax＝N⇔logaN＝x；alogaN＝N; logaax＝x.

2．设a>0，a≠1, M>0，N>0 ，则有

(1)loga(MN)＝logaM＋logaN，

(2)loga＝logaM－logaN，

(3)logaMn＝nlogaM(n∈R)．

3．设a>0，a≠1，b>0，b≠1，则logax＝.

　设2a＝5b＝m，且＋＝2，则m＝(　　)

A.　　　　B．10

C．20        D．100

解析：由2a＝5b＝m得a＝log2m，b＝log5m，

∴＋＝logm2＋logm5＝logm10＝2，∴m2＝10，又∵m＞0，∴m＝.

答案：A

►跟踪训练

4．已知函数f(x)＝log2(x＋1)，若f(α)＝1，则α＝(　　)

A．0      B．1

C．2      D．3

解析：α＋1＝2，故α＝1，选B.

答案：B

5．2log510＋log50.25＝(　　)

A．0      B．1

C．2      D．4

解析：2log510＋log50.25＝log5100＋log50.25＝log525＝2.

答案：C

6．已知函数f(x)＝则f＝(　　)

A．4       B.

C．－4     D．－

7．设g(x)＝则g＝________.

解析：

答案：

指数函数与对数函数的性质

1．指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的定义域是R，值域是，过定点(0,1)．

当a>1时，指数函数y＝ax是R上的增函数；当02．对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)的定义域是，值域是R，过定点(1,0)．

当a>1时，对数函数y＝logax是上的增函数；当0　　　函数y＝的定义域为(　　)

A.　　　　  B.

C．(1，＋∞)      D.∪(1，＋∞)

解析：由log0.5(4x－3)＞0且4x－3＞0可解得＜x＜1，故A正确．

答案：A

►跟踪训练

8．函数y＝2x的图象大致是(　　)

答案：C

9．函数f(x)＝lg(x－1)的定义域是(　　)

A．(2，＋∞)    B．(1，＋∞)

C．[1，＋∞)    D．[2，＋∞)

解析：x－1＞0，得x＞1，选B.

答案：B

10．函数f(x)＝log2(3x＋1)的值域为(　　)

A．(0，＋∞)     B．[0，＋∞)

C．(1，＋∞)     D．[1，＋∞)

答案：A

研究基本初等函数及其组合的性质

研究由基本初等函数的和与差等运算构成的新函数的性质时，必须明确各基本初等函数的相关性质．

　设函数的集合P＝f(x)＝log2(x＋a)＋ 

A．4个     B．6个

C．8个     D．10个

解析：当a＝0，b＝0；a＝0，b＝1；a＝，b＝0; a＝，b＝1；a＝1，b＝－1；a＝1，b＝1时满足题意，选B.

答案：B

►跟踪训练

11．若函数f(x)＝3x＋3－x与g(x)＝3x－3－x的定义域均为R，则(　　)

A．f(x)与g(x)均为偶函数

B．f(x)为偶函数，g(x)为奇函数

C．f(x)与g(x)均为奇函数

D．f(x)为奇函数，g(x)为偶函数

解析：f(－x)＝3－x＋3x＝f(x)，g(－x)＝3－x－3x＝－g(x)．

答案：B

A．①②     B．②③

C．③④     D．①④

答案：B

13．设函数f(x)＝x(ex＋ae－x)(x∈R)是偶函数，则实数a＝________.

解析：由条件知，g(x)＝ex＋ae－x为奇函数，故g(0)＝0，得a＝－1.

答案：－1

数学思想方法的应用

数形结合的思想方法是根据数量与图形的对应关系，通过数与形的相互转化来解决问题的一种思想方法．转化与化归的思想方法则是将问题不断转化，直到转化为比较容易解决或已经解决的问题．而分类讨论的核心是通过增强条件来分情况逐一研究，使问题易于解决．

一、数形结合思想

　直线y＝1与曲线y＝x2－＋a有四个交点，则a的取值范围是 _______ .

2＋a－

解得1＜a＜.故a的取值范围是.

答案：

►跟踪训练

14．已知c＜0，下列不等式中成立的一个是(　　)

A．c＞2c　　　　B．c＞c

C．2c＜c      D．2c＞c

解析：在同一直角坐标系下作出y＝x，y＝x，y＝2x的图象，显然c＜0时，x＜2x＜x，即c＜0时，c＜2c＜c.

答案：C

15．下列函数图象中，正确的是(　　)

答案：C　

16．已知y＝f (x)是偶函数，当x>0时，y＝f (x)是减函数，并且f (1)>0>f (2)，则方程f (x)＝0的实根的个数是_________个．

答案：2

二、转化与化归的思想

　设a＝，b＝，试比较a、b的大小．

解析：如果比较a－b与0或与1的大小，即用作差法、作商法来做，较繁杂、不易判断．

由于a、b两数的结构特点可构造函数f(x)＝，则a＝f(33)，b＝f(34)，若能判断出此函数的单调性，那么就可简捷地比较出a、b的大小．

f(x)＝＝＝

＝＋.

∵3x＋1在R上递增，∴在R上递减．

∴ f(x)＝＋在R上递减．

∴ f(33)＞f(34)，即a＞b.

►跟踪训练

17．解方程：(lg 2x)·(lg 3x)＝lg 2·lg 3.

解析：原方程可化为

(lg 2＋lg x)(lg 3＋lg x)＝lg 2·lg 3，

即lg2x＋lg 6·lg x＝0，

解得lg x＝0或lg x＝－lg 6.

∴x＝1或x＝，

经检验x＝1，x＝都是原方程的解．

∴原方程的解为x1＝1或 x2＝.

18．比较log0.30.1和log0.20.1的大小．

解析：log0.30.1＝＞0，

log0.20.1＝＞0.

∵log0.10.3＜log0.10.2，

∴log0.30.1＞log0.20.1.

19．某池塘中野生水葫芦的面积与时间的函数关系的图象如下图所示．假设其关系为指数函数，并给出下列说法：

①此指数函数的底数为2；

②在第5个月时，野生水葫芦的面积就会超过30 m2；

③野生水葫芦从4 m2蔓延到12 m2只需1.5个月；

④设野生水葫芦蔓延到2 m2,3 m2,6 m2所需的时间分别为t1，t2，t3, 则有t1＋t2＝t3；

⑤野生水葫芦在第1到第3个月之间蔓延的平均速度等于在第2到第4个月之间蔓延的平均速度．

其中正确的说法有 ______________ (填序号)．

答案：①②④

三、分类讨论思想

　若a>0，且a≠1，p＝loga(a3＋a＋1)，q＝loga(a2＋a＋1)，则p、q的大小关系为(　　)

A．p＝q

B．pC．p>q

D．a>1时，p>q；0解析：要比较p、q的大小，只需先比较a3＋a＋1与a2＋a＋1的大小，再利用对数函数的单调性．而决定a3＋a＋1与a2＋a＋1的大小的a值的分界点为使(a3＋a＋1)－(a2＋a＋1)＝a2(a－1)＝0的a值：a＝1，当a>1时，a3＋a＋1>a2＋a＋1，此时loga(a3＋a＋1)>loga(a2＋a＋1)，即p>q.

当0loga(a2＋a＋1)，即p>q.

可见，不论a>1还是0q.

答案：C

►跟踪训练

20．已知函数f(x)＝ 若f(a)＝，则a＝(　　)

A．－1        B.

C．－1或    D．1或－

解析：讨论a>0和a≤0两种情况．

答案：C

21．已知函数f(x)＝logax在[2，π]上的最大值比最小值大1，则a等于(　　)

A.       B.

C.或    D．不同于A、B、C答案

解析：研究函数的最值需考查函数的单调性，而题中对数函数的增减性与底数a的取值有关，故应对a进行分类讨论．

(1)当a>1时，f(x)在[2，π]上是增函数，最大值是f(π)，最小值是f(2)，据题意，f(π)－f(2)＝1，即logaπ－loga2＝1，∴a＝.

(2)当0∴a＝.

由(1)(2)知，选C.

答案： C

22．已知f(x)＝1＋logx3，g(x)＝2logx2试比较f(x)和g(x)的大小．

解析：f(x)－g(x)＝logx.

(1)当⇒x＞，或⇒0＜x＜1，

即x>或0g(x)．

(2)当＝1即x＝时，f(x)＝g(x)．

(3)当⇒1＜x＜，或⇒x∈∅，即1综上所述：①当x∈(0,1)∪时，f(x)＞g(x)；

②当x＝时，f(x)＝g(x)；

③当x∈时，f(x)＜g(x)．

23．已知f(x)＝loga(ax－1)(a＞0且a≠1)．

(1)求定义域；

(2)讨论函数的单调区间．

    解析：(1)由ax－1＞0⇒ax＞1，当a＞1时，函数定义域为(0，＋∞)，当0＜a＜1时，函数定义域为(－∞，0)．

点评：底数含字母a，要进行分类讨论．