高三数学空间向量试题答案及解析

1. 如图，在四棱锥中，底面，， ，，，点为棱的中点.

（Ⅰ）证明：；

（Ⅱ）若为棱上一点，满足，求二面角的余弦值.

【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）余弦值为.

【解析】思路一：坐标法.依题意，以点为原点建立空间直角坐标系（如图），写出各点的坐标，利用空间向量即可解决问题.思路二：几何法.（Ⅰ）如图，取中点，连接，.易得四边形为矩形，从而使问题得证.

（Ⅱ）由于，那么BF在平面ABCD内的射影与AC垂直，故考虑作出BF在平面ABCD内的射影.在中，过点作交于点.由题设可得，从而得，.在平面内，作交于点，于是.显然为二面角的平面角. 在三角形PAG中，由余弦定理可得二面角的余弦值.

试题解析：解法一：坐标法.

依题意，以点为原点建立空间直角坐标系（如图），

可得，，，.由为棱的中点，得.

（Ⅰ）向量，，故. 所以，.

（Ⅱ）向量，，，.

由点在棱上，设，.

故.

由，得，

因此，，解得.

即.

设为平面的法向量，则即

不妨令，可得为平面的一个法向量

取平面的法向量，则

.

易知，二面角是锐角，所以其余弦值为.

解法二：几何法.

（Ⅰ）如图，取中点，连接，.

由于分别为的中点， 故，且，又由已知，可得且，故四边形为平行四边形，所以.

因为底面，故，而，从而平面，因为平面，于是，又，所以.

（Ⅱ）如图，在中，过点作交于点.

因为底面，故底面，

从而.又，得平面，因此.

在底面内，可得，

.在平面内，作交于点，于是.

由于，故，所以四点共面.

由，，得平面，故.

所以为二面角的平面角. 

在中，，，，

由余弦定理可得，

在三角形PAG中，由余弦定理得.

所以，二面角的余弦值为.

【考点】1、空间直线的垂直关系；2、二面角.

2. 在如图所示的多面体中，四边形和都为矩形.

（Ⅰ）若，证明：直线平面；

（Ⅱ）是否存在过的平面，使得直线平行，若存在请作出平面并证明，若不存在请说明理由.

【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）存在，证明见解析

【解析】（Ⅰ）由四边形和都为矩形知，⊥AB，⊥AC，由线面垂直判定定理知⊥面ABC，由线面垂直定义知⊥BC，又因为AC⊥BC，由线面垂直判定定理知， BC⊥面；（Ⅱ）取AB的中点为M，连结交于D，连结DE，显然E是的中点，根据三角形中位线定理得，DE∥，又由于DE在面过的平面内，根据线面平行的判定定理知和该平面平行.

试题解析：（Ⅰ）证明：因为四边形和都是矩形，

所以                    2分

因为为平面内的两条相交直线，

所以                      4分

因为直线平面，所以

又由已知，为平面内的两条相交直线，

所以平面                     7分

（Ⅱ）存在             8分

连接，设，取线段AB的中点M，连接.

则平面为为所求的平面.             1１分

由作图可知分别为的中点，

所以             13分

又因为

因此             14分

考点: 空间线面垂直垂直的判定与性质；线面平行的判定；推理论证能力

3. 平面α经过三点A(－1,0,1)，B(1,1,2)，C(2，－1,0)，则下列向量中与平面α的法向量不垂直的是(　　) 

【解析】设平面α的法向量为n，则n⊥，n⊥，n⊥，所有与 (或、)平行的向量或可用与线性表示的向量都与n垂直，故选D.

4. 如图所示，已知空间四边形OABC中，|OB|＝|OC|，且∠AOB＝∠AOC，则、夹角θ的余弦值为(　　)

【解析】设＝a，＝b，＝c.

由已知条件∠AOB＝∠AOC，且|b|＝|c|，·＝a·(c－b)＝a·c－a·b＝|a||c|cos∠AOC－|a||b|cos∠AOB＝0，

∴cosθ＝0.故选A.

5. 若向量a＝(1,1，x)，b＝(1,2,1)，c＝(1,1,1)，满足条件(c－a)·(2b)＝－2，则x＝________.

【答案】2

【解析】c－a＝(0,0,1－x)，2b＝(2,4,2)，由(c－a)·(2b)＝－2，

得(0,0,1－x)·(2,4,2)＝－2，

即2(1－x)＝－2，解得x＝2.

6. 如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，点E、F、G分别是AB、AD、CD的中点，计算：

(1)·；

(2)·；

(3)EG的长；

(4)异面直线AG与CE所成角的余弦值．

【答案】（1）   （2）－   （3）   （4）

【解析】解：设＝a，＝b，＝c.

则|a|＝|b|＝|c|＝1，

〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°.

＝BD＝c－a，＝－a，＝b－c，

(1)·＝(c－a)·(－a)

＝a2－a·c＝；

(2)·＝ (c－a)·(b－c)

＝ (b·c－a·b－c2＋a·c)＝－；

(3)＝＋＋

＝a＋b－a＋c－b＝－a＋b＋c.

||2＝a2＋b2＋c2－a·b＋b·c－c·a＝.

即||＝，

所以EG的长为.

(4)设、的夹角为θ.

＝b＋c，＝＋＝－b＋a，

cosθ＝＝－，

由于异面直线所成角的范围是(0°，90°]，

所以异面直线AG与CE所成角的余弦值为.

7. 已知点A(1，t，－1)关于x轴的对称点为B，关于xOy平面的对称点为C，则BC中点D的坐标为________．

【答案】(1,0,1)

【解析】因为A(1，t，－1)关于x轴的对称点为B(1，－t,1)，关于xOy平面的对称点为C(1，t,1)，所以BC中点D的坐标为(，，)，即D(1,0,1)．

8. 直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BCA=90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC=CA=CC1，

则BM与AN所成的角的余弦值为（  ） 

【解析】以C为原点，直线CA为x轴，直线CB为y轴，直线为轴，则设CA=CB=1，则

，，A（1，0，0），，故，，所以

，故选C.

【考点】本小题主要考查利用空间向量求线线角，考查空间向量的基本运算，考查空间想象能力等数学基本能力，考查分析问题与解决问题的能力.

9. 如图，已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是菱形，且PC⊥平面ABCD，PC＝AC＝2,E是PA的中点。

(1)求证：AC⊥平面BDE；

(2)若直线PA与平面PBC所成角为30°，求二面角P-AD-C的正切值；

(3)求证：直线PA与平面PBD所成的角φ为定值，并求sinφ值。

【答案】（1）见解析       (2) tan∠PDC =  (3) sinφ=

【解析】（1）设CA与BD相交于O，连EO，

由底面ABCD是菱形得O是中点，且CA⊥BD，

E是PA的中点，得OE//PC

∵ PC⊥平面ABCD，∴OE⊥平面ABCD

∴ OE⊥AC

∴ AC⊥面BDE 

（2）由上知，建立如图坐标系，设BD＝2a;

设平面的法向量为

,令x=1得

由题意PA与面PBC所成角为30°，得：得a=1。

解法一：当a=1时，底面ABCD是正方形，AD⊥CD

∵ PC⊥平面ABCD

∴ PC⊥AD

∴ AD⊥面PCD

则PD⊥AD

∠PDC是二面角P-AD-C的平面角，且tan∠PDC =解法二：当a=1时，

面ACD的法向量为（0,0,1），设面PAD的法向量为

令x=1,则

二面角P-AD-C的平面角为锐角θ，cosθ=,tanθ=(3)设面PBD的法向量为

令z=1得

则sinφ=为定值。

10. 如下图，在三棱锥中，底面，点为以为直径的圆上任意一动点，且，点是的中点，且交于点.

（1）求证：面；

（2）当时，求二面角的余弦值.

【答案】（1）详见解析；（2）.

【解析】（1）由已知条件平面得到，再由已知条件得到，从而得到平面，进而得到，利用等腰三角形三线合一得到，结合直线与平面垂直的判定定理得到平面，于是得到，结合题中已知条件以及直线与平面垂直的判定定理得到平面；（2）以为坐标原点，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量法求二面角 的余弦值.

（1）证明：底面，，又易知，

平面，，

又，是的中点，，

平面，，

又已知，

平面；

（2）如下图以为坐标原点，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，由于，

可设，则，，，，，

，，

设平面的一个法向量，

则，即，

可得，

由（1）可知为面的法向量，

易求

，

二面角的余弦值是.

【考点】1.直线与平面垂直；2.空间向量法求二面角

11. 如图，底面是边长为2的菱形，且，以与为底面分别作相同的正三棱锥与，且.

（1）求证：平面；

（2）求平面与平面所成锐角二面角的余弦值.

【答案】（1）证明过程见解析；（2）.

【解析】（1）作面于，作面于 ，易得四边形是平行四边形，所以.又面，面，所以平面;

（2）以为轴的正方向，以为轴的正方向，在平面中过点作面的垂线为轴，建立空间直角坐标系求题，利用向量，求出平面和平面的法向量，则两平面的法向量的夹角即为所求角或为所求角的补角.

（1）作面于，作面于 ，因与都是正三棱锥， 且、分别为与的中心，

且  .    

所以四边形是平行四边形，所以.

又面，面，所以平面

（2）如图，建立空间直角坐标系，、、、、. 

、、

、.…7分

设为平面的法向量，

设为平面的法向量，

设平面与平面所成锐二面角为，                    

所以，面与面所成锐二面角的余弦值为.          

【考点】线面平行的判定；二面角的求解.

12. 若直线的方向向量为，平面的法向量为，则能使//的是(    ) 

【解析】D选项中，,故，因此可得//，选D

13. 设平面α的法向量为(1，2，－2)，平面β的法向量为(－2，－4，k)，若α∥β，则k的值为(    ) 

【解析】由α∥β得(－2，－4，k)＝λ(1，2，-2)，∴λ＝－2，k＝4．故选B．

14. 如图，在直角梯形ABCP中，,D是AP的中点，E,G分别为PC,CB的中点，将三角形PCD沿CD折起，使得PD垂直平面ABCD.（1）若F是PD的中点，求证：AP平面EFG;（2）当二面角G-EF-D的大小为时，求FG与平面PBC所成角的余弦值.

【答案】（1）详见解析，（2）

【解析】（1）证明线面平行，关键找线线平行.因为本题条件涉及中点较多，宜从中位线性质出发寻找.如取AD中点M，则有又所以平面=平面.本题也可从证面面平行出发，推出线面平行.（2）已知二面角平面角，求线面角，宜利用空间向量解决.先建立空间直角坐标系，设出各点的坐标，,,,,设,利用二面角G-EF-D的大小为求出，再利用空间向量数量积求线面角. 利用空间向量求角，关键是正确表示平面的法向量，明确向量夹角与二面角或线面角之间关系.

试题解析：(1)证明：是的中点时,////,//,//平面,

//平面,,平面//平面,平面,

//平面.                       (6分)

(2)建立如图所示的坐标系,则有,,,,设,

,,平面的法向量,则有

,解得. .

平面的法向量,依题意,

,

.于是.

平面的法向量,,

,则有

,解得. .

与平面所成角为,则有,

故有.                        (12分)

【考点】线面平行判定定理，利用空间向量求角

15. 如图，四棱锥的底面是正方形，侧棱底面，过作垂直交于点，作垂直交于点，平面交于点，且，.

（1）设点是上任一点，试求的最小值；

（2）求证：、在以为直径的圆上；

（3）求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.

【答案】（1）；（2）详见解析；（3）.

【解析】（1）将侧面和侧面沿着展开至同一平面上，利用、、三点共线结合余弦定理求出的最小值，即线段的长度；（2）证平面，从而得到，同理得到，进而证明、在以为直径的圆上；（3）方法一是建立以点为坐标原点，分别以、、所在的直线为、、轴的空间直角坐标系，利用空间向量法求平面与平面所成的锐二面角的余弦值；方法二是延长与使得它们相交，找出二面角的棱，然后利用三垂线法找出平面与平面所成的锐二面角的平面角，利用直角三角函数来求相应角的余弦值.

试题解析：（1）将侧面绕侧棱旋转到与侧面在同一平面内，如下图示，

则当、、三点共线时，取最小值，这时，的最小值即线段的长，

设，则，

在中，，，

在三角形中，有余弦定理得：

，

，

（2）底面，，又

平面，又平面，，

又，平面，

又平面，，

同理，、在以为直径的圆上；

（3）方法一：如图，以为原点，分别以、、所在的直线为、、轴，建立空间直角坐标系如下图示，则，，由（1）可得，，平面，

为平面的一个法向量，

为平面的一个法向量，

设平面与平面所成的锐二面角的平面角为，

则，

平面与平面所成的锐二面角的余弦值；

方法二： 由可知，故，

又面，

面，面，

设平面平面，平面，，

，，

又，平面，又平面，

，，

为平面与平面所成的锐二面角的一个平面角，

，

平面与平面所成的锐二面角的余弦值为.

【考点】1.空间几何体侧面展开图的应用；2.余弦定理；3.直线与平面垂直；4.空间向量法求二面角；5.三垂线法求二面角

16. 如图，正三棱柱所有棱长都是2，D棱AC的中点，E是棱的中点，AE交于点H.

（1）求证：平面；

（2）求二面角的余弦值；

（3）求点到平面的距离.

【答案】(1)参考解析；(2) ；(3) 

【解析】(1)由正三棱柱，可得平面ACB⊥平面.又DB⊥AC.所以如图建立空间直角坐标系.分别点A,E,B,D, 的坐标，得出相应的向量.即可得到向量AE与向量BD，向量的数量积为零.即可得直线平面.

(2)由平面,平面分别求出这两个平面的法向量，根据法向量的夹角得到二面角的余弦值（根据图形取锐角）.

(3)点到平面的距离，转化为直线与法向量的关系，再通过解三角形的知识即可得点到平面的距离.本小题关键是应用解三角形的知识.

试题解析：（1）证明：建立如图所示， 

  ∵ 

∴     即AE⊥A1D，  AE⊥BD

∴AE⊥面A1BD

（2）由 ∴取

设面AA1B的法向量为  ， 

由图可知二面角D—BA1—A的余弦值为  

（3），平面A1BD的法向量取

则B1到平面A1BD的距离d= 

【考点】1.空间坐标系的建立.2.线面垂直的证明.4.二面角的求法.5.点到平面的距离公式.

17. 如图，将边长为2的正方形ABCD沿对角线BD折成一个直二面角，且EA⊥平面ABD，AE=.

（1）若，求证：AB∥平面CDE；

（2）求实数的值，使得二面角AECD的大小为60°．

【答案】（1）答案详见解析；（2）

【解析】空间向量在立体几何中的应用，最大的优点就是避开了传统立体几何中“如何添加辅助线”这个难点，使得操作更模式化、易操作.需根据已知条件寻找（或添加）三条共点的两两垂直的三条垂线，分别作为轴，建立空间直角坐标系.（1）由已知，以的方向作为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，用坐标表示有关点，要证明AB∥平面CDE，只需证明垂直于面CDE的法向量即可．本题还可以利用线面垂直的判定定理证明；（2）分别求出面和面的法向量，并求法向量的夹角，利用余弦值等于列方程，求即可．

试题解析：（1）如图建立空间指教坐标系，则A(0,0,0),B(2,0,0),C(1,1,),D(0,2,0),E(0,0,),

                          2分

设平面的一个法向量为，

则有，

取时，                    4分

，又不在平面内，所以平面；                       7分

（2）如图建立空间直角坐标系，则

A(0,0,0),B(2,0,0),C(1,1,),D(0,2,0),E(0,0,),

，

设平面的一个法向量为，

则有，取时，                  9分

又平面的一个法向量为，              10分

因为二面角的大小为，，

即，解得                      14分

又，所以．                       15分

【考点】１、直线和平面平行的判定定理；2、二面角的求法.

18. 如图所示，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB＝，AF＝1，M是线段EF的中点．

求证：(1)AM∥平面BDE；

(2)AM⊥平面BDF.

【答案】（1）见解析（2）见解析

【解析】(1)建立如图所示的空间直角坐标系，设AC∩BD＝N，连结NE.

则N，E(0，0，1)，A(，，0)，M.

∴＝，＝.

∴＝且NE与AM不共线．∴NE∥AM.

∵NE 平面BDE，AM平面BDE，∴AM∥平面BDE.

(2)由(1)知＝，

∵D(，0，0)，F(，，1)，∴＝(0，，1)，

∴·＝0，∴AM⊥DF.同理AM⊥BF.又DF∩BF＝F，∴AM⊥平面BDF.

19. 若平面α的一个法向量为n＝(4，1，1)，直线l的一个方向向量为a＝(－2，－3，3)，则l与α所成角的正弦值为________．

【答案】

【解析】cos〈n，a〉＝＝－.

又l与α所成角记为θ，即sinθ＝|cos〈n，a〉|＝.

20. 在三棱柱ABC-A1B1C1中,底面为边长为1的正三角形,侧棱AA1⊥底面ABC,点D在棱BB1上,且BD=1,若AD与平面AA1C1C所成的角为α,则sinα的值为(　　) 

【解析】如图,建立空间直角坐标系,

易求点D(,,1),平面AA1C1C的一个法向量是n=(1,0,0),所以cos==,即sinα=.

21. 在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M为DD1的中点,O为底面ABCD的中心,P为棱A1B1上任意一点,则直线OP与直线AM所成的角是(　　) 

【解析】结合图形建立空间直角坐标系,通过向量的坐标运算可知AM⊥OP恒成立,即AM与OP所成的角为.

22. 如图,三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都是2,又AA1⊥平面ABC,D,E分别是AC,CC1的中点.

(1)求证:AE⊥平面A1BD.

(2)求二面角D-BA1-A的余弦值.

(3)求点B1到平面A1BD的距离.

【答案】(1)见解析  (2)   (3)

【解析】由AA1⊥平面ABC可知,平面ABC⊥平面ACC1A1,故可考虑建立空间直角坐标系解决问题.

解：(1)以D为原点,DA所在直线为x轴,过D作AC的垂线为y轴,DB所在直线为z轴建立空间直角坐标系如图,

则A(1,0,0),C(-1,0,0),E(-1,-1,0),A1(1,-2,0),C1(-1,-2,0),B(0,0,),B1(0,-2,),

=(-2,-1,0),=(-1,2,0),=(0,0,-).∴·=2-2+0=0,

∴AE⊥A1D,·=0,∴AE⊥BD.

又A1D与BD相交于D,∴AE⊥平面A1BD.

(2)设平面DA1B的一个法向量为n1=(x1,y1,z1),

由⇒取n1=(2,1,0).

设平面AA1B的一个法向量为n2=(x2,y2,z2),

易得=(-1,2,),=(0,2,0),

则由⇒

取n2=(3,0,).cos==.

故二面角D-BA1-A的余弦值为.

(3)=(0,2,0),平面A1BD的法向量取n1=(2,1,0),则点B1到平面A1BD的距离为d=||=.

23. 直线l的方向向量为s=(-1,1,1),平面π的法向量为n=(2,x2+x,-x),若直线l∥平面π,则x的值为(　　) 

【解析】∵l∥平面π,∴s⊥n,即s·n=0.

∴(-1,1,1)·(2,x2+x,-x)=0,即-2+x2+x-x=0,∴x=±.

24. 如图,在圆锥PO中,已知PO=,☉O的直径AB=2,C是的中点,D为AC的中点.

求证:平面POD⊥平面PAC.

【答案】见解析

【解析】【证明】如图,以O为坐标原点,OB,OC,OP所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,

则O(0,0,0),A(-1,0,0),B(1,0,0),C(0,1,0),P(0,0,),D(-,,0).

设n1=(x1,y1,z1)是平面POD的一个法向量,则由n1·=0,n1·=0,

得

所以z1=0,x1=y1.取y1=1,得n1=(1,1,0).

设n2=(x2,y2,z2)是平面PAC的一个法向量,

则由n2·=0,

n2·=0,得

所以x2=-z2,y2=z2.

取z2=1,得n2=(-,,1).

因为n1·n2=(1,1,0)·(-,,1)=0,

所以n1⊥n2.

从而平面POD⊥平面PAC.

25. 已知向量a=(1,-1,1),b=(-1,2,1),且ka-b与a-3b互相垂直,则k的值是(　　) 

【解析】∵ka-b=(k+1,-k-2,k-1),a-3b=(4,-7,-2),(ka-b)⊥(a-3b),

∴4(k+1)-7(-k-2)-2(k-1)=0,

∴k=-.

26. 在空间直角坐标系中,以点A(4,1,9),B(10,-1,6),C(x,4,3)为顶点的△ABC是以BC为斜边的等腰直角三角形,则实数x的值为　　　　.

【答案】2

【解析】由题意知=(6,-2,-3),=(x-4,3,-6).

又·=0,||=||,可得x=2.

27. 一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形 (如图所示),∠ABC=45°,AB=AD=1,DC⊥BC,则这个平面图形的面积为(  )

【解析】如图

将直观图ABCD还原后为直角梯形A'BCD',其中A'B=2AB=2,BC=1+,A'D'=AD=1.

∴S=×(1+1+)×2=2+.

28. 如图甲，△ABC是边长为6的等边三角形，E，D分别为AB、AC靠近B、C的三等分点，点G为BC边的中点．线段AG交线段ED于F点，将△AED沿ED翻折，使平面AED⊥平面BCDE，连接AB、AC、AG形成如图乙所示的几何体。

（1）求证BC⊥平面AFG；

（2）求二面角B－AE－D的余弦值．

【答案】(1)详见解析， (2) 

【解析】(1)折叠问题，首先要明确折叠前后量的变化，尤其是垂直条件的变化，本题要证明线面垂直，首先找线线垂直，折叠前后都有条件,而折叠后直线变为两条相交直线，因此可由线面垂直判定定理得到BC⊥平面AFG ，(2)求二面角，有两个方法，一是作出二面角的平面角，二是利用空间向量计算；本题易建立空间直角坐标系，较易表示各点坐标，因此选择利用空间向量求二面角.下面的关键是求出两个平面的法向量，平面ADE的一个法向量易求，而平面ABE的一个法向量则需列方程组求解，最后利用数量积求夹角的余弦值

试题解析：(1) 在图甲中，由△ABC是等边三角形，E，D分别为AB，AC的三等分点，点G为BC边的中点，易知DE⊥AF，DE⊥GF，DE//BC．            2分

在图乙中，因为DE⊥AF，DE⊥GF，AFFG=F，所以DE⊥平面AFG．

又DE//BC，所以BC⊥平面AFG．                    4分

(2) 因为平面AED⊥平面BCDE，平面AED平面BCDE=DE，DE⊥AF，DE⊥GF，所以FA，FD，FG两两垂直．

以点F为坐标原点，分别以FG，FD，FA所在的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系．

则，，，所以，0)．              6分

设平面ABE的一个法向量为．

则，即，

取，则，，则．            8分

显然为平面ADE的一个法向量，

所以．                  10分

二面角为钝角，所以二面角的余弦值为．   12分

【考点】线面垂直判定，空间向量求二面角

29. 如图几何体中，四边形为矩形，，，，，.

（1）若为的中点，证明：面；

（2）求二面角的余弦值.

【答案】（1）见解析；（2）.

【解析】（1）连接交于点，得知为的中点，连接

根据点为中点，利用三角形中位线定理，得出，进一步得到

面.

（2）首先探究几何体中的线面、线线垂直关系，创造建立空间直角坐标系的条件，应用“向量法”，确定二面角的余弦值.

解答本题的关键是确定“垂直关系”，这也是难点所在，平时学习中，应特别注意转化意识的培养，能从“非规范几何体”，探索得到建立空间直角坐标系的条件.

试题解析：（1）连接交于点，则为的中点，连接

因为点为中点，所以为的中位线，

所以                       2分

面，面，

所以面       4分

（2）取中点，的中点，连接，则，

所以共面

作于，于，则且

，

和全等，

和全等，

，为中点，

又，，面

，面                      6分

以为原点，为轴建立空间直角坐标系如图所示，则，，，设，则，

，

设面的法向量

，

由，令

                               8分

设面的法向量

，

由，令

                             10分

设二面角的平面角为，

则              12分

【考点】直线与平面、平面与平面垂直，二面角的定义，空间向量的应用.

30. 如图所示，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝6，BD是对角线，过点A作AE⊥BD，垂足为O，交CD于E，以AE为折痕将△ADE向上折起，使点D到点P的位置，且PB＝.

(1)求证：PO⊥平面ABCE；

(2)求二面角E­AP­B的余弦值．

【答案】(1)见解析   (2)

【解析】解：(1)证明：由已知得AB＝3，AD＝6，

∴BD＝9.

在矩形ABCD中，∵AE⊥BD，

∴Rt△AOD∽Rt△BAD，

∴＝，∴DO＝4，∴BO＝5.

在△POB中，PB＝，PO＝4，BO＝5，

∴PO2＋BO2＝PB2，

∴PO⊥OB.又PO⊥AE，AE∩OB＝O，

∴PO⊥平面ABCE.

(2)∵BO＝5，

∴AO＝＝2.

以O为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则P(0,0,4)，

A(2，0,0)，B(0,5,0)，

＝(2，0，－4)，＝(0,5，－4)．

设n1＝(x，y，z)为平面APB的法向量．

则即

取x＝2得n1＝(2，4,5)．

又n2＝(0,1,0)为平面AEP的一个法向量，

∴cos〈n1，n2〉＝＝＝，

故二面角E­AP­B的余弦值为.

31. 如图，四边形ABEF和四边形ABCD均是直角梯形，∠FAB＝∠DAB＝90°，AF＝AB＝BC＝2，AD＝1，FA⊥CD.

(1)证明：在平面BCE上，一定存在过点C的直线l与直线DF平行；

(2)求二面角F­CD­A的余弦值．

【答案】(1)见解析   (2)

【解析】解：(1)证明：由已知得，BE∥AF，BC∥AD，BE∩BC＝B，AD∩AF＝A，

∴平面BCE∥平面ADF.

设平面DFC∩平面BCE＝l，则l过点C.

∵平面BCE∥平面ADF，平面DFC∩平面BCE＝l，

平面DFC∩平面ADF＝DF.

∴DF∥l，即在平面BCE上一定存在过点C的直线l，使得DF∥l.

(2)∵FA⊥AB，FA⊥CD，AB与CD相交，

∴FA⊥平面ABCD.

故以A为原点，AD，AB，AF分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图．由已知得，D(1,0,0)，C(2,2,0)，F(0,0,2)，

∴＝(－1,0,2)，＝(1,2,0)．

设平面DFC的一个法向量为n＝(x，y，z)，

则⇒不妨设z＝1.

则n＝(2，－1,1)，不妨设平面ACD的一个法向量为m＝(0,0,1)．

∴cos〈m，n〉＝＝＝，

由于二面角F­CD­A为锐角，

∴二面角F­CD­A的余弦值为.

32. 如图，在四棱锥P­ABCD中，PD⊥平面ABCD，四边形ABCD是菱形，AC＝2，BD＝2，E是PB上任意一点．

(1)求证：AC⊥DE；

(2)已知二面角A­PB­D的余弦值为，若E为PB的中点，求EC与平面PAB所成角的正弦值．

【答案】(1)见解析   (2)

【解析】解：(1)证明：∵PD⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴PD⊥AC，

∵四边形ABCD是菱形，∴BD⊥AC，

又BD∩PD＝D，∴AC⊥平面PBD，

∵DE⊂平面PBD，∴AC⊥DE.

(2)在△PDB中，EO∥PD，∴EO⊥平面ABCD，分别以OA，OB，OE所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，

设PD＝t，则A(1,0,0)，B(0，，0)，C(－1,0,0)，E，P(0，－，t)，＝(－1，，0)，＝(－1，－，t)．

由(1)知，平面PBD的一个法向量为n1＝(1,0,0)，设平面PAB的法向量为n2＝(x，y，z)，则根据

得令y＝1，得平面PAB的一个法向量为n2＝.

∵二面角A­PB­D的余弦值为，

则|cos〈n1，n2〉|＝，

即＝，

解得t＝2或t＝－2 (舍去)，

∴P(0，－，2)．

设EC与平面PAB所成的角为θ，

∵＝(－1,0，－)，n2＝(，1,1)，

则sin θ＝|cos〈，n2〉|＝＝，

∴EC与平面PAB所成角的正弦值为.

33. 如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O是底面正方形ABCD的中心，M是D1D的中点，N是A1B1的中点，则直线NO，AM的位置关系是  (　　)．

【解析】建立坐标系如图，设正方体的棱长为2，则A(2,0,0)，M(0，0,1)，O(1,1,0)，N(2,1,2)，＝(－1，0，－2)，＝(－2,0,1)，·＝0，则直线NO，AM的位置关系是异面垂直．

34. 如图，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，已知AB＝4，AD＝3，AA1＝2，E，F分别是棱AB，BC上的点，且EB＝FB＝1.

(1)求异面直线EC1与FD1所成角的余弦值；

(2)试在面A1B1C1D1上确定一点G，使DG⊥平面D1EF.

【答案】（1）（2）当点G在面A1B1C1D1上，且到A1D1，C1D1距离均为时，DG⊥D1EF.

【解析】(1)以D为原点，，，分别为x轴，y轴，z轴的正向建立空间直角坐标系，

则有D(0，0,0)，D1(0,0,2)，C1(0,4,2)，E(3,3,0)，F(2，4,0)，

于是＝(－3,1,2)，＝(－2，－4,2)．

设EC1与FD1所成角为α，则cos α＝＝

∴异面直线EC1与FD1所成角的余弦值为.

(2)因点G在平面A1B1C1D1上，故可设G(x，y,2)．

＝(x，y,2)，＝(－2，－4，2)，＝(－1,1,0)．由

得解得

故当点G在面A1B1C1D1上，且到A1D1，C1D1距离均为时，DG⊥D1EF

35. 如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，棱长为a，M，N分别为A1B和AC上的点，A1M＝AN＝，则MN与平面BB1C1C的位置关系是    (　　)．

【解析】分别以C1B1，C1D1，C1C所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示．

∵A1M＝AN＝a，∴M，N，∴＝.

又C1(0,0,0)，D1(0，a,0)，∴＝(0，a,0)，

∴·＝0，∴⊥.

∵是平面BB1C1C的法向量，

且MN⊄平面BB1C1C，∴MN∥平面BB1C1C.

36. 在四面体P－ABC中，PA，PB，PC两两垂直，设PA＝PB＝PC＝a，则点P到平面ABC的距离为________．

【答案】

【解析】根据题意，可建立如图所示的空间直角坐标系P－xyz，则P(0,0,0)，A(a，0,0)，B(0，a,0)，C(0,0，a)．过点P作PH⊥平面ABC，交平面ABC于点H，则PH的长即为点P到平面ABC的距离．

∵PA＝PB＝PC，∴H为△ABC的外心．

又∵△ABC为正三角形，∴H为△ABC的重心，可得H点的坐标为.

∴PH＝.

37. （本小题12分）如图：四棱锥P—ABCD中，底面ABCD

是矩形，PA⊥底面ABCD，PA=AB=1，AD=，点F是PB的中点，点E在边BC上移动.

（1）证明：无论点E在BC边的何处，都有PE⊥AF;

（2）当BE等于何值时，PA与平面PDE所成角的大小为45°. 

【解析】（1）证明详见解析；（2）．（1）以A为原点，AD,AB,AP分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，求证 =0即可；（2）求出表示平面PDE的一个法向量的坐标，由向量的夹角公式和已知条件可得到一个方程，解之即可.

试题解析：解：(1) 建立如图所示空间直角坐标系，

则P（0，0，1），B（0，1，0），

 设

∴AF⊥PE 

（2）设平面PDE的法向量为，由 得，而,

因为PA与平面PDE所成角的大小为45°，

所以sin45°=  ，即 ，得BE=x= ，

或BE=x=（舍去）.

【考点】1.向量数量积的性质；2.向量夹角公式的应用.

38. 在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，M为AC与BD的交点，若, ，，则下列向量中与相等的向量是 （   ）            

【解析】略

39. 已知直角坐标平面内的两个向量，使得平面内的任意一个向量都可以唯一的表示成，则的取值范围是       .

【答案】

【解析】略

40. (本小题共l2分)

如图，在直三棱柱AB-A1B1C1中．∠ BAC=90°，AB=AC=AA1 =1．D是棱CC1上的一

P是AD的延长线与A1C1的延长线的交点，且PB1∥平面BDA．

(I)求证：CD=C1D：

(II)求二面角A-A1D-B的平面角的余弦值；   

(Ⅲ)求点C到平面B1DP的距离．

【答案】略

【解析】在中，，

41. 

（本小题满分12分）

如图，菱形的边长为，,.将菱形沿对角线折起，得到三棱锥,点是棱的中点，.

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）求证：平面平面；

（III）求三棱锥的体积.

【答案】证明：（Ⅰ）因为点是菱形的对角线的交点，所以是的中点.又点是棱的中点，所以是的中位线，.   ………………………… 2分

因为平面,平面，所以平面. …………………4分

（Ⅱ）由题意，,

因为,所以，.   …………………………….6分

又因为菱形，所以.

因为,所以平面，

因为平面，所以平面平面.

……………………………………………………………….9分

（Ⅲ）三棱锥的体积等于三棱锥的体积.

由（Ⅱ）知，平面，所以为三棱锥的高，且.

的面积为.

所求体积等于. ………………………………………………12分

【解析】略

42. 如图，四棱锥中，.,F为PC的中点，.

（1）求的长：

（2）求二面角的正弦值.

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）连接BD交AC于点O，等腰三角形BCD中利用“三线合一”证出AC⊥BD，因此分别以OB、OC分别为x轴、y轴建立空间直角坐标系如图所示．结合题意算出A、B、C、D各点的坐标，设P（0，-3，z），根据F为PC边的中点且AF⊥PB，算出z=，从而得到，可得PA的长为；

（2）由（1）的计算，得的坐标．利用垂直向量数量积为零的方法建立方程组，解出和分别为平面FAD、平面FAB的法向量，利用空间向量的夹角公式算出夹角的余弦，结合同角三角函数的平方关系即可算出二面角B-AF-D的正弦值．

试题解析：解：如图建立空间坐标系

（2）设面AFD的法向量，设面ABF的法向量

【考点】1.用空间向量求平面间的夹角；2.点、线、面间的距离计算；3.二面角的平面角及求法．

43. 如图，四边形是正方形，平面，，，，， 分别为，，的中点．

（1）求证：平面；

（2）求平面与平面所成锐二面角的大小.

【答案】（1）证明见解析；（2）

【解析】（1）利用已知的线面垂直关系建立空间直角坐标系，准确写出相关点的坐标，从而将几何证明转化为向量运算.其中灵活建系是解题的关键.（2）证明证线线垂直，只需要证明直线的方向向量垂直；（3）把向量夹角的余弦值转化为两平面法向量夹角的余弦值;（4）空间向量将空间位置关系转化为向量运算，应用的核心是要充分认识形体特征，建立恰当的坐标系，实施几何问题代数化.同时注意两点：一是正确写出点、向量的坐标，准确运算；二是空间位置关系中判定定理与性质定理条件要完备.

试题解析：（1）证明：,分别为，的中点，

.

又平面，平面，

平面.

（2）解:平面，，平面

平面，.

 四边形是正方形，.

以为原点,分别以直线为轴, 轴,轴

建立如图所示的空间直角坐标系，设 

,

，，，，，,

,.

，， 分别为，，的中点，

，，,, 

（解法一）设为平面的一个法向量，则,

即，令，得.

设为平面的一个法向量,则,

即，令，得.

所以==.

所以平面与平面所成锐二面角的大小为（或）

（解法二），,

是平面一个法向量.

，,

是平面平面一个法向量.

平面与平面所成锐二面角的大小为（或）.

（解法三）延长到使得连

，，

四边形是平行四边形，

四边形是正方形，

，分别为，的中点，

平面，平面， 平面. 

平面平面平面

故平面与平面所成锐二面角与二面角相等.

平面平面

平面是二面角的平面角.

平面与平面所成锐二面角的大小为（或）. 

【考点】1、直线与平面平行的判定；2、平面与平面所成的角.

44. 如图，在四棱锥中， ，， ，，分别为的中点.

（1）证明：；

（2）求直线与平面所成角的正弦值.

【答案】（1）详见解析 ；（2）

【解析】（1）要证明直线和直线与直线垂直，可以转化为证明直线和平面垂直，本题可以取线段中点，连接，易证明直线面，从而，或者可以建立空间直角坐标系，用坐标表示相关点，通过证明两条直线的方向向量垂直即可；（2）求直线和平面所成的角，通过建立空间直角坐标系，求平面的法向量和直线方向向量所成角的余弦值，即所求角的正弦值．

试题解析：（1）易知AB，AD，A P两两垂直．如图，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系．设，则相关各点的坐标为：，，，，，.       2分

从而，＝，＝．

因为，所以·＝.

解得或（舍去）．                        4分

于是＝（，1，－1），＝（，1，0）．

因为·＝－1＋1＋0＝0，所以⊥，即．      6分

（2）由（1）知，＝（，1，-2），＝（0，2，-2）．

设是平面PCD的一个法向量，则

即

令，则＝（1，，）．                            9分

设直线EF与平面PCD所成角为，则

＝|〈，〉|＝||＝.

即直线EF与平面PCD所成角的正弦值为.                        12分

【考点】1、直线与直线垂直；2、直线和平面所成的角.

45. （本小题满分12分）如图，在直棱柱，，。

（Ⅰ）证明：；

（Ⅱ）求直线所成角的正弦值。

【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ） 

【解析】（Ⅰ）∵ABCD- 是直棱柱，∴ ，

且 ，

又∵AC⊥BD，且 ，∴AC⊥平面.     4分

（Ⅱ）建立空间直角坐标系，设原点在A点，AB所在边为x轴，AD所在边为y轴，A所在边为z轴建立空间直角坐标系，则，所以 ，

∵ ,∴ ，∵ ，∴ ,∴m= ,

∴ ，设为平面AC的法向量，则 ，令x=1，则 为平面AC的一个法向量；因为 ，∴ ,

所以直线与平面AC所成角的正弦值 -------12

【考点】本题考查线面垂直的判定，求线面角

点评：解决本题的关键是掌握线线垂直判定的方法，考查了利用空间向量求线面角，注意建立适当的空间坐标系，求出相应点的坐标

46. 如图，四棱锥中，．,F为PC的中点，．

（1）求的长：

（2）求二面角的正弦值．

【答案】（1），（2）

【解析】（1）如图建立空间坐标系

（2）设面AFD的法向量,

设面ABF的法向量为

【考点】本题考查用空间向量求二面角，计算点线面的距离

点评：解决本题关键是建立适当的空间直角坐标系，会写坐标，会求面的法向量。

47. （本小题满分12分）如图，在斜三棱柱中，侧面与侧面都是菱形，，.

（Ⅰ）求证：；

（Ⅱ）若，求二面角的余弦值.

【答案】（1）证明详见解析；（2）.

【解析】本题主要考查线线垂直、线面垂直、二面角等基础知识，意在考查考生的分析问题解决问题的能力、空间想象能力、逻辑推理能力、运算求解能力.第一问，连结AC1，CB1，取中点，连结、，由于△ACC1和△B1CC1皆为正三角形，所以CC1⊥OA，CC1⊥OB1，所以利用线面垂直的判定，得到CC1⊥平面OAB1，再利用线面垂直的性质得到CC1⊥AB1；第二问，利用向量法，利用第一问的相互垂直关系建立空间直角坐标系，写出相应的的坐标及相应向量的坐标，求出平面CAB1和平面A1AB1的法向量，再利用夹角公式求出，最后判断出二面角是钝角还是锐角.

试题解析：（Ⅰ）证明：连AC1，CB1，则△ACC1和△B1CC1皆为正三角形．

取CC1中点O，连OA，OB1，则CC1⊥OA，CC1⊥OB1，则CC1⊥平面OAB1，则CC1⊥AB1． 4分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，OA＝OB1＝，又AB1＝，

所以OA⊥OB1．如图所示，分别以OB1，OC1，OA为正方向建立空间直角坐标系，

则C(0，－1，0)，B1(，0，0)，A(0，0，)，      6分

设平面CAB1的法向量为m＝(x1，y1，z1)， 因为

，，

所以，取m＝(1，－，1)．    8分

设平面A1AB1的法向量为n＝(x2，y2，z2)， 因为

，，

所以，取n＝(1，0，1)．     10分

则，因为二面角C-AB1-A1为钝角，

所以二面角C-AB1-A1的余弦值为．       12分

【考点】线线垂直、线面垂直、二面角.

48. （本小题满分12分）如图，在四棱柱中，侧面⊥底面，，底面为直角梯形，其中，，

为中点．

（1）求证：平面 ；

（2）求锐二面角的余弦值．

【答案】（1）证明见解析（2）

【解析】（1）证明线面平行常用方法：一是利用线面平行的判定定理，二是利用面面平行的性质定理，三是利用面面平行的性质；（2）利用已知的线面垂直关系建立空间直角坐标系，准确写出相关点的坐标，从而将几何证明转化为向量运算．其中灵活建系是解题的关键．（3）证明证线线垂直，只需要证明直线的方向向量垂直；（4）把向量夹角的余弦值转化为两平面法向量夹角的余弦值；（5）空间向量将空间位置关系转化为向量运算，应用的核心是要充分认识形体特征，建立恰当的坐标系，实施几何问题代数化．同时注意两点：一是正确写出点、向量的坐标，准确运算；二是空间位置关系中判定定理与性质定理条件要完备．

试题解析：（1）证明：如图，连接，则四边形为正方形，所以，且，   2分

故四边形为平行四边形，所以．   

又平面，平面，

所以平面．                  5分

（2）因为为的中点，所以，又侧面⊥底面，交线为，故⊥底面。                          6分

以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的坐标系， 则，        

，

设为平面的一个法向量，由，得，

令，则 ．

又设为平面的一个法向量，由，得，令，

则，   

则，

故所求锐二面角的余弦值为．         

【考点】（1）线面平行（2）二面角的大小．

49. （本小题满分13分）如图，直四棱柱的底面是菱形，侧面是正方形，，是棱的延长线上一点，经过点、、的平面交棱于点，．

（1）求证：平面平面；

（2）求二面角的平面角的余弦值．

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】（1）要证明面面垂直，要先证明线面垂直，即在一个平面内找一条直线与另一平面垂直，题中直四棱柱有平面平面，因此平面内与垂直的直线必定与平面垂直，因此我们想要找的垂线可能是待证平面与平面的交线，下面只要证明；平面即可；（2）要求二面角，可根据二面角定义作出其平面角，由（1）只要作于，则平面，作，垂足为，连，便可得到为所求的平面角，也可建立空间直角坐标系，用空间向量法求二面角.

试题解析：（1）设四棱柱的棱长为

∵，∽，∴    1分

由，，得，    2分

∵，∴，    3分

是直四棱柱，，又，∴，∵，∴平面    4分

∵平面，∴平面平面    5分

（2）（方法一）过作于，于，连接    6分

由平面平面，平面平面，

平面    7分

∴，又，，∴平面，，是二面角的平面角    9分

在中，，，，，在中，，，，（、求得任何一个给2分，两个全对给3分）    12分

，    13分

（方法二）以为原点，、所在直线为轴、轴，平行于的直线为轴建立空间直角坐标系    6分，则

，，    7分

设平面的一个法向量为，则    9分，

即，不妨取    10分，由（1）知，    11分，平面的一个法向量为    12分，

二面角的平面角的余弦值    13分

【考点】（1）面面垂直；（2）二面角.

50. 如图，弧是半径为的半圆，为直径，点为弧的中点，点和点为线段的三等分点，平面外一点满足，．

（Ⅰ）证明：；

（Ⅱ）已知点为线段上的点，且，求当最短时，直线和平面所成的角的正弦值．

【答案】(1)证明： 平面； (2)过R做 平面，所以 即为 和平面BDE所成的角， ，所以．

【解析】（1）要证明，即证平面，由，，可得为直角三角形，即；再由点为弧的中点可得，圆心角，结合线面垂直的判定定理可得平面，进而证得；（2）首先根据题意建立如图所示的空间直角坐标系，然后分别写出各点的坐标并设出，再由可得，于是求出的表达式，并根据二次函数的最值求出其最小值，进而求出点的坐标，最后根据直线与平面所成的角的向量数量积求出其夹角即可得出所求的结果．

试题解析：（1）连接，因为弧是半径为的半圆，为直径，点为弧的中点，所以．在中，．在中，，为等腰三角形，且点是底边的中点，所以；在中，，所以为直角三角形，且；因为，，且，所以平面，而面，所以．因为，所以平面，而面，所以；

（2）以点为原点，分别以为轴，建立如图所示的空间直角坐标系．则，设，则由可得：，即，所以，所以

，当时，取得最小值．此时．由(1)知，平面的法向量为，所以，所以直线和平面所成的角的正弦值为．

【考点】1、平面与平面垂直的性质；2、直线与直线的判定性质；3、直线与平面所成的角；