量子力学复习习题

1．黑体辐射中的紫外灾难表明：C

A. 黑体在紫外线部分辐射无限大的能量；

B. 黑体在紫外线部分不辐射能量；

C.经典电磁场理论不适用于黑体辐射公式；

D.黑体辐射在紫外线部分才适用于经典电磁场理论。

2．关于波函数Ψ 的含义，正确的是：B

A. Ψ 代表微观粒子的几率密度；

B. Ψ归一化后， 代表微观粒子出现的几率密度；

C. Ψ一定是实数；

D. Ψ一定不连续。

3．对于一维的薛定谔方程，如果 Ψ是该方程的一个解，则：A

A.一定也是该方程的一个解；

B.一定不是该方程的解；

C. Ψ 与一定等价；

D.无任何结论。

4．与空间平移对称性相对应的是：B

A. 能量守恒；

B.动量守恒；

C.角动量守恒；

D.宇称守恒。

5．如果算符 、 对易，且 =A，则：B

A.  一定不是 的本征态；

B. 一定是 的本征态；

C. 一定是 的本征态；

D. ∣Ψ∣一定是 的本征态。

1、 量子力学只适应于 C

A．宏观物体               B．微观物体   

C．宏观物体和微观物体     D．高速物体

2、算符F的表象是指 C

A．算符F是厄密算符       B．算符F的本征态构成正交归一的完备集  

C．算符F是幺正算符       D．算符F的本征值是实数

3、 中心力场中体系守恒量有B

 A．只有能量                    B． 能量和角动量

C．只有角动量                  D． 动量和角动量

4、Pauli算符的x分量的平方的本征值为（ B）

             A  0                     B  1

             C  i                     D  2i

5、证明电子具有自旋的实验是 A

A．史特恩—盖拉赫实验        B．电子的双缝实验

 C．黑体辐射实验              D．光电效应实验

1、 量子力学只适应于 C

A．宏观物体               B．微观物体   

C．宏观物体和微观物体     D．高速物体

2、在与时间有关的微扰理论问题中，体系的哈密顿算符由两部分组成，即，其中和应满足的条件是（B）

A与时间无关，与时间无关            B与时间无关，与时间有关C与时间有关，与时间有关         D与时间有关，与时间无关

3、自旋量子数S的值为（ D ）

            A  1/4                             B  3/4    

            C  /2                             D  1/2

5、证明电子具有自旋的实验是 A

A．史特恩—盖拉赫实验        B．电子的双缝实验

 C．黑体辐射实验              D．光电效应实验

二、简答（每小题5分，共15分）

1. 什么叫光电效应？

光的照射下，金属中的电子吸收光能而逸出金属表面的现象。

这些逸出的电子被称为光电子                                    

用来解释光电效应的爱因斯坦公式：    

2. 解释态叠加原理

3. 厄密算符的定义？

1. 解释光电效应的两个典型特点？

  ①存在临界频率ν0 ：只有当光的频率大于一定值v0 时，才有光电子发射出来。若光频率小于该值时，则不论光强度多大，照射时间多长，都没有光电子产生。 

  ②光电子的能量只与光的频率有关，与光的强度无关。光的强度只决定光电子数目的多少。

2. 波函数的物理意义

某时刻t在空间某一点(x,y,z)波函数模的平方与该时刻t该地点(x,y,z)附近单位体积内发现粒子的几率密度(通常称为几率)dw(x,y,z,t)成正比。按照这种解释，描写粒子的波是几率波。

1. 爱因斯坦光量子假说：

光(电磁辐射)不仅在发射和吸收时以能量E= hν的微粒形式出现，而且以这种形式在空间以光速 C 传播，这种粒子叫做光量子，或光子。爱因斯坦方程

2. 设为归一化的动量表象下的波函数，写出的物理意义

3. 厄密算符的定义

⒎定态：微观体系处于具有确定的能量值的状态称为定态。定态波函数：描述定态的波函数称为定态波函数。 

⒐定态的性质：⑴由定态波函数给出的几率密度不随时间改变。⑵粒子几率流密度不随时间改变。⑶任何不显含时间变量的力学量的平均值不随时间改变

⒉厄密算符的定义：如果算符Fˆ满足下列等式     ˆ ˆdxFdxF     

 ，则称Fˆ为厄密算符。式中ψ和φ为任意波函数，x代表所有的变量，积分范围是所有变量变化的整个区域。   推论：量子力学中表示力学量的算符都是厄密算符。 

⒊厄密算符的性质：厄密算符的本征值必是实数。厄密算符的属于不同本征值的两个本征函数相互正交。

三、填空题（每空2分，共20分）

1. 微观粒子具有  波粒  二象性。

2．德布罗意关系是粒子能量E、动量P与频率、波长之间的关系，其表达式为：         E=hv,  p= h /λ 。

3．量子力学中力学量用 厄米  算符表示。

4．坐标的分量算符和动量的分量算符的对易关系为：   

5．量子力学关于测量的假设认为：当体系处于波函数(x)所描写的状态时，测量某力学量F所得的数值，必定是算符的本征值  。

6．定态波函数的形式为：  。

7．根据全同性原理，全同粒子体系的波函数具有一定的交换对称性，费米子体系的波函数是_ _反对称的__,玻色子体系的波函数是_ 对称的_。

8．每个电子具有自旋角动量，它在空间任何方向上的投影只能取两个数值为： 。

1、波函数满足的三个基本条件是：__单值_；__连续性__；_有限性_。

2、设粒子的波函数为，则相应的概率密度  =_____________。

3、 若两个力学量算符和的对易关系为，则和的测不准关系式是。

4、 7. 对易关系    ，，  。

5、满足泡利不相容原理的全同粒子是_____________子；不满足泡利不相容原理的全同粒子是___________子。

1、索末非提出的广义量子化条件是 

2、一粒子有波函数由描写，则=

4、粒子在势场U(r)中运动，则粒子的哈密顿算符为

5、量子力学中，态和力学量的具体表示方式称为____表象____。

6、Pauli算符的反对易关系式是

7、满足泡利不相容原理的全同粒子是_____________子；不满足泡利不相容原理的全同粒子是___________子

。

四、证明题（每题10分，共20分）

1．利用坐标和动量算符的对易关系，证明轨道角动量算符的对易关系：

证明：

2、由Schrödinger 方程

证明几率守恒：

其中几率密度                                         

几率流密度

证明：考虑 Schrödinger 方程及其共轭式：

在空间闭区域τ中将上式积分，则有：

2、证明     式中的归一化常数是

2、证明在定态中，几率流与时间无关。

五、计算题（每题10分共30分）

1、一粒子在一维势场中运动，求粒子的能级和对应的波函数。

1、求在一维势场中运动的粒子的能级。

解：对于宽度为２ａ的对称一维无限深方势肼

在阱内体系满足的定态薛定谔方程是为方便起见，

引入符号则上式可简写为

它的解是：，将

代入上式有：同时综合式得

2、设氢原子处于状态

求氢原子能量E、角动量平方L2、角动量Z分量LZ的可能值及这些可能值出

现的几率。

2、一维运动粒子的状态是

其中，求： (1)粒子动量的几率分布函数；  (2)粒子的平均动量。

3、某量子体系Hamilton量的矩阵形式为：

设c << 1，应用微扰论求H本征值到二级近似。

解：c << 1，可取 0 级和微扰 Hamilton 量分别为：

H0 是对角矩阵，是Hamilton H0在自身表象中的形式。所以能量的 0 级近似为：

E1(0) = 1 

E2(0) = 3

E3(0) = -2

由非简并微扰公式

得能量一级修正：

能量二级修正为：

二级近似下能量本征值为：

3、设一体系未受微扰作用时有三个能级：，现在受到微扰的作用，微扰矩阵元为，a和b都是实数，用微扰公式求能量至二级修正值。