2020年浙江省中考数学模拟试卷(含答案)

一、选择题（本大题有10小题，每小题4分，共40分）.

1．下列电视台的台标，是中心对称图形的是（    ）

A．    B．    C．    D．

2．据浙江电商网统计，2014年嘉兴市网络零售额678.亿元，列全省第三．其中678.亿元可用科学记数法表示为（    ）

A．678.×108元    B．67.8×109元

C．6.78×109元    D．6.78×1010元

3．用3个相同的立方块搭成的几何体如图所示，则它的主视图是（    ）

A．    B．    C．    D．

4．已知一个布袋里装有2个红球，3个白球和a个黄球，这些球除颜色外其余都相同．若从该布袋里任意摸出1个球，是红球的概率为，则a等于（    ）

A．1    B．2    C．3    D．4

5．二次函数y=ax2+bx+c图象上部分点的坐标满足表格：

A．（﹣3，﹣3）    B．（﹣2，﹣2）    C．（﹣1，﹣3）    D．（0，﹣6）

6．如图，某厂生产一种扇形折扇，OB=10cm，AB=20cm，其中裱花的部分是用纸糊的，若扇子完全打开摊平时纸面面积为π，则扇形圆心角的度数为（   ）

A．120°    B．140°    C．150°    D．160°

7．如图1，在边长为4的正△ABC中，点P以每秒1cm的速度从点A出发，沿折线AB﹣BC运动，到点C停止．过点P作PD⊥AB，垂足为D，PD的长度y（cm）与点P的运动时间x（秒）的函数图象如图2所示．当点P运动5.5秒时，PD的长是（    ）

A． cm    B． cm    C．2cm    D．3cm

8．某市为解决部分市民冬季集中取暖问题需铺设一条长3000米的管道，为尽量减少施工对交通造成的影响，实施施工时“…”，设实际每天铺设管道x米，则可得方程，根据此情景，题中用“…”表示的缺失的条件应补为（    ）

A．每天比原计划多铺设10米，结果延期15天才完成

B．每天比原计划少铺设10米，结果延期15天才完成

C．每天比原计划多铺设10米，结果提前15天才完成

D．每天比原计划少铺设10米，结果提前15天才完成

9．如图所示，两个反比例函数y= 和y= 在第一象限内的图象依次是C1和C2，设点P在C1上，PC⊥x轴于点C，交C2于点A，PD⊥y轴于点D，交C2于点B，则四边形PAOB的面积为（    ）

A．k1+k2    B．k1﹣k2    C．k1•k2    D．k1•k2﹣k2

10．在矩形ABCD中，有一个菱形BFDE（点E，F分别在线段AB，CD上），记它们的面积分别为SABCD和SBFDE，现给出下列命题：①若=，则tan∠EDF=；②若DE2=BD•EF，则DF=2AD，则（    ）

A．①是假命题，②是假命题    B．①是真命题，②是假命题

C．①是假命题，②是真命题    D．①是真命题，②是真命题

二、填空题（本大题有6小题，每小题5分，共30分）.

11．方程x2﹣2x=0的根是      ．

12．一次函数y=3x+2的图象与x轴交点的坐标是      ．

13．如图，把一个长方形的纸片对折两次，然后剪下一个角，为了得到一个锐角为60°的菱形，剪口与折痕所成的角a的度数应为      ．

14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=1，将Rt△ABC绕A点逆时针旋转30°后得到Rt△ADE，点B经过的路径为，则图中阴影部分的面积是    ．

15．如图，E，F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AE=DF．连接CF交BD于点G，连接BE交AG于点H．若正方形的边长为2，则线段DH长度的最小值是     ．

16．如图，将二次函数y=x2﹣m（其中m＞0）的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变，形成新的图象记为y1，另有一次函数y=x+b的图象记为y2，则以下说法：

①当m=1，且y1与y2恰好有三个交点时b有唯一值为1；

②当b=2，且y1与y2恰有两个交点时，m＞4或0＜m＜；

③当m=﹣b时，y1与y2一定有交点；

④当m=b时，y1与y2至少有2个交点，且其中一个为（0，m）．

其中正确说法的序号为     ．

三、解答题（本大题有8小题，共80分，其中17、18、19、20每题8分，21题10分，22、23题每题12分，24题14分）.

17．（1）计算： +（π﹣1）0﹣（）﹣1；     

（2）化简：（m+2）（m﹣2）﹣（2﹣m）2．

18．已知反比例函数的图象与一次函数y2=ax+b的图象交于点A（1，4）和点B（m，﹣2），

（1）求这两个函数的关系式；

（2）观察图象，写出使得y1＞y2成立的自变量x的取值范围．

19．如图，A、B两城市相距80km，现计划在这两座城市间修建一条高速公路（即线段AB），经测量，森林保护中心P在A城市的北偏东30°和B城市的北偏西45°的方向上，已知森林保护区的范围在以P点为圆心，50km为半径的圆形区域内，请问计划修建的这条高速公路会不会穿越保护区，为什么？（参考数据：≈1.732，≈1.414）

20．为了解本校九年级学生期末数学考试情况，小亮在九年级随机抽取了一部分学生的期末数学成绩为样本，分为A、B（～80分）、C（79～60分）、D（59～0分）四个等级进行统计，并将统计结果绘制成如下统计图，请你根据统计图解答以下问题：

（1）这次随机抽取的学生共有多少人？

（2）请补全条形统计图；

（3）这个学校九年级共有学生1200人，若分数为80分（含80分）以上为优秀，请估计这次九年级学生期末数学考试成绩为优秀的学生人数大约有多少？

21．如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E，点F在AC的延长线上，且AC=CF，∠CBF=∠CFB．

（1）求证：直线BF是⊙O的切线；

（2）若点D，点E分别是弧AB的三等分点，当AD=5时，求BF的长；

（3）填空：在（2）的条件下，如果以点C为圆心，r为半径的圆上总存在不同的两点到点O的距离为5，则r的取值范围为     ．

22．小明在“课外新世界”中遇到这样一道题：如图1，已知∠AOB=30°与线段a，你能作出边长为a的等边三角形△COD吗？小明的做法是：如图2，以O为圆心，线段a为半径画弧，分别交OA，OB于点M，N，在弧MN上任取一点P，以点M为圆心，MP为半径画弧，交弧CD于点C，同理以点N为圆心，N P为半径画弧，交弧CD于点D，连结CD，即△COD就是所求的等边三角形．

（1）请写出小明这种做法的理由；

（2）在此基础上请你作如下操作和探究（如图3）：连结MN，MN是否平行于CD？为什么？

（3）点P在什么位置时，MN∥CD？请用小明的作图方法在图1中作出图形（不写作法，保留作图痕迹）．

23．有一种螃蟹，从河里捕获后不放养最多只能活两天，如果放养在塘内，可以延长存活时间，但每天也有一定数量的蟹死去，假设放养期内蟹的个体重量基本保持不变，现有一经销商，按市场价收购了这种活蟹1000千克放养在塘内，此时市场价为每千克30元，据测算，以后每千克活蟹的市场价每天可上升1元，但是放养一天需各种费用支出400元，且平均每天还有10千克蟹死去，假定死蟹均于当天全部售出，售价都是每千克20元．

（1）设X天后每千克活蟹的市场价为P元，写出P关于x的函数关系式．

（2）如果放养x天后将活蟹一次性出售，并记1000千克蟹的销售额为Q元，写出Q关于X的函数关系式．

（3）该经销商将这批蟹放养多少天后出售，可获最大利润（利润=销售总额﹣收购成本﹣费用），最大利润是多少？

24．如图，在平面直角坐标系中，点A（，0），B（3，2），C（0，2）．动点D以每秒1个单位的速度从点O出发沿OC向终点C运动，同时动点E以每秒2个单位的速度从点A出发沿AB向终点B运动．过点E作EF⊥AB，交BC于点F，连接DA、DF．设运动时间为t秒．

（1）求∠ABC的度数；

（2）当t为何值时，AB∥DF；

（3）设四边形AEFD的面积为S．①求S关于t的函数关系式；

②若一抛物线y=﹣x2+mx经过动点E，当S＜2时，求m的取值范围（写出答案即可）．

参与试题解析

一、选择题（本大题有10小题，每小题4分，共40分）.

1．下列电视台的台标，是中心对称图形的是（    ）

A．    B．    C．    D．

【考点】中心对称图形．

【分析】根据中心对称图形的概念对各选项分析判断后利用排除法求解．

【解答】解：A、不是中心对称图形，故A选项错误；

B、不是中心对称图形，故B选项错误；

C、不是中心对称图形，故C选项错误；

D、是中心对称图形，故D选项正确．

故选D．

2．据浙江电商网统计，2014年嘉兴市网络零售额678.亿元，列全省第三．其中678.亿元可用科学记数法表示为（   ）

A．678.×108元    B．67.8×109元

C．6.78×109元    D．6.78×1010元

【考点】科学记数法—表示较大的数．

【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．本题中678.亿=678000000有11位整数，n=11﹣1=10．

【解答】解：678.亿=678000000=6.78×1010．

故选：D．

3．用3个相同的立方块搭成的几何体如图所示，则它的主视图是（    ）

A．    B．    C．    D．

【考点】简单组合体的三视图．

【分析】从正面看到的图叫做主视图，根据图中立方体摆放的位置判定则可．

【解答】解：由图可知：右上角有1个小正方形，下面有2个小正方形，

故选：A．

4．已知一个布袋里装有2个红球，3个白球和a个黄球，这些球除颜色外其余都相同．若从该布袋里任意摸出1个球，是红球的概率为，则a等于（   ）

A．1    B．2    C．3    D．4

【考点】概率公式．

【分析】首先根据题意得： =，解此分式方程即可求得答案．

【解答】解：根据题意得： =，

解得：a=1，

经检验，a=1是原分式方程的解，

∴a=1．

故选：A．

5．二次函数y=ax2+bx+c图象上部分点的坐标满足表格：

A．（﹣3，﹣3）    B．（﹣2，﹣2）    C．（﹣1，﹣3）    D．（0，﹣6）

【考点】二次函数图象上点的坐标特征．

【分析】根据二次函数的对称性确定出二次函数的对称轴，然后解答即可．

【解答】解：∵x=﹣3和﹣1时的函数值都是﹣3，相等，

∴二次函数的对称轴为直线x=﹣2，

∴顶点坐标为（﹣2，﹣2）．

故选：B．

6．如图，某厂生产一种扇形折扇，OB=10cm，AB=20cm，其中裱花的部分是用纸糊的，若扇子完全打开摊平时纸面面积为π，则扇形圆心角的度数为（    ）

A．120°    B．140°    C．150°    D．160°

【考点】扇形面积的计算．

【分析】根据扇形的面积公式列方程即可得到结论．

【解答】解：∵OB=10cm，AB=20cm，

∴OA=OB+AB=30cm，

设扇形圆心角的度数为α，

∵纸面面积为π，

∴﹣=π，

∴α=150°，

故选C．

7．如图1，在边长为4的正△ABC中，点P以每秒1cm的速度从点A出发，沿折线AB﹣BC运动，到点C停止．过点P作PD⊥AB，垂足为D，PD的长度y（cm）与点P的运动时间x（秒）的函数图象如图2所示．当点P运动5.5秒时，PD的长是（    ）

A． cm    B． cm    C．2cm    D．3cm

【考点】动点问题的函数图象．

【分析】由题意和等边三角形的性质得出AB=BC=4，∠C=60°，再由三角函数即可求出PD的长．

【解答】解：根据题意得：AB=4，

∵△ABC是等边三角形，

∴AB=BC=4，∠C=60°，

当点P运动5.5秒时，如图所示：

则BP=5.5﹣4=1.5，

∴PC=2.5，

∴PD=PC•sin60°=2.5×=；

故选：A．

8．某市为解决部分市民冬季集中取暖问题需铺设一条长3000米的管道，为尽量减少施工对交通造成的影响，实施施工时“…”，设实际每天铺设管道x米，则可得方程，根据此情景，题中用“…”表示的缺失的条件应补为（    ）

A．每天比原计划多铺设10米，结果延期15天才完成

B．每天比原计划少铺设10米，结果延期15天才完成

C．每天比原计划多铺设10米，结果提前15天才完成

D．每天比原计划少铺设10米，结果提前15天才完成

【考点】分式方程的应用．

【分析】工作时间=工作总量÷工作效率．那么3000÷x表示实际的工作时间，那么3000÷（x﹣10）就表示原计划的工作时间，15就代表现在比原计划少的时间．

【解答】解：设实际每天铺设管道x米，原计划每天铺设管道（x﹣10）米，方程，则表示实际用的时间﹣原计划用的时间=15天，

那么就说明实际每天比原计划多铺设10米，结果提前15天完成任务．

故选C．

9．如图所示，两个反比例函数y= 和y= 在第一象限内的图象依次是C1和C2，设点P在C1上，PC⊥x轴于点C，交C2于点A，PD⊥y轴于点D，交C2于点B，则四边形PAOB的面积为（    ）

A．k1+k2    B．k1﹣k2    C．k1•k2    D．k1•k2﹣k2

【考点】反比例函数系数k的几何意义．

【分析】根据反比例函数系数k的几何意义得到S矩形PCOD=k1，S△AOC=S△BOD=k2，然后利用四边形PAOB的面积=S矩形PCOD﹣S△AOC﹣S△BOD进行计算．

【解答】解：∵PC⊥x轴，PD⊥y轴，

∴S矩形PCOD=k1，S△AOC=S△BOD=×k2，

∴四边形PAOB的面积=S矩形PCOD﹣S△AOC﹣S△BOD=k1﹣k2﹣k2=k1﹣k2．

故选B．

10．在矩形ABCD中，有一个菱形BFDE（点E，F分别在线段AB，CD上），记它们的面积分别为SABCD和SBFDE，现给出下列命题：①若=，则tan∠EDF=；②若DE2=BD•EF，则DF=2AD，则（   ）

A．①是假命题，②是假命题    B．①是真命题，②是假命题

C．①是假命题，②是真命题    D．①是真命题，②是真命题

【考点】相似三角形的判定与性质；菱形的性质；矩形的性质；命题与定理．

【分析】①由已知先求出cos∠BFC=，再求出tan∠EDF，即可判断；

②由S△DEF=DF•AD=BD•EF，及DE2=BD•EF，可得DF•AD=DF2，即DF=2AD．

【解答】解：①设CF=x，DF=y，BC=h．

∵四边形BFDE是菱形，

∴BF=DF=y，DE∥BF．

∵若=，

∴=，

∴=，即cos∠BFC=，

∴∠BFC=30°，

∵DE∥BF，

∴∠EDF=∠BFC=30°，

∴tan∠EDF=，

所以①是真命题．

②∵四边形BFDE是菱形，

∴DF=DE．

∵S△DEF=DF•AD=BD•EF，

又∵DE2=BD•EF（已知），

∴S△DEF=DE2=DF2，

∴DF•AD=DF2，

∴DF=2AD，

所以②是真命题．

故选D．

二、填空题（本大题有6小题，每小题5分，共30分）.

11．方程x2﹣2x=0的根是x1=0，x2=2．

【考点】解一元二次方程﹣因式分解法．

【分析】因为x2﹣2x可提取公因式，故用因式分解法解较简便．

【解答】解：因式分解得x（x﹣2）=0，

解得x1=0，x2=2．

故答案为x1=0，x2=2．

12．一次函数y=3x+2的图象与x轴交点的坐标是（﹣，0）．

【考点】一次函数图象上点的坐标特征．

【分析】据x轴上点的坐标特征，计算函数值为0时所对应的自变量的值即可得到一次函数与x轴的交点坐标．

【解答】解：当y=0时，3x+2=0，解得x=﹣，

所以一次函数与x轴的交点坐标是（﹣，0）．

故答案为（﹣，0）．

13．如图，把一个长方形的纸片对折两次，然后剪下一个角，为了得到一个锐角为60°的菱形，剪口与折痕所成的角a的度数应为30°或60°．

【考点】菱形的性质．

【分析】如图，折痕为AC与BD，∠ABC=60°，根据菱形的性质：菱形的对角线平分对角，可得∠ABD=30°，易得∠BAC=60°．所以剪口与折痕所成的角a的度数应为30°或60°．

【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，

∴∠ABD=∠ABC，∠BAC=∠BAD，AD∥BC，

∵∠BAC=60°，

∴∠BAD=180°﹣∠ABC=180°﹣60°=120°，

∴∠ABD=30°，∠BAC=60°．

∴剪口与折痕所成的角a的度数应为30°或60°．

故答案为30°或60°．

14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=1，将Rt△ABC绕A点逆时针旋转30°后得到Rt△ADE，点B经过的路径为，则图中阴影部分的面积是．

【考点】扇形面积的计算；勾股定理；旋转的性质．

【分析】先根据勾股定理得到AB=，再根据扇形的面积公式计算出S扇形ABD，由旋转的性质得到Rt△ADE≌Rt△ACB，于是S阴影部分=S△ADE+S扇形ABD﹣S△ABC=S扇形ABD

【解答】解：∵∠ACB=90°，AC=BC=1，

∴AB=，

∴S扇形ABD==．

又∴Rt△ABC绕A点逆时针旋转30°后得到Rt△ADE，

∴Rt△ADE≌Rt△ACB，

∴S阴影部分=S△ADE+S扇形ABD﹣S△ABC=S扇形ABD=．

故答案为：．

15．如图，E，F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AE=DF．连接CF交BD于点G，连接BE交AG于点H．若正方形的边长为2，则线段DH长度的最小值是﹣1．

【考点】正方形的性质．

【分析】根据正方形的性质可得AB=AD=CD，∠BAD=∠CDA，∠ADG=∠CDG，然后利用“边角边”证明△ABE和△DCF全等，根据全等三角形对应角相等可得∠1=∠2，利用“SAS”证明△ADG和△CDG全等，根据全等三角形对应角相等可得∠2=∠3，从而得到∠1=∠3，然后求出∠AHB=90°，取AB的中点O，连接OH、OD，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OH=AB=1，利用勾股定理列式求出OD，然后根据三角形的三边关系可知当O、D、H三点共线时，DH的长度最小．

【解答】解：在正方形ABCD中，AB=AD=CD，∠BAD=∠CDA，∠ADG=∠CDG，

在△ABE和△DCF中，

，

∴△ABE≌△DCF（SAS），

∴∠1=∠2，

在△ADG和△CDG中，

，

∴△ADG≌△CDG（SAS），

∴∠2=∠3，

∴∠1=∠3，

∵∠BAH+∠3=∠BAD=90°，

∴∠1+∠BAH=90°，

∴∠AHB=180°﹣90°=90°，

取AB的中点O，连接OH、OD，

则OH=AO=AB=1，

在Rt△AOD中，OD===，

根据三角形的三边关系，OH+DH＞OD，

∴当O、D、H三点共线时，DH的长度最小，

最小值=OD﹣OH=﹣1．

（解法二：可以理解为点H是在Rt△AHB，AB直径的半圆上运动当O、H、D三点共线时，DH长度最小）

故答案为：﹣1．

16．如图，将二次函数y=x2﹣m（其中m＞0）的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变，形成新的图象记为y1，另有一次函数y=x+b的图象记为y2，则以下说法：

①当m=1，且y1与y2恰好有三个交点时b有唯一值为1；

②当b=2，且y1与y2恰有两个交点时，m＞4或0＜m＜；

③当m=﹣b时，y1与y2一定有交点；

④当m=b时，y1与y2至少有2个交点，且其中一个为（0，m）．

其中正确说法的序号为　②④　．

【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数图象与几何变换．

【分析】①错误．如图1中，当直线y=x+b与抛物线相切时，也满足条件只有三个交点．此时b≠1，故①错误．

②正确．如图2中，当抛物线经过点（﹣2，0）时，0=4﹣m，m=4，观察图象可知m＞4时，y1与y2恰有两个交点．

③错误．如图3中，当b=﹣4时，观察图象可知，y1与y2没有交点，故③错误．

④正确．如图4中，当b=4时，观察图象可知，b＞0，y1与y2至少有2个交点，且其中一个为（0，b），故④正确．

【解答】解：①错误．如图1中，当直线y=x+b与抛物线相切时，也满足条件只有三个交点．此时b≠1，故①错误．

②正确．如图2中，当抛物线经过点（﹣2，0）时，0=4﹣m，m=4，观察图象可知m＞4时，y1与y2恰有两个交点．

由消去y得到x2+x+2﹣m=0，当△=0时，1﹣8+4m=0，

∴m=，

观察图象可知当0＜m＜时，y1与y2恰有两个交点．故②正确．

③错误．如图3中，当b=﹣4时，观察图象可知，y1与y2没有交点，故③错误．

④正确．如图4中，当b=4时，观察图象可知，b＞0，y1与y2至少有2个交点，且其中一个为（0，b），故④正确．

故答案为②④

三、解答题（本大题有8小题，共80分，其中17、18、19、20每题8分，21题10分，22、23题每题12分，24题14分）.

17．（1）计算： +（π﹣1）0﹣（）﹣1；     

（2）化简：（m+2）（m﹣2）﹣（2﹣m）2．

【考点】平方差公式；实数的运算；完全平方公式；零指数幂；负整数指数幂．

【分析】（1）根据二次根式的性质，零指数幂和负整数指数幂的意义即可求出答案．

（2）根据完全平方公式以及平方差公式即可求出答案．

【解答】解：（1）原式=2+1﹣2=1；

（2）原式=m2﹣4﹣（4﹣4m+m2）

=m2﹣4﹣4+4m﹣m2

=4m﹣8

18．已知反比例函数的图象与一次函数y2=ax+b的图象交于点A（1，4）和点B（m，﹣2），

（1）求这两个函数的关系式；

（2）观察图象，写出使得y1＞y2成立的自变量x的取值范围．

【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．

【分析】（1）将A坐标代入反比例函数解析式中求出k的值，确定出反比例解析式，将B坐标代入反比例解析式中求出m的值，确定出B坐标，将A与B坐标代入一次函数解析式中求出a与b的值，即可确定出一次函数解析式；

（2）利用图象即可得出所求不等式的解集，即为x的范围．

【解答】解：（1）∵函数y1=的图象过点A（1，4），即4=，

∴k=4，

∴反比例函数的关系式为y1=；

又∵点B（m，﹣2）在y1=上，

∴m=﹣2，

∴B（﹣2，﹣2），

又∵一次函数y2=ax+b过A、B两点，

∴依题意，得，

解得，

∴一次函数的关系式为y2=2x+2；

（2）根据图象y1＞y2成立的自变量x的取值范围为x＜﹣2或0＜x＜1．

19．如图，A、B两城市相距80km，现计划在这两座城市间修建一条高速公路（即线段AB），经测量，森林保护中心P在A城市的北偏东30°和B城市的北偏西45°的方向上，已知森林保护区的范围在以P点为圆心，50km为半径的圆形区域内，请问计划修建的这条高速公路会不会穿越保护区，为什么？（参考数据：≈1.732，≈1.414）

【考点】解直角三角形的应用﹣方向角问题．

【分析】过点P作PM⊥AB，M是垂足．AM与BM就都可以根据三角函数用PPM表示出来．根据AB的长，得到一个关于PM的方程，解出PM的长．从而判断出这条高速公路会不会穿越保护区．

【解答】解：作PM⊥AB，

由题意得：AE∥PM∥BF，

∴∠APM=30°，∠BPM=45°，

∴PM==AM，BM=PM，

设BM=PM=x，则AM=x，

∴

∴x=120﹣40≈50.72＞50，

∴这条高速公路不会穿越保护区．

20．为了解本校九年级学生期末数学考试情况，小亮在九年级随机抽取了一部分学生的期末数学成绩为样本，分为A、B（～80分）、C（79～60分）、D（59～0分）四个等级进行统计，并将统计结果绘制成如下统计图，请你根据统计图解答以下问题：

（1）这次随机抽取的学生共有多少人？

（2）请补全条形统计图；

（3）这个学校九年级共有学生1200人，若分数为80分（含80分）以上为优秀，请估计这次九年级学生期末数学考试成绩为优秀的学生人数大约有多少？

【考点】条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图．

【分析】（1）根据C等级的人数和所占的百分比求出这次随机抽取的学生数；

（2）用抽取的总人数乘以B等级所占的百分比，从而补全统计图；

（3）用该校九年级的总人数乘以优秀的人数所占的百分比，即可得出答案．

【解答】解：（1）这次随机抽取的学生共有：20÷50%=40（人）；

（2）B等级的人数是：40×27.5%=11人，如图：

（3）根据题意得：×1200=480（人），

答：这次九年级学生期末数学考试成绩为优秀的学生人数大约有480人．

21．如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E，点F在AC的延长线上，且AC=CF，∠CBF=∠CFB．

（1）求证：直线BF是⊙O的切线；

（2）若点D，点E分别是弧AB的三等分点，当AD=5时，求BF的长；

（3）填空：在（2）的条件下，如果以点C为圆心，r为半径的圆上总存在不同的两点到点O的距离为5，则r的取值范围为＜r＜．

【考点】圆的综合题．

【分析】（1）欲证明直线BF是⊙O的切线，只需证明AB⊥BF；

（2）根据圆心角、弧、弦间的关系，等边三角形的判定证得△AOD是等边三角形，所以在Rt△ABF中，∠ABF=90°，∠OAD=60°，AB=10，则利用∠A的正切三角函数的定义来求BF边的长度；

（3）根据已知条件知⊙O与⊙C相交．

【解答】（1）证明：如图，∵∠CBF=∠CFB，

∴CB=CF．    

又∵AC=CF，

∴CB=AF，

∴△ABF是直角三角形，

∴∠ABF=90°，即AB⊥BF．

又∵AB是直径，

∴直线BF是⊙O的切线．

（2）解：如图，连接DO，EO，

∵点D，点E分别是弧AB的三等分点，

∴∠AOD=60°．

又∵OA=OD，

∴△AOD是等边三角形，

∴OA=AD=OD=5，∠OAD=60°，

∴AB=10．

∴在Rt△ABF中，∠ABF=90°，BF=AB•tan60°=10，即BF=10；

（3）如图，连接OC．则OC是Rt△ABF的中位线，

∵由（2）知，BF=10，

∴圆心距OC=，

∵⊙O半径OA=5．

∴＜r＜．

故填：＜r＜．

22．小明在“课外新世界”中遇到这样一道题：如图1，已知∠AOB=30°与线段a，你能作出边长为a的等边三角形△COD吗？小明的做法是：如图2，以O为圆心，线段a为半径画弧，分别交OA，OB于点M，N，在弧MN上任取一点P，以点M为圆心，MP为半径画弧，交弧CD于点C，同理以点N为圆心，N P为半径画弧，交弧CD于点D，连结CD，即△COD就是所求的等边三角形．

（1）请写出小明这种做法的理由；

（2）在此基础上请你作如下操作和探究（如图3）：连结MN，MN是否平行于CD？为什么？

（3）点P在什么位置时，MN∥CD？请用小明的作图方法在图1中作出图形（不写作法，保留作图痕迹）．

【考点】作图—复杂作图；平行线的判定与性质；等边三角形的判定．

【分析】（1）如图2，连结OP，由题意可得=， =，于是得到∠COM=∠POM，∠PON=∠DON，由已知条件得到∠COD=2∠MON=60°，于是得到结论；

（2）根据他在他家得到∠CON=45°，得到∠OEC=75°，根据等腰三角形的性质得到∠ONM=∠OMN=75°，求得∠OEC=∠ONM，根据平行线的判定定理即可得到结论；

（3）当P是的中点时，MN∥CD；根据题意作出图形即可．

【解答】解：（1）如图2，连结OP，

由题意可得=，

∴∠COM=∠POM， =，

∴∠PON=∠DON，

∴∠POM+∠PON=∠COM+∠DON=30°，

∴∠COD=2∠MON=60°，

∴△OCD是等边三角形；

（2）不一定，只有当∠COM=15°，CD∥MN，

理由：∵∠COM=15°，∠MON=30°，

∴∠CON=45°，

∵∠C=60°，

∴∠OEC=75°，

∵ON=OM，

∴∠ONM=∠OMN=75°，

∴∠OEC=∠ONM，

∴CD∥MN；

（3）当P是的中点时，MN∥CD；如图3所示．

23．有一种螃蟹，从河里捕获后不放养最多只能活两天，如果放养在塘内，可以延长存活时间，但每天也有一定数量的蟹死去，假设放养期内蟹的个体重量基本保持不变，现有一经销商，按市场价收购了这种活蟹1000千克放养在塘内，此时市场价为每千克30元，据测算，以后每千克活蟹的市场价每天可上升1元，但是放养一天需各种费用支出400元，且平均每天还有10千克蟹死去，假定死蟹均于当天全部售出，售价都是每千克20元．

（1）设X天后每千克活蟹的市场价为P元，写出P关于x的函数关系式．

（2）如果放养x天后将活蟹一次性出售，并记1000千克蟹的销售额为Q元，写出Q关于X的函数关系式．

（3）该经销商将这批蟹放养多少天后出售，可获最大利润（利润=销售总额﹣收购成本﹣费用），最大利润是多少？

【考点】二次函数的应用．

【分析】（1）根据市场价为每千克30元，以后每千克活蟹的市场价每天可上升1元，可列出P关于x的函数关系式；

（2）根据销售额Q=活蟹的销售额+死蟹的销售额，列出Q于x的函数关系式；

（3）根据利润=销售总额﹣收购成本﹣费用，列出利润与x天的函数关系，运用函数性质求出最值即可．

【解答】解：（1）由题意知：p=30+x；

（2）由题意知：

活蟹的销售额为（30+x）元，

死蟹的销售额为200x元，

∴Q=（30+x）+200x=﹣10x2+900x+30000；

（3）设总利润为L=Q﹣30000﹣400x=﹣10x2+500x，

=﹣10（x2﹣50x）=﹣10（x2﹣50x+252﹣252）=﹣10（x﹣25）2+6250．

当x=25时，总利润最大，最大利润为6250元．

24．如图，在平面直角坐标系中，点A（，0），B（3，2），C（0，2）．动点D以每秒1个单位的速度从点O出发沿OC向终点C运动，同时动点E以每秒2个单位的速度从点A出发沿AB向终点B运动．过点E作EF⊥AB，交BC于点F，连接DA、DF．设运动时间为t秒．

（1）求∠ABC的度数；

（2）当t为何值时，AB∥DF；

（3）设四边形AEFD的面积为S．①求S关于t的函数关系式；

②若一抛物线y=﹣x2+mx经过动点E，当S＜2时，求m的取值范围（写出答案即可）．

【考点】二次函数综合题．

【分析】（1）求∠ABC的度数即求∠BAx的度数，过B作BM⊥x轴于M，则AM=2，BM=2，由此可得出∠BAM即∠ABC的度数．

（2）当AB∥FD时，∠CFD=∠B=30°，可在直角三角形CDF中，用CD的长表示出CF，同理可在直角三角形FEB中，用BE的长表示出BF，然后可根据CF+BF=BC来求出t的值．

（3）①连接DE，根据D、E的速度可知AE=2OD，而AE=2EG，因此OD∥=EG，即四边形ODEG是矩形，因此DE∥x轴，那么四边形AEFD的面积可分成三角形ADE和三角形EFD两部分来求出．两三角形都以DE为底，两三角形高的和正好是OC的长，因此四边形ADEF的面积就等于DE•OC，关键是求出DE的长．如果过A作DE的垂线不难得出DE=OA+AE•sin60°，由此可得出S，t的函数关系式．

②已知了S的取值范围可根据①的函数关系式求出t的取值范围．在①题已经求得了E点坐标，将其代入抛物线的解析式中，用m表示出t的值，然后根据t的取值范围即可求出m的取值范围．

【解答】解：（1）过点B作BM⊥x轴于点M

∵C（0，2），B（3，2）

∴BC∥OA

∴∠ABC=∠BAM

∵BM=2，AM=2

∴tan∠BAM=

∴∠ABC=∠BAM=30°．

（2）∵AB∥DF

∴∠CFD=∠CBA=30°

在Rt△DCF中，CD=2﹣t，∠CFD=30°，

∴CF=（2﹣t）

∴AB=4，

∴BE=4﹣2t，∠FBE=30°，

∴BF=

∴（2﹣t）+=，

∴t=．

（3）①连接DE，过点E作EG⊥x轴于点G，

则EG=t，OG=+t

∴E（+t，t）

∴DE∥x轴

S=S△DEF+S△DEA=DE×CD+DE×OD

=×OC=×（）×2

=+t．

②当S时，

由①可知，S=+t

∴t+＜2，

∴t＜1，

∵t＞0，

∴0＜t＜1，

∵y=﹣x2+mx，点E（+t，t）在抛物线上，

当t=0时，E（，0），

∴m=，

当t=1时，E（2，1），

∴m=，

∴＜m＜．