2021年上海市杨浦区中考数学三模试卷(解析版)

一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）[下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上]

1. 在下列四个实数中，最小的数是（  ）

A.   0 

【答案】A

【解析】

【分析】正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，据此判断即可．

【详解】解：根据实数大小比较的方法，可得-2＜0＜＜，

所以四个实数中，最小的数是-2．

故选：A．

【点睛】此题主要考查了实数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：正实数＞0＞负实数，两个负实数绝对值大的反而小．

2. 在下列二次根式中，与是同类二次根式的是（    ）

A.     B.     C.     D. 

【答案】C

【解析】

【分析】先将各选项化简，再找到被开方数为a的选项即可．

【详解】解：A、a与被开方数不同，故不同类二次根式；

B、=|a|与被开方数不同，故不是同类二次根式；

C、=|a|与被开方数相同，故是同类二次根式；

D、=a2与被开方数不同，故不是同类二次根式．

故选：C．

【点睛】本题主要考查了同类二次根式的定义，即：化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式．

3. 将抛物线向左平移2个单位后，所得新抛物线的解析式是（    ）

A.     B.     C.     D. 

【答案】D

【解析】

【分析】根据平移的规律：左加右减，求出得到的抛物线的解析式即可．

【详解】解：由“左加右减”的原则可知，将抛物线y=x2向左平移2个单位，

所得抛物线的解析式为：y=（x+2）2，

故选：D．

【点睛】此题主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．

4. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ）

A.     B. 

C.     D. 

【答案】B

【解析】

【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念判断即可．

【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；

B、是轴对称图形也是中心对称图形，故此选项符合题意；

C、不是轴对称图形，是中心对称图形．故此选项不符合题意；

D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意．

故选：B．

【点睛】本题主要考查轴对称图形与中心对称图形的概念问题．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．

如果一个图形绕某一点旋转180°后能够与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．结合概念正确判断图形是解题关键．

5. 在平面直角坐标系中，以点为圆心，1为半径的圆与轴的位置关系是（    ）

A. 相离    B. 相切    C. 相交    D. 不确定

【答案】B

【解析】

【分析】先求出圆心到x轴的距离，再根据半径比较，若圆心到x轴的距离大于圆心距，x轴与圆相离；小于圆心距，x轴与圆相交；等于圆心距，x轴与圆相切．

【详解】解：∵点A（2，1）到x轴的距离为1，圆的半径=1，

∴点A（2，1）到x轴的距离=圆的半径，

∴圆与x轴相切；

故选：B．

【点睛】此题考查的是圆与直线的关系，即圆心到直线的距离大于圆心距，直线与圆相离；小于圆心距，直线与圆相交；等于圆心距，则直线与圆相切．

6. 已知在四边形ABCD中，AB//CD，添加下列一个条件后，一定能判定四边形ABCD是平行四边形的是（   ）

A. AD=BC    B. AC=BD    C. ∠A=∠C    D. ∠A=∠B

【答案】C

【解析】

【详解】利用平行线的判定与性质结合平行四边形的判定得出即可.

解：如图所示：

∵AB∥CD，

∴∠B+∠C=180°，

当∠A=∠C时，则∠A+∠B=180°，

故AD∥BC，

则四边形ABCD是平行四边形.

故选C. 

二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】

7. 当时，化简：________．

【答案】1-x

【解析】

【分析】正数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，0的绝对值是0．

【详解】解：∵x＜1，

∴x-1＜0，

∴原式=-（x-1）

=1-x

故答案为：1-x．

【点睛】本题考查了绝对值的性质，判断出x-1是负数是解题的关键．

8. 计算：__________．

【答案】

【解析】

【分析】直接利用平方差公式进行求解即可.

【详解】

=(2a)2-b2

=4a2-b2

故答案为4a2-b2.

【点睛】本题考查了乘法公式——平方差公式，熟练掌握平方差公式的结构特征是解题的关键.

9. 已知函数，那么________．

【答案】2

【解析】

【分析】根据已知直接将x=10代入求出答案．

【详解】解：∵f（x）=，

∴f（10）==2，

故答案为：2．

【点睛】此题主要考查了函数值，正确将已知数据代入是解题关键．

10. 正八边形的中心角为______度．

【答案】45°

【解析】

【分析】运用正n边形的中心角的计算公式计算即可.

【详解】解：由正n边形的中心角的计算公式可得其中心角为，

故答案为45°.

【点睛】本题考查了正n边形中心角的计算.

11. 已知一斜坡的坡比为1：2，坡角为，那么________．

【答案】

【解析】

【分析】坡比坡角的正切值， 设竖直直角边为，水平直角边为，由勾股定理求出斜边， 进而可求出的正弦值 ．

【详解】解： 如图所示：

由题意，得：，

设竖直直角边为，水平直角边为，

则斜边，

则．

故答案为．

【点睛】此题主要考查坡比、坡角的关系以及勾股定理；熟记坡角的正切等于坡比是解决问题的关键．

12. 已知一组数据24、27、19、13、23、12，那么这组数据中的中位数是________．

【答案】21

【解析】

【分析】求中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数．

【详解】解：将这组数据从小到大顺序排列：12、13、19、23、24、27，处于中间位置的两个数是19，23，那么由中位数的定义可知，这组数据的中位数是（19+23）÷2=21．

故答案为：21．

【点睛】本题为统计题，考查中位数的意义．中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数．

13. 在英语句子“Wish you success”（祝你成功）中任选一个字母，这个字母为“s”的概率是_____．

【答案】

【解析】

【详解】试题解析：在英语句子“Wishyousuccess!”14个字母，其中有字母“s”4个．故其概率为.

考点：概率公式．

14. 已知直线在轴上的截距为3，且经过点，那么这条直线的表达式为________．

【答案】y=x+3

【解析】

【分析】根据“在y轴上的截距为3”计算求出b值，然后代入点（1，4）即可得解．

【详解】解：∵直线y=kx+b在y轴上的截距为3，

∴b=3，

∴y=kx+3，

∵经过点（1，4），

∴4=k+3，

∴k=1，

∴这条直线的解析式是y=x+3．

故答案是：y=x+3．

【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握待定系数法是解题的关键．

15. 用换元法解方程时，如果设，那么原方程可化为关于的整式方程为________．

【答案】y2+2y+1=0

【解析】

【分析】换元法即是整体思想的考查，解题的关键是找到这个整体，此题的整体是，设，换元后整理即可求得．

【详解】解：∵，

∴，

整理得：y2+2y+1=0．

故答案为：y2+2y+1=0．

【点睛】本题考查了换元法解分式方程，用换元法解一些复杂的分式方程是比较简单的一种方法，根据方程特点设出相应未知数，解方程能够使问题简单化．

16. 已知△ABC中，点D在边BC上，且BD=2DC．设，，那么等于____________________(结果用、表示)；

【答案】；

【解析】

分析】首先根据题意画出图形，由BD=2DC，可求得 ，再利用三角形法则求解即可求得答案

【详解】解：如图， ，BD=2DC，

∴ ，

∴，

故答案为

【点睛】此题考查了平面向量的知识．注意掌握三角形法则的应用是解此题的关键．

17. 我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一副“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”（如图1）．图2由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成．记图中正方形、正方形、正方形的面积分别为、、，如果，那么的值是________．

【答案】16

【解析】

【分析】根据正方形的面积和勾股定理即可求解．

【详解】解：设全等的直角三角形的两条直角边为a、b且a＞b，

由题意可知：S1=（a+b）2，S2=a2+b2，S3=（a-b）2，

因为S1+S2+S3=48，

即（a+b）2+a2+b2+（a-b）2=21，

∴3（a2+b2）=48，

∴3S2=48，

∴S2的值是16．

故答案为16．

【点睛】本题考查了勾股定理，正方形的面积，解决本题的关键是随着正方形的边长的变化表示面积．

18. 如图，已知在等边△ABC中，AB＝4，点P在边BC上，如果以线段PB为半径的⊙P与以边AC为直径的⊙O外切，那么⊙P的半径长是________________．

【答案】

【解析】

【分析】由等边三角形的性质和直角三角形的性质可求CH，OH，由勾股定理可求解．

【详解】解：如图，连接OP，过点O作OH⊥BC于P，

在等边△ABC中，AB＝4，

∴AC＝BC＝AB＝4，∠ACB＝60°，

∵点O是AC的中点，

∴AO＝OC＝2，

∵以线段PB为半径的⊙P与以边AC为直径的⊙O外切，

∴PO＝2＋BP，

∵OH⊥BC，

∴∠COH＝30°，

∴HC＝1，OH＝，

∵，

∴

∴BP＝，

故答案为．

【点睛】本题主要考查圆与圆的位置关系、等边三角形性质以及勾股定理得应用，利用勾股定理列出关于BP的方程是解题的关键．

三、解答题（本大题共7题，满分78分）

19. 先化简，再求值：，其中．

【答案】，

【解析】

【分析】根据分式的运算法则进行化简，然后将x的值代入原式即可求出答案．

【详解】解：

=

=

=

当时，

原式==．

【点睛】本题考查分式的运算，二次根式的除法，解题的关键是熟练运用运算法则，本题属于基础题型．

20. 解不等式组：并将解集在数轴上表示出来．

【答案】-4＜x≤，数轴表示见解析

【解析】

【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．

【详解】解：解不等式3（x+2）＞x-2，得：x＞-4，

解不等式，得：x≤，

则不等式组的解集为-4＜x≤，

将不等式组的解集表示在数轴上如下：

【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．

21. 如图，已知在⊙O中，OD⊥AB，垂足为点D，DO的延长线与⊙O相交于点C，点E在弦AB的延长线上，CE与⊙O相交于点F，AB＝CD＝8，tanC＝1

（1）求⊙O的半径长；

（2）求值．

【答案】（1）5；（2）

【解析】

【分析】（1）连接OA，设半径为r，利用垂径定理结合勾股定理即可求出r；

（2）延长CD交⊙O于点Q，连接QF，利用圆周角定理以及已知条件求出CE和CF的长即可计算的值．

【详解】解：（1）连接OA，如图所示：

设⊙O半径为r，则由题意可知：OA＝OC＝r，OD＝CD﹣OC＝8﹣r，

又∵OD⊥AB，垂足为点D，

∴AD＝，

在Rt△AOD中，，

即，

解得：r＝5，

∴⊙O的半径长为5；

（2）延长CD交⊙O于点Q，连接QF，则∠CFQ＝90°，

由（1）可知CQ＝10，

∵tanC＝1，

∴∠C＝45°，

在Rt△CAF中：，

而CQ＝CF，CQ＝10，

∴CF＝5，

在Rt△CDE中，∠C＝∠E＝45°，

CE＝，

∴EF＝CE﹣CF＝8－5＝3，

∴．

【点睛】本题考查了圆的垂径定理,勾股定理,特殊角的三角函数值,熟练掌握垂径定理,灵活运用勾股定理,特殊角的三角函数值是解题的关键．

22. 阅读下列有关记忆的资料，分析保持记忆的措施和方法．资料：德国心理学家艾宾浩斯对人的记忆进行了研究，他采用无意义的音节作为记忆的材料进行实验，获得了如下表中的相关数据，然后他又根据表中的数据绘制了一条曲线，这就是著名的艾宾浩斯遗忘曲线．其中横轴表示时间，纵轴表示学习中的记忆量．

观察表格和图像，回答下列问题：

（1）图中点A的坐标表示的实际意义是________；

（2）在下面哪个时间段内遗忘的速度最快（    ）

A．0—20分钟；B．20分钟—1小时C．1小时9小时；D．1天—2天．

（3）王老师每节数学课最后五分钟都会对本节课进行回顾总结，并要求学生每天晚上对当天课堂上所学的知识进行复习．据调查这样一天后记忆量能保持98%．如果小明同学一天没有复习，那么记忆量大约会比复习过的记忆量减少多少？由此对你的学习有什么启示？

【答案】（1）2天大约记忆量保持了27.8%；（2）A；（3）减少约66.3%；①每天上午、下午、晚上各复习10分钟；②坚持每天复习，劳逸结合（答案不唯一）．

【解析】

【分析】（1）依据图象中点的坐标，即可得到A点表示的意义；

（2）根据图象判断即可；

（3）依据函数图象，可得如果一天不复习，记忆量只能保持33.7%左右．

【详解】解：（1）由题可得，点A表示：2天大约记忆量保持了27.8%；

故答案为：2天大约记忆量保持了27.8%

（2）由图可得，0-20分钟 内记忆保持量下降41.8%，故0-20分钟内内遗忘的速度最快，

故选：A；

（3）如果一天不复习，记忆量只能保持33.7%，记忆量减少约66.3%；

学习计划两条：①每天上午、下午、晚上各复习10分钟；②坚持每天复习，劳逸结合（答案不唯一）．

【点睛】本题考查了函数图象，观察函数图象获得有效信息是解题关键．

23. 已知：如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为点D，AD＝BD，点E为边AD上一点，且DE＝DC，连接BE并延长，交边AC于点F．

（1）求证：BF⊥AC；

（2）过点A作BC的平行线交BF的延长线于点G，连接CG．如果，求证：四边形ADCG是矩形．

【答案】（1）见解析；（2）见解析

【解析】

【分析】（1）先证明△BDE和△ADC全等得出∠EBD＝∠CAD，再证△BED∽△AEF，即可得证；

（2）先证△AEG∽△DCA，得出DC＝AG，证明出四边形ADCG是平行四边形，再证一个角是直角即可得证．

【详解】证明：（1）∵AD⊥BC，

∴∠ADC＝∠BDE＝90°，

在△ACD和△BED中，

，

∴△ACD≌△BED（SAS），

∴∠EBD＝∠CAD，

又∵∠BED＝∠AEF，

∴△BED∽△AEF，

∴∠AFE＝∠EDB＝90°，

即BF⊥AC；

（2）：∵AG∥BC，

∴∠AGE＝∠EBD，

由（1）知∠EBD＝∠CAD，

∴∠AGE＝∠CAD，

又∵∠AEG＝∠BED＝∠ACD，

∴△AEG∽△DCA，

∴，

∴AE•AD＝DC•AG，

∵，DE＝DC，

∴，

∴DC＝AG，

又∵AG∥DC，

∴四边形ADCG是平行四边形，

∵AD⊥BC，

∴四边形ADCG是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）．

【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质、相似三角形的判定与性质、矩形的判定与性质等知识点，关键在于利用直角三角形的性质证明出角相等，再证明出三角形相似，用相似的性质证明出结论．

24. 如图，已知在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点．

（1）求这条抛物线的表达式；

（2）如果将抛物线向下平移个单位，使平移后的抛物线的顶点恰好落在线段上，求的值；

（3）如果点是抛物线位于第一象限上的点，联结，交线段于点，当时，求点的坐标．

【答案】（1）抛物线解析式为；（2）；（3）点

【解析】

【分析】（1）利用待定系数法可求解析式；

（2）求出平移前后的顶点坐标，即可求解；

（3）通过证明，可证，即可求解．

【详解】解：（1）与轴交于点，与轴交于点．

，

解得：，

抛物线解析式为；

（2），

顶点坐标为，，

与轴交于点，点，

，

，，

点，

设直线解析式为，

，

解得：，

直线解析式为，

当时，，

；

（3）如图，过点作于，过点作于，

，

，

，

，

，

，，

，，

点，点，

，，

，

，

点．

【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求解析式，平移的性质，相似三角形的判定和性质，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．

25. 已知在△ABC中，∠C＝90°，BC＝8，cosB＝，点D是边BC上一点，过点D作DE⊥AB，垂足为点E，点F是边AC上一点，联结DF、EF，以DF、EF为邻边作平行四边形EFDG．

（1）如图1，如果CD＝2，点G恰好在边BC上，求∠CDF的余切值；

（2）如图2，如果AF＝AE，点G在△ABC内，求线段CD的取值范围；

（3）在第（2）小题的条件下，如果平行四边形EFDG是矩形，求线段CD的长．

【答案】（1）；（2）0≤CD；（3）

【解析】

【分析】（1）由锐角三角函数的定义求出BC＝8，由勾股定理求出AC＝6，由平行线分线段成比例定理得出，求出CF，则可得出答案；

（2）当点G恰好在AB上时，解直角三角形求出CD的长，则可得出答案；

（3）设CD＝x，则BE＝（8﹣x），设矩形EFDG的对角线FG与DE相交于点O，连接OA，证明△AFO≌△AEO（SSS），由全等三角形的性质得出∠AFO＝∠AEO＝90°，过点E作EH⊥AC于点H，由梯形的中位线定理得出EH＋CD＝2OF＝DE，解方程[10﹣（8﹣x）]＋x＝（8﹣x）可得出答案．

【详解】解：（1）在Rt△ABC中，cosB＝＝，

又BC＝8，

∴AB＝10，

∴AC＝＝6，

∵DE⊥AB，

∴在Rt△BDE中，

cosB＝，

又CD＝2，BD＝6，

∴BE＝，

∵四边形EFDG是平行四边形，

∴EF∥DG，

∵点GBC上，

∴EF∥BC，

∴，

∴，

∴CF＝，

在Rt△CFD中，cos；

（2）∵四边形EFDG是平行四边形，

∴DF∥EG，

当点G恰好在AB上时，

∴DF∥AB，

∴，

设CD＝x，则，

∴CF＝，

在Rt△BDE中，cosB＝，

又CD＝x，则BD＝8﹣x，

∴BE＝（8﹣x），

∵AE＝AF，

∴，

∴x＝，

当点G在△ABC内时，0≤CD；

（3）设CD＝x，则BE＝（8﹣x），

∴AE＝10﹣（8﹣x），

设矩形EFDG的对角线FG与DE相交于点O，连接OA，

∵平行四边形EFDG是矩形，

∴OF＝OE＝DE，

∵AF＝AE，OA＝OA，

∴△AFO≌△AEO（SSS），

∴∠AFO＝∠AEO＝90°，

过点E作EH⊥AC于点H，

又∠C＝90°，

∴EH∥HF∥CB，

∵OD＝OE，

∴CF＝HF，

∴EH＋CD＝2OF＝DE，

∵（8﹣x），EH＝[10﹣（8﹣x）]，

∴[10﹣（8﹣x）]＋x＝（8﹣x），

∴x＝，

∴CD＝．

【点睛】本题属于四边形综合题，考查了平行四边形的性质，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质及相似三角形的判定与性质，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．