福建省福州市福清市2018-2019学年第二学期七年级(下)期中考试数学试卷...

一．选择题（共10小题）

1．下列实数是无理数的是（　　）

A．    B．﹣1    C．    D．3.14

2．下图中能判断∠1与∠2一定互为补角的是（　　）

A．    B．    

C．    D．

3．在平面直角坐标系中，点（﹣1，﹣3）位于（　　）

A．第一象限    B．第二象限    C．第三象限    D．第四象限

4．下列各组数中，是方程2x+3y＝10的解为（　　）

A．    B．    C．    D．

5．估计+1的结果在哪两个整数之间（　　）

A．2和3    B．3和4    C．4和5    D．5和6

6．如图，点E在AD的延长线上，下列条件中能判断AB∥CD的是（　　）

A．∠3＝∠4    B．∠1＝∠2    

C．∠C＝∠CDE    D．∠C+∠ADC＝180°

7．下列语句正确的是（　　）

A．a的平方根是（a≥0）    

B．在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行    

C．同旁内角互补    

D．若ab＝0，则点P（a，b）在坐标原点

8．如图，将一副三角板和一张对边平行的纸条按下列方式摆放，两个三角板的一直角边重合，其中一个三角板的斜边与纸条一边重合，则∠1的度数是（　　）

A．30°    B．40°    C．45°    D．50°

9．已知＝a，＝b，点A的坐标为（a，b），则点A的坐标不可能是（　　）

A．（0，1）    B．（1，﹣1）    C．（0，0）    D．（﹣1，0）

10．关于x、y的方程组的解为整数，则满足这个条件的整数m的个数有（　　）

A．2个    B．3个    C．4个    D．无数个

二．填空题（共6小题）

11．25的算术平方根是　   　．

12．如图，象棋盘上，若“将”位于点（0，0），“车”位于点（﹣4，0），则“马”位于　   　．

13．把命题“对顶角相等”改写成“如果…那么…”的形式：　   　．

14．如图，已知∠AOB＝62°，将∠AOB沿着射线OC折叠，使OA和OB重合，过OB边上任意一点P作OA的平行线交OC于D，则∠ODP的度数为　   　．

15．如图，将直径为1个单位长度的圆沿着数轴向右滚动一周，圆上一点由表示﹣2的点A到达点A'，则点A'对应的数是　   　．

16．平面直角坐标系中，点A（a，），B（﹣3，﹣），则线段AB的最小值为　   　．

三．解答题（共9小题）

17．计算题：

（1）

（2）

18．解方程（组）：

（1）

（2）（x﹣3）3＝8

19．已知三角形A1B1C1是由三角形ABC经过平移得到的，其中A、B、C三点的对应点分别是A1、B1、C1，它们在平面直角坐标系中的坐标如表所示：

（2）在图中的平面直角坐标系中画出三角形ABC及三角形A1B1C1；

（3）P（m，n）为三角形ABC中任意一点，则平移后对应点P′的坐标为　   　．

20．阅读并填空完善下列证明过程：

如图，已知BC⊥AC于C，DF⊥AC于D，∠1+∠2＝180°，

求证：∠GFB＝∠DEF﹒

证明：∵BC⊥AC于C，DF⊥AC于D（已知）

∴∠C＝∠　   　＝90°（　   　）

∴CB∥FD（同位角相等，两直线平行）

∴∠1+∠3＝180°（　   　）

又∵∠1+∠2＝180°（已知）

∴∠2＝∠3（　   　）

∴　   　∥　   　（　   　）

∴∠GFB＝∠DEF（　   　）

21．如图，已知直线AD∥BC，且都被直线BE所截，交点分别为A、B，AC⊥BE于点A，交直线BC于点C，∠1＝44°，求∠2的度数．

22．已知关于x、y的方程组，甲由于看错了方程①中的a，得到方程组的解为；乙由于看错了方程②中的b，得到方程组的解为．求原方程组的正确解．

23．某校七年级为了开展球类兴趣小组，需要购买一批足球和篮球﹒若购买3个足球和5个篮球需580元；若购买4个足球和3个篮球需480元．

（1）求出足球和篮球的的单价分别是多少？

（2）已知该年级决定用800元购进这两种球，若两种球都要有，请问有几种购买方案，并请加以说明﹒

24．我们知道：零与任何实数的积为零，任意一个有理数与无理数的和为无理数．现定义一种新运算“⊕”：对于任意有理数a，b，都有a⊕b＝a+b，例如：3⊕b＝3+b．运用上述知识，解决下列问题：

（1）如果a⊕（b﹣1）＝0，那么a＝　   　，b＝　   　；

（2）如果（a+b）⊕（2a+b）＝2，求﹣ab的平方根．

25．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（a，0），B（c，c），C（0，c），且满足（a+8）2+＝0，P点从A点出发沿x轴正方向以每秒2个单位长度的速度匀速移动，Q点从O点出发沿y轴负方向以每秒1个单位长度的速度匀速移动．

（1）直接写出点B的坐标　   　，AO和BC位置关系是　   　；

（2）当P、Q分别是线段AO，OC上时，连接PB，QB，使S△PAB＝2S△QBC，求出点P的坐标；

（3）在P、Q的运动过程中，当∠CBQ＝30°时，请探究∠OPQ和∠PQB的数量关系，并说明理由．

参与试题解析

一．选择题（共10小题）

1．下列实数是无理数的是（　　）

A．    B．﹣1    C．    D．3.14

【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．

【解答】解：是无理数；﹣1是整数，属于有理数；是分数，属于有理数；3.14是有限小数，属于有理数．

故选：A．

2．下图中能判断∠1与∠2一定互为补角的是（　　）

A．    B．    

C．    D．

【分析】根据图形和补角的定义得出即可．

【解答】解：选项B中的∠1+∠2＝180°，其余选项中∠1+∠2≠180°，

故选：B．

3．在平面直角坐标系中，点（﹣1，﹣3）位于（　　）

A．第一象限    B．第二象限    C．第三象限    D．第四象限

【分析】根据点的横纵坐标特点，判断其所在象限，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）．

【解答】解：∵点（﹣1，﹣3）的横纵坐标都为：﹣，

∴位于第三象限．

故选：C．

4．下列各组数中，是方程2x+3y＝10的解为（　　）

A．    B．    C．    D．

【分析】把各项中x与y的值代入方程检验即可．

【解答】解：A、把代入方程得：左边＝2+3＝5，右边＝10，

∵左边≠右边，

∴不是2x+3y＝10的解；

B、把代入方程得：左边＝4+3＝7，右边＝10，

∵左边≠右边，

∴不是2x+3y＝10的解；

C、把代入方程得：左边＝2+6＝8，右边＝10，

∵左边≠右边，

∴不是2x+3y＝10的解；

D、把代入方程得：左边＝4+6＝10，右边＝10，

∵左边＝右边，

∴是2x+3y＝10的解，

故选：D．

5．估计+1的结果在哪两个整数之间（　　）

A．2和3    B．3和4    C．4和5    D．5和6

【分析】利用”夹逼法“得出的范围，继而也可得出+1的范围．

【解答】解：∵＜＜，

∴3＜＜4，

∴4＜+1＜5．

故选：C．

6．如图，点E在AD的延长线上，下列条件中能判断AB∥CD的是（　　）

A．∠3＝∠4    B．∠1＝∠2    

C．∠C＝∠CDE    D．∠C+∠ADC＝180°

【分析】根据同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行，进行判断即可．

【解答】解：根据∠3＝∠4，可得BC∥AD；

根据∠1＝∠2，可得AB∥CD；

根据∠C＝∠CDE，可得BC∥AD；

根据∠C+∠ADC＝180°，可得BC∥AD；

故选：B．

7．下列语句正确的是（　　）

A．a的平方根是（a≥0）    

B．在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行    

C．同旁内角互补    

D．若ab＝0，则点P（a，b）在坐标原点

【分析】分别根据平方根的定义、平行线的性质、直角坐标系知识进行判定．

【解答】解：A．a的平方根是（a≥0），故本项错误；

 B． 在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行，正确；

 C． 两直线平行，同旁内角互补，故本项错误；

 D． 若ab＝0，则点P（a，b）在坐标轴上，故本项错误．

故选：B．

8．如图，将一副三角板和一张对边平行的纸条按下列方式摆放，两个三角板的一直角边重合，其中一个三角板的斜边与纸条一边重合，则∠1的度数是（　　）

A．30°    B．40°    C．45°    D．50°

【分析】根据平行线的性质，即可得到∠2的度数，再根据角的和差关系即可得到∠1的度数．

【解答】解：∵a∥b，

∴∠2＝∠3＝45°，

∴∠1＝90°﹣∠2＝45°．

故选：C．

9．已知＝a，＝b，点A的坐标为（a，b），则点A的坐标不可能是（　　）

A．（0，1）    B．（1，﹣1）    C．（0，0）    D．（﹣1，0）

【分析】根据算术平方根、立方根的定义求出a，b，从而得出点A对应的坐标．

【解答】解：因为＝a，＝b，

所以a＝0或1，b＝0或±1，

所以点A（a，b）的坐标可能是（0，1）或（1，﹣1）或（0，0），

点A的坐标不可能是（﹣1，0），

故选：D．

10．关于x、y的方程组的解为整数，则满足这个条件的整数m的个数有（　　）

A．2个    B．3个    C．4个    D．无数个

【分析】首先应用加减消元法，求出方程组的解是多少；然后根据方程组的解为整数，判断出满足这个条件的整数m的个数有多少即可．

【解答】解：

①﹣②，可得（2﹣m）x＝﹣m，

解得x＝，

把x＝代入①，解得y＝，

∴原方程组的解是，

∵方程组的解为整数，

∴m﹣2＝±1，±2或±4．

（1）m﹣2＝﹣1时，m＝1，

原方程组的解是，符合题意；

（2）m﹣2＝1时，m＝3，

原方程组的解是，符合题意；

（3）m﹣2＝﹣2时，m＝0，

原方程组的解是，符合题意；

（4）m﹣2＝2时，m＝4，

原方程组的解是，符合题意；

（5）m﹣2＝﹣4时，m＝﹣2，

原方程组的解是，不符合题意；

（6）m﹣2＝4时，m＝6，

原方程组的解是，不符合题意；

∴满足这个条件的整数m的个数有4个：m＝0，1，3，4．

故选：C．

二．填空题（共6小题）

11．25的算术平方根是　5　．

【分析】根据算术平方根的定义即可求出结果，算术平方根只有一个正根．

【解答】解：∵52＝25，

∴25的算术平方根是5．

故答案为：5．

12．如图，象棋盘上，若“将”位于点（0，0），“车”位于点（﹣4，0），则“马”位于　（3，3）　．

【分析】根据已知两点的坐标建立坐标系，然后确定其它点的坐标．

【解答】解：结合图形以“将”（0，0）作为基准点，则“马”位于（0+3，0+3），

即（3，3）．

故答案为：（3，3）．

13．把命题“对顶角相等”改写成“如果…那么…”的形式：　如果两个角是对顶角，那么这两个角相等　．

【分析】命题中的条件是两个角是对顶角，放在“如果”的后面，结论是这两个角相等，应放在“那么”的后面．

【解答】解：题设为：两个角是对顶角，结论为：这两个角相等，

故写成“如果…那么…”的形式是：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等，

故答案为：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等．

14．如图，已知∠AOB＝62°，将∠AOB沿着射线OC折叠，使OA和OB重合，过OB边上任意一点P作OA的平行线交OC于D，则∠ODP的度数为　31°　．

【分析】由折叠的性质可得∠AOC＝∠BOC＝31°，由平行线的性质可求解．

【解答】解：如图，

∵将∠AOB沿着射线OC折叠，使OA和OB重合，

∴∠AOC＝∠BOC＝31°，

∵PD∥OA，

∴∠ODP＝∠AOD＝31°，

故答案为：31°．

15．如图，将直径为1个单位长度的圆沿着数轴向右滚动一周，圆上一点由表示﹣2的点A到达点A'，则点A'对应的数是　﹣2+π　．

【分析】直径为1个单位长度的圆沿着数轴向右滚动一周，圆上一点A运动到了A'的位置，说明AA'之间的距离为圆的周长，再根据数轴的基础知识即可求解出A'所表示的数．

【解答】解：

由题AA'之间的距离为直径为1个单位长度的圆的周长

∴AA'＝πd＝π

∵A所表示的数为﹣2

∴A'所表示的数为π﹣2

答：点A'对应的数是π﹣2．

16．平面直角坐标系中，点A（a，），B（﹣3，﹣），则线段AB的最小值为　　．

【分析】先确定点A在与x轴平行，且在x轴上方的直线l上，直线l与x轴的距离为，当AB⊥l时，线段AB最小，其最小值是A、B两点纵坐标绝对值的和．

【解答】解：∵点A（a，），

∴点A在与x轴上方，与x轴平行且与x轴距离为的直线l上，

∵B（﹣3，﹣），

当AB⊥l时，线段AB最小，此时最小值是+，

故答案为：+．

三．解答题（共9小题）

17．计算题：

（1）

（2）

【分析】（1）原式利用算术平方根、立方根定义计算即可求出值；

（2）原式利用绝对值的代数意义化简，合并即可得到结果．

【解答】解：（1）原式＝0﹣4+（﹣2）

＝﹣4﹣2

＝﹣6；

（2）原式＝+2﹣

＝2．

18．解方程（组）：

（1）

（2）（x﹣3）3＝8

【分析】（1）方程组利用代入消元法求出解即可；

（2）方程利用立方根定义开立方即可求出解．

【解答】解：（1）

由①得y＝2x﹣5③，

把③代入②得：3x+4（2x﹣5）＝2，

解得：x＝2，

把x＝2代入③得：y＝﹣1，

∴原方程组的解为 ；

（2）（x﹣3）3＝8，

开立方得：x﹣3＝2，

解得：x＝5．

19．已知三角形A1B1C1是由三角形ABC经过平移得到的，其中A、B、C三点的对应点分别是A1、B1、C1，它们在平面直角坐标系中的坐标如表所示：

（2）在图中的平面直角坐标系中画出三角形ABC及三角形A1B1C1；

（3）P（m，n）为三角形ABC中任意一点，则平移后对应点P′的坐标为　（m+5，n+2）　．

【分析】（1）由点C及其对应点的坐标知，△ABC向右平移5个单位、向上平移2个单位可得△A1B1C1，据此可得答案；

（2）根据以上所得点的坐标，描点、连线即可得；

（3）根据平面直角坐标系中点的坐标的平移得出答案．

【解答】解：（1）由点C及其对应点的坐标知，△ABC向右平移5个单位、向上平移2个单位可得△A1B1C1，

∴a＝0+5＝5，b＝2+2＝4，

故答案为：5、4；

（2）如图所示，△A1B1C1即为所求．

（3）平移后对应点P′的坐标为（m+5，n+2），

故答案为：（m+5，n+2）．

20．阅读并填空完善下列证明过程：

如图，已知BC⊥AC于C，DF⊥AC于D，∠1+∠2＝180°，

求证：∠GFB＝∠DEF﹒

证明：∵BC⊥AC于C，DF⊥AC于D（已知）

∴∠C＝∠　ADF　＝90°（　垂直的定义　）

∴CB∥FD（同位角相等，两直线平行）

∴∠1+∠3＝180°（　两直线平行，同旁内角互补　）

又∵∠1+∠2＝180°（已知）

∴∠2＝∠3（　同角的补角相等　）

∴　DE　∥　FG　（　内错角相等，两直线平行　）

∴∠GFB＝∠DEF（　两直线平行，同位角相等　）

【分析】根据垂直的定义、平行线的判定、平行线的性质、补角的性质求解可得．

【解答】证明：∵BC⊥AC于C，DF⊥AC于D（已知）

∴∠C＝∠ADF＝90°（垂直的定义）

∴CB∥FD （同位角相等，两直线平行 ）

∴∠1+∠3＝180°（两直线平行，同旁内角互补）

又∵∠1+∠2＝180°（已知）

∴∠2＝∠3（同角的补角相等）

∴DE∥FG  （内错角相等，两直线平行）

∴∠GFB＝∠DEF （两直线平行，同位角相等），

故答案为：ADF；垂直的定义；两直线平行，同旁内角互补；同角的补角相等；DE；FG；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等．

21．如图，已知直线AD∥BC，且都被直线BE所截，交点分别为A、B，AC⊥BE于点A，交直线BC于点C，∠1＝44°，求∠2的度数．

【分析】根据垂直的定义可求∠4＝90°，根据平行线的性质和对顶角的定义可求∠5，再根据平角的定义可求∠2的度数．

【解答】解：∵AC⊥BE，

∴∠4＝90°，

∵AD∥BC，

∴∠5＝∠3，

又∵∠3＝∠1＝44°，

∴∠5＝∠3＝44°，

∴∠2＝180°﹣∠4﹣∠5＝180°﹣90°﹣44°＝46°．

22．已知关于x、y的方程组，甲由于看错了方程①中的a，得到方程组的解为；乙由于看错了方程②中的b，得到方程组的解为．求原方程组的正确解．

【分析】直接把x，y的值代入进而得出b的值，进而求出a的值，再解方程组得出答案．

【解答】解：把代入②得4×3﹣5b＝7，

解得：b＝1，

把代入①得﹣a+7＝5，

解得：a＝2，

∴原方程组为，

解这个方程组得：．

23．某校七年级为了开展球类兴趣小组，需要购买一批足球和篮球﹒若购买3个足球和5个篮球需580元；若购买4个足球和3个篮球需480元．

（1）求出足球和篮球的的单价分别是多少？

（2）已知该年级决定用800元购进这两种球，若两种球都要有，请问有几种购买方案，并请加以说明﹒

【分析】（1）设足球的单价为x元，篮球的单价为y元，根据“若购买3个足球和5个篮球需580元；若购买4个足球和3个篮球需480元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；

（2）设购买m个足球，n个篮球，根据总价＝单价×数量，即可得出关于m，n的二元一次方程，再结合m，n均为正整数，即可得出各购买方案．

【解答】解：（1）设足球的单价为x元，篮球的单价为y元，

依题意，得：，

解得：．

答：足球的单价为60元，篮球的单价为80元．

（2）设购买m个足球，n个篮球，

依题意，得：60m+80n＝800，

∴n＝10﹣m．

∵m，n均为正整数，

∴当m＝4时，n＝7；当m＝8时，n＝4；当m＝12时，n＝1．

∴有三种购买方案，方案1：购进4个足球，7个篮球；方案2：购进8个足球，4个篮球；方案3：购进12个足球，1个篮球．

24．我们知道：零与任何实数的积为零，任意一个有理数与无理数的和为无理数．现定义一种新运算“⊕”：对于任意有理数a，b，都有a⊕b＝a+b，例如：3⊕b＝3+b．运用上述知识，解决下列问题：

（1）如果a⊕（b﹣1）＝0，那么a＝　0　，b＝　1　；

（2）如果（a+b）⊕（2a+b）＝2，求﹣ab的平方根．

【分析】（1）已知等式利用题中的新定义化简，计算即可求出a与b的值；

（2）已知等式利用题中的新定义化简，计算求出a与b的值，即可求出所求．

【解答】解：（1）根据题中的新定义化简得：a+b﹣1＝0，

可得a＝0，b﹣1＝0，

解得：a＝0，b＝1；

故答案为：0，1；

（2）依题意得：（a+b）+（2a+b）＝2，

∴（a+b）+（2a+b﹣2）＝0，

∴，

解得：，

∴﹣ab＝4，

∵4的平方根是±2，

∴﹣ab的平方根是±2．

25．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（a，0），B（c，c），C（0，c），且满足（a+8）2+＝0，P点从A点出发沿x轴正方向以每秒2个单位长度的速度匀速移动，Q点从O点出发沿y轴负方向以每秒1个单位长度的速度匀速移动．

（1）直接写出点B的坐标　（﹣4，﹣4）　，AO和BC位置关系是　BC∥AO　；

（2）当P、Q分别是线段AO，OC上时，连接PB，QB，使S△PAB＝2S△QBC，求出点P的坐标；

（3）在P、Q的运动过程中，当∠CBQ＝30°时，请探究∠OPQ和∠PQB的数量关系，并说明理由．

【分析】（1）根据非负数的性质分别求出a、c，得到点B的坐标，根据坐标与图形性质判断AO和BC位置关系；

（2）过B点作BE⊥AO于E，根据三角形的面积公式求出AP，得到点P的坐标；

（3）分点Q在点C的上方、点Q在点C的下方两种情况，根据平行线的性质解答即可．

【解答】解：（1）∵（a+8）2+＝0，

∴a+8＝0，c+4＝0，

解得，a＝﹣8，c＝﹣4，

则点B的坐标为（﹣4，﹣4），

∵点B的坐标为（﹣4，﹣4），点C的坐标为（0，﹣4），

∴BC∥AO，

故答案为：（﹣4，﹣4），BC∥AO；

（2）过B点作BE⊥AO于E，

设时间经过t秒，S△PAB＝2S△QBC，则AP＝2t，OQ＝t，

∴CQ＝4﹣t，

∵BE＝4，BC＝4，

∴，

，

∵S△APB＝2S△BCQ，

∴4t＝2（8﹣2t）

解得，t＝2，

∴AP＝2t＝4，

∴OP＝OA﹣AP＝4，

∴点P的坐标为（﹣4，0）；

（3）∠PQB＝∠OPQ+30°或∠BQP+∠OPQ＝150°．

理由如下：①当点Q在点C的上方时，过Q点作QH∥AO，如图2所示，

∴∠OPQ＝∠PQH，

∵BC∥AO，QH∥AO，

∴QH∥BC，

∴∠HQB＝∠CBQ＝30°，

∴∠OPQ+∠CBQ＝∠PQH+∠BQH，

∴∠PQB＝∠OPQ+∠CBQ，即∠PQB＝∠OPQ+30°；

②当点Q在点C的下方时；过Q点作HJ∥AO 如图3所示，

∴∠OPQ＝∠PQJ，

∵BC∥AO，QH∥AO，

∴QH∥BC，

∴∠HQB＝∠CBQ＝30°，

∴∠HQB+∠BQP+∠PQJ＝180°，

∴30°+∠BQP+∠OPQ＝180°，

即∠BQP+∠OPQ＝150°，

综上所述，∠PQB＝∠OPQ+30°或∠BQP+∠OPQ＝150°．