扬州中学2012-2013学年高一5月月考数学

高一数学试卷

2013年5月

一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）

1.m为任意实数时，直线(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5必过定点_________．  

2.函数y＝sin2x＋2cosx (≤x≤)的最小值为_______． 

3.已知数列{an}的前n项和Sn＝n2－9n，第k项满足5＜ak＜8，则k＝________． 

4.设直线l1：x＋my＋6＝0和l2：(m－2)x＋3y＋2m＝0，当m＝_______时，l1∥l2． 

5.△ABC的内角A、B、C的对边分别是a、b、c，若a、b、c成等比数列，且c＝2a，则cosB＝__________． 

6.若函数f (x)＝sinωx (ω＞0)在区间[0,]上单调递增，在区间[,]上单调递减，则ω＝________． 

7.过点A(1,4)且在x、y轴上的截距相等的直线共有______条． 

8.已知以x,y为自变量的目标函数z＝kx＋y (k＞0)的可行域如图阴

影部分（含边界），且A(1,2)，B(0,1)，C(,0)，D(,0)，E(2,1)，

若使z取最大值时的最优解有无穷多个，则k＝________． 

9.设等比数列{an}的公比为q，数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＋1,Sn,Sn＋2成等差数列，则q＝_________． 

10.若三直线x＋y＋1＝0,2x－y＋8＝0和ax＋3y－5＝0相互的交点数不超过2，则所有满足条件的a组成的集合为______________． 

11.设Sn＝1＋2＋3＋…＋n，n∈N*，则函数f (n)＝的最大值为________． 

12.直线l：x＝my＋n(n＞0)过点A(4,4)，若可行域的外接圆直径为，则实数n的值是__________． 

13.过点(1,3)作直线l，若l经过点(a,0)和(0,b)，且a，b∈N*，则可作出的l的个数为___________条． 

14.若a,b,c∈R，且满足，则实数a的取值范围是________．

二、解答题（共6小题，满分90分）

15.【本题满分14分】

已知函数f (x)＝sin(x＋)＋cos(x－)，x∈R． 

（1）求f (x)的最小正周期和最小值；

（2）已知cos(β－α)＝，cos(β＋α)＝－，(0＜α＜β≤)，求f (β)的值．

16.【本题满分14分】

如图，要测量河对岸两点A、B之间的距离，选取相距km的C、D两点，并测得∠ACB＝75º，∠BCD＝45º，∠ADC＝30º，∠ADB＝45º，求AB之间的距离．

17.

【本题满分15分】

过点P(2,1)的直线l与x轴正半轴交于点A，与y轴正半轴交于点B．

（1）求u＝|OA|＋|OB|的最小值，并写出取最小值时直线l的方程；

（2）求v＝|PA|·|PB|的最小值，并写出取最小值时直线l的方程．

18.【本题满分15分】

某工厂生产甲、乙两种产品，这两种产品每千克的产值分别为600元和400元，已知每生产1千克甲产品需要A种原料4千克，B种原料2千克；每生产1千克乙产品需要A种原料2千克，B种原料3千克．但该厂现有A种原料100千克，B种原料120千克．问如何安排生产可以取得最大产值，并求出最大产值．

19.

【本题满分16分】

已知二次函数f (x)满足f (－1)＝0，且x≤f (x)≤(x2＋1)对一切实数x恒成立．

（1）求f (1)；

（2）求f (x)的解析表达式；

（3）证明：＋＋…＋＞2．

20.a(1,1), a(1,2), a(1,3), ···, a(1,n)

a(2,1), a(2,2), a(2,3), ···, a(2,n)

a(3,1), a(3,2), a(3,3), ···, a(3,n)

·····································

a(m,1), a(m,2), a(m,3), ···, a(m,n)

·····································

a(n,1), a(n,2), a(n,3), ···, a(n,n)

【本题满分16分】

有n个首项都是1的等差数列，设第m个数列的第k项为a(m,k)（其中m,k＝1,2,3,···,n，n≥3），公差为dm，并且a(1,n), a(2,n), a(3,n), ···, a(n,n)成等差数列．

（1）证明：dm＝p1d1＋p2d2（3≤m≤n，p1, p2是m的多项式），并求p1＋p2的值；

（2）当d1＝1,d2＝3时，将数列{dm}分组如下：(d1)，(d2,d3,d4)，(d5,d6,d7,d8,d9)，…（每组数的个数构成等差数列）．设前m组中所有数之和为(cm)4（cm＞0），求数列{2cm·dm}的前n项和Sn；

（3）对于（2）中的dn、Sn，设N是不超过20的正整数，当n＞N时，求使得不等式(Sn－6)＞dn成立的所有N的值．

高一数学答题纸

一、 班级_学号_姓名_____________ 

………………密……………封……………线……………内……………不……………要……………答……………题………………

填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分。）

1．_____________ ．____________ ．____________ ．____________

5．_____________ ．____________ ．____________ ．____________

9．_____________ ．___________ ．___________ ．___________

13．____________ ．___________

二、解答题（本大题共6小题，共计90分）

15．

16．

17．

18．

【19、20答案写在反面】

高一数学试卷参           2013、5

1． (9,－4) 2．－2  ．8            4．－1        5．  ．        7．2

8．1  ．－2  ．{,3,－6}  ．        12．8  ．2  ．[1,5]

【14】：目标求a的取值范围，故要消去变量b,c．由条件：∴∵b2＋c2＝－a2＋14a＋5≥0∴a2－14a－5≥0

∵b2＋c2≥2bc∴－a2＋14a＋5≥2(a2－2a＋10)∴a2－6a＋5≤0∴∴1≤a≤5．

15.解：（1）f (x)＝sin(x＋)＋cos(x－)＝sin(x－)－cos(x＋)＝2sin(x－)∴T＝2π，f (x)min＝－2

（2）cos(β－α)＝cosα·cosβ＋sinα·sinβ＝，cos(β＋α)＝cosα·cosβ－sinα·sinβ＝－

∴cosα·cosβ＝0 ∵0＜α＜β≤∴cosβ＝0∴β＝  

∴f (β)＝2sin(－)＝． 

16.解：在△ACD中，∠ACD＝120°，∠CAD＝∠ADC＝30°∴AC＝CD＝km

在△BCD中，∠BCD＝45°  ∠BDC＝75°  ∠BCCD＝60°  

∴BC＝＝，在△ABC中，由余弦定理，

得AB2＋2＋()2－2×cos75°＝3＋2＋－＝5  ∴AB＝km 

答：A、B之间距离为km．

17.解：（1）设点A(a,0)，B(0,b)，直线l：＋＝1(a,b＞0) 

∵P(2,1)在直线l上 ∴＋＝1 ∴b＝，∵a,b＞0 ∴a＞2

u＝|OA|＋|OB|＝a＋b＝a＋＝a－2＋＋3≥2＋3＝2＋3

当且仅当a－2＝(a＞2)，即a＝2＋时等号成立．此时，b＝1＋

∴umin＝2＋3，此时，l：＋＝1，即：x＋y－2－＝0

法二：u＝|OA|＋|OB|＝a＋b＝(a＋b)·＝3＋＋≥3＋2

当且仅当＝且＋＝1，即a＝2＋，b＝1＋时等号成立．(下略)．

（2）法一：由（1）知：v＝|PA|·|PB|＝·∵b－1＝－1＝

∴v2＝[(a－2)2＋1]·＝4(a－2)2＋＋8≥2＋8＝16．

当且仅当(a－2)2＝(a＞2)，即a＝3时等号成立，此时，b＝3．

∴umin＝4，此时，l：＋＝1，即：x＋y＝3．

法二：设l的倾斜角为θ(＜θ＜π)，则|PA|＝＝，|PB|＝＝－

∴v＝|PA|·|PB|＝·＝－≥4，当且仅当sin2θ＝－1(＜θ＜π)，即θ＝时等号成立，此时，kl＝－1，∴l：y＝3－x．

18.

解：设生产甲产品x千克，乙产品y千克，产值为z元，目标函数为：z＝600x＋400y．

则． 作出可行域如图（略），由得M(7.5，35)．

平移直线3x＋2y＝0，使它过M点，此时z取得最大值z＝600x＋400y＝18500，

故安排生产甲产品7.5千克，乙产品35千克，可取得最大产值18500元．

19.a(1,1), a(1,2), a(1,3), ···, a(1,n)

a(2,1), a(2,2), a(2,3), ···, a(2,n)

a(3,1), a(3,2), a(3,3), ···, a(3,n)

·····································

a(m,1), a(m,2), a(m,3), ···, a(m,n)

·····································

a(n,1), a(n,2), a(n,3), ···, a(n,n)

解：（1）取x＝1，由1≤f (1)≤(1＋1)，所以f (1)＝1 

（2）设f (x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)因f (－1)＝0，f (1)＝1，∴a＋c＝b＝，∵f (x)≥x，对x∈R恒成立，∴ax2＋(b－1)x＋c≥0对x∈R恒成立，∴△≤0 a＞0，ac≥∵a＞0，ac≥＞0，∴c＞0．∵a＋c≥2≥2＝当且仅当a＝c＝时，等式成立∴f (x)＝＝(x＋1)2 

（3）证明：∵＝＞＝4(－)

∴＋＋…＋＞4(－)＞2．

20.解：（1）由题意知a(m,n)＝1＋(n－1)dm．

∴a(2,n)－a(1,n)＝[1＋(n－1)d2]－[1＋(n－1)d1]＝(n－1)(d2－d1)，

同理，a(3,n)－a(2,n)＝(n－1)(d3－d2)，

a(4,n)－a(3,n)＝(n－1)(d4－d3)，…，

a(n,n)－a(n－1,n)＝(n－1)(dn－dn－1)．

又∵a(1,n), a(2,n), a(3,n), ···, a(n,n)成等差数列，

∴a(2,n)－a(1,n)＝a(3,n)－a(2,n)＝···＝a(n,n)－a(n－1,n)

故d2－d1＝d3－d2＝···＝dn－dn－1，即{dn}是公差为d2－d1的等差数列.

∴dm＝d1＋(m－1) (d2－d1)＝(2－m)d1＋(m－1)d2

令p1＝2－m，p2＝m－1，则dm＝p1d1＋p2d2（3≤m≤n，p1,p2是m的多项式）

此时p1＋p2＝1.            

（2）当d1＝1,d2＝3时，dm＝2m－1

数列{dm}分组如下：(d1)，(d2,d3,d4)，(d5,d6,d7,d8,d9)，…

按分组规律，第m组中有2m－1个奇数，

∴第1组到第m组共有1＋3＋5＋···＋(2m－1)＝m2个奇数.

∵前k个奇数的和为1＋3＋5＋···＋(2k－1)＝k2，∴前m2个奇数的和为m4.

∴(cm)4＝m4，∵cm＞0∴cm＝m，∴2cm·dm＝(2m－1)·2m    

∴Sn＝1·2＋3·22＋5·23＋···＋(2n－3)·2n−1＋(2n－1)·2n．

 2Sn＝  2＋3·23＋···＋(2n－5)·2n−1＋(2n－3)·2n＋(2n－1)·2n+1．

相减得：－Sn＝2＋2·22＋2·23＋···＋2·2n−1＋2·2n－(2n－1)·2n+1．

 ＝2×(2＋22＋23＋···＋2n)－2－(2n－1)·2n+1．

 ＝2×2(2n－1)－2－(2n－1)·2n+1＝(3－2n)·2n+1－6

∴Sn＝(2n－3)·2n+1＋6；        

（3）由（2）得dn＝2n－1,Sn＝(2n－3)·2n+1＋6.

故不等式(Sn－6)＞dn等价于(2n－3)·2n+1＞50(2n－1).

即f (n)＝(2n－3)·2n+1－50(2n－1)＝(2n－3)·(2n+1－50)－100.

当n＝1,2,3,4,5时，都有f (n)＜0，即(2n－3)·2n+1＜50(2n－1)

而f (6)＝9×(27－50)－100＝9×(128－50)－100＝602＞0

∵当n≥6时，f (n)单调递增，故有f (n)＞0.

∴当n≥6时，(2n－3)·2n+1＞50(2n－1)成立，即(Sn－6)＞dn成立.

∴满足条件的所有正整数N＝5,6,7,···,20．