小学数学五年级思维训练(三)奇数和偶数

    同学们，整数可以分成奇数和偶数两大类，能被2整除的数叫做偶数，不能被2整除的数叫做奇数。奇数与偶数的运算性质有5条：

　　性质1：偶数±偶数=偶数，        奇数±奇数=偶数。

　　性质2：偶数±奇数=奇数。

　　性质3：偶数个奇数相加得偶数。

　　性质4：奇数个奇数相加得奇数。

　　性质5：偶数×奇数=偶数，        奇数×奇数=奇数。

例1： 1+2+3+…+1993的和是奇数？还是偶数？

[解题招术]    

∵1993÷2=996…1，

　　∴1～1993的自然数中，有996个偶数，有997个奇数。

　　∵996个偶数之和一定是偶数，

　　又∵奇数个奇数之和是奇数，

　　  ∴997个奇数之和是奇数。

　　因为，偶数+奇数=奇数，

　　所以原式之和一定是奇数。

例2：某校五年级学生参加区数学竞赛，试题共40道，评分标准是：答对一题给3分，答错一题倒扣1分.某题不答给1分，请说明该校五年级参赛学生得分总和一定是偶数。

[解题招术]    

    对每个学生来说，40道题都答对共得120分，是个偶数.如果答错一道，相当于从120分中扣4分.不论答错多少道，扣分的总数应是4的倍数，即扣偶数分，从120里减去偶数.差仍是偶数。同样，如果有某题不答，应从120里减去（3-1）分.不论有多少道题没答，扣分的总数是2的倍数，也是偶数。所以从120里减去偶数，差仍是偶数。因此，每个学生得分数是偶数，那么全年级参赛学生得分总和也一定是偶数；

[小试身手]    

（1）①自然数中，前10个奇数之和是偶数还是奇数？

②自然数中，前11个奇数之和是偶数还是奇数？

      ③前100个自然数的和是奇数还是偶数？

（2）元旦前夕，同学们相互送贺年卡.每人只要接到对方贺年卡就一定回赠贺年卡，那么送了奇数张贺年卡的人数是奇数，还是偶数？为什么？

（3）张师傅因工作忙，六天没回家，回家后一次撕下这六天的日历，这六天日的数字相加的和是63，问张师傅回家这天是几号？

（4）1+2×3+4×5+6×7+……+100×101的和是奇数还是偶数？

（5）有的电影院的座位号码是单号与单号相邻，双号与双号相邻。

①一个人拿了三张单号的电影票，这三个号码相加之和等于9，问这三个座位分别是几号？

②若三张号码相加之和等于15呢，三个座位各是几号？

③若三张号码相加之和等于21呢，三个座位各是几号？

（6）三个连续偶数的和比其中最大的偶数大18，这三个连续偶数分别是多少？

（7）桌上有9只杯子，全部口朝上，每次将其中6只同时“翻转”.请说明：无论经过多少次这样的“翻转”，都不能使9只杯子全部口朝下。

（8）在8至2008这些自然数中，从奇数与偶数中各取一个数相加，可以得到多少个不相同的和?

[挑战自我]    

（9）有100个自然数，他们的和是10000，其中这些自然数中奇数的个数比偶数多，问：偶数至少有多少个？

（10）假设n盏有拉线开关的灯亮着，规定每次拉动（n-1）个开关，能否把所有的灯都关上？请证明此结论，或给出一种关灯的办法。

（11）如下页图，从起点始，隔一米种一棵树，如果把三块“爱护树木”的小牌分别挂在三棵树上，那么不管怎样挂，至少有两棵挂牌的树，它们之间的距离是偶数（以米为单位），这是为什么？

（12）某学校一年级一班共有25名同学，教室座位恰好排成5行，每行5个座位.把每一个座位的前、后、左、右的座位叫做原座位的邻位.问：让这25个学生都离开原座位坐到原座位的邻位，是否可行？

（13）能否用1， 2， 3， 4， 5， 6六个数码组成一个没有重复数字，且能被11整除的六位数？为什么？

[训练一得]    

灵活运用奇数与偶数的5条性质，我们可以巧妙地解决许多实际问题。

附：本专题参：（1）①偶数，②奇数，③偶数；（2）偶数；

（3）题目告诉我们，张师傅撕下的六张日历的日期数字之和是63，而日历上的连续6天在数学上就是六个连续的自然数，因此，原题目换一种表达方式就是：已知六个连续自然数的和是63，问比这六个自然数中最大的一个数多1的数是几。六个连续自然数的和是63，则中间两个数相加的和是63÷3＝21，中间两个数为连续自然数，则小的那个数是（21－1）÷2＝10，大的那个数就是21－10＝11，那么这六个数分别为8，9，10，11，12，13，最大的那个数为13，可知张师傅回家那天是14号；

（4）我们仔细观察题中已给的式子，就会发现，从第2个加数起，每个加数为两数之积，而且其中有一个因数为偶数，所以从第2项起的每个加数为偶数，这样从第二项起的总和为偶数。又因为第一个加数为奇数，根据“奇数+偶数=奇数”可知，整个式子的最后结果是奇数；

（5）① 1  3  5   ② 3  5  7  ③ 5  7  9；

（6）“三个连续偶数的和比其中最大的偶数大18”的含义实际就是较小的两个连续偶数的和是18。而连续偶数之间相差2，因此：较小的两个连续偶数为18÷2-1=8 18÷2+1=10 所以这三个连续偶数为8 10 12；

（7）要使一只杯子口朝下，必须经过奇数次“翻转”，要使9只杯子口全朝下，必须经过9个奇数之和次“翻转”，即“翻转”的总次数为奇数.但是，按规定每次翻转6只杯子，无论经过多少次“翻转”，翻转的总次数只能是偶数次.因此无论经过多少次“翻转”，都不能使9只杯子全部口朝下；

（8）最小的和是8+9=17，最大的和是2008+2007=4015，这些不同和的个数即是17至4015中所有的奇数的个数，即8+9=17，2008+2007=4015，（4015-17）÷2+1=2000（个）；

（9）假如这100个自然数都是奇数。100个奇数的和是偶数（其和是10000），而这个题目中强调“奇数比偶数多”，说明肯定有偶数，不可能没有偶数；2、假如有1个偶数，那么奇数是99个； 99个奇数的和该是奇数而（99个奇数的和）这个奇数+1个偶数，其和必定是奇数，不可能是10000（偶数）3、假如有2个偶数，那么奇数是98个；98个奇数和该是偶数而（98个奇数的和）这个偶数+2个偶数，其和必定是偶数，而这100个自然数的和是10000（偶数）。所以，至少有2个偶数。

（10）当n为奇数时，不能按规定将所有的灯关上。

　　因为要关上一盏灯，必须经过奇数次拉动它的开关。

　　由于n是奇数，所以n个奇数的和=奇数，

　　因此要把所有的灯（n盏）都关上，拉动拉线开关的总次数一定是奇数。

　　但因为规定每次拉动n-1个开关，且n-1是偶数，

　　故按规定拉动开关的总次数一定是偶数。

　　∵奇数≠偶数，

　　∴当n为奇数时，不能按规定将所有灯都关上。

　　当n为偶数时，能按规定将所有灯关上.关灯的办法如下：

　　设灯的编号为1，2，3，4，…，n.做如下操作：

　　第一次，1号灯不动，拉动其余开关；

　　第二次，2号灯不动，拉动其余开关；

　　第三次，3号灯不动，拉动其余开关；

　　…

　　第n次，n号灯不动，拉动其余开关.这时所有的灯都关上了；

（11）任意挑选三棵树挂上小牌，假设第一棵挂牌的树与第二棵挂牌的树之间相距a米，第二棵挂牌的树与第三棵挂牌的树之间相距b米，那么第一棵挂牌的树与第三棵挂牌的树之间的距离c=a+b（米）（如下图），如果a、b中有一个是偶数，题目已得证；如果a、b都是奇数，因为奇数+奇数=偶数，所以c必为偶数，那么题目也得证；

（12）为了便于分析，我们可借助于下图，且用黑白染色帮助分析。

　　我们把每一个黑、白格看作是一个座位.从图中可知，已在黑格“座位”上的同学要换到邻座，必须坐到白格上；已在白格“座位”上的同学要换到邻座，又必须全坐到黑格“座位”上.因此，要使每人换为邻座位，必须黑、白格数相等。从上图可知：黑色座位有13个，白色座位有12个，13≠12，因此，不可能使每个座位的人换为邻座位；

（13）不能。因为1＋2＋3＋4＋5＋6＝21，如果能组成被11整除的六位数，那么奇数位的数字和与偶数位的数字和一个为16，一个为5，而最小的三个数字之和1＋2＋3＝6＞5，所以不可能组成。

第十册思维训练专题（四）   分解质因数解决问题

一个自然数的因数中，为质数的因数叫做这个数的质因数。

把一个合数，用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。例如：24＝2×2×2×3，75＝3×5×5。

把一个数分解成质因数相乘的形式，能启发我们寻找解答许多难题的突破口，从而顺利解题。

例1：四个自然数的积是360，求这四个自然数。

[解题招术]    

由于这四个自然数的积是360，那么，这四个数所包含的所有的质因数就是360作含有的质因数。因此，把360分解质因数，再把这些质因数分成四组，使这四组质因数的积成为四个连续的自然数就行了。

360＝2×2×2×3×3×5

   ＝3×（2×2）×5×（2×3）

答：这四个自然数是3、4、5、6

例2：将下面八个数平均分成两组，使这两组数的乘积相等。

[解题招术]    

14＝2×7             55＝5×11

24＝2×2×2×3       56＝2×2×2×7

27＝3×3×3          99＝3×3×11

可以看出，这八个数中，共含有八个2，六个3，二个5，二个7和二个11。因为要把这八个数分成两组，且积相等，所以，每组数中应含有四个2，三个3，一个5，一个7和一个11。经排列为（5、99、24、14）和（55、27、56、2）

[小试身手]    

（1）有一个长方体，它的长、宽、高是三个连续的自然数，且体积是39270立方厘米，求这个长方体的表面积。

（2）四个连续奇数的积是3465，求这四个数。

（3）在□填上合适的数字，使等式成立。

□□×□□＝322

（4）47÷（  ）＝（  ）……7，在括号内填入适当的数，使等式成立，共有几种不同的填法？

（5）把3、5、9、10、22、33这六个数平均分成两组，使每组里三个数的乘积相等。

（6）把30、33、42、52、65、66、67、78、105九个数分成三组，使每个组的数的乘积相等，写出这三组数。

（7）王老师带领一班同学去植树，学生恰好分成4组，如果王老师和学生每人植树一样多，那么他们一共植了539棵。这个班有多少学生？每人植树多少棵？

（8）下面的算式里，□里数字各不相同，求这四个数字的和。

□□×□□＝1995

[挑战自我]    

（9）在下面算式的框内，各填入一个数字，使算式成立。

□□□×□＝1995

（10）有三个学生，他们的年龄一个比一个大3岁，他们三个人年龄数的乘积是1620，这三个学生年龄的和是多少？

（11）三个质数的和是80，这三个数的积最大可以是多少？

（12）小明用2.16元买了一种画片若干张，如果每张画片的价钱便宜1分钱，那么他还能多买3张。问小明买了多少张画片？

（13）一个文具店出售每枝5角的铅笔，很少有人买。于是，文具店把这种铅笔降价售出，结果库存的这种铅笔全部卖光，共卖得31.93元。这个文具店库存的这种铅笔多少枝？每枝降价多少元？

[训练一得]    

掌握并灵活运用分解质因数的知识，能解答许多一般方法不能解答的与乘积有关的应用题。

附：本专题参：（1）39270＝2×3×5×7×11×17＝33×34×35；

（2）5，7，9，11；（3）23×14＝322；（4）47－7＝40    40＝1×40＝2×20＝4×10＝5×8 有4种不同的填法；（5）（5、9、22）和（3、10、33）；

（6）（42、65、66）、（52、33、105）、（30、77、88）；（7）539＝7×7×11 有48（49－1）个学生、每人植11棵 ；（8）1995＝3×5×7×19在35×57＝1995和21×95＝1995中取21×95＝1995 这四个数字的和是2＋1＋9＋5＝17；

（9）665×3＝1995；（10）1620＝2×2×3×3×3×3×5＝9×12×15  9＋12＋15＝36（岁）；（11）三个质数相加的和是偶数，必定有一个质数是2，则另两个质数的和是78，要使它的积最大，应使这两个质数的差尽可能的小，只能是37和41，2×37×41＝3034；（12）216＝2×2×2×3×3×3＝8×27＝9×24，小明买了24张画片；（13）3193＝31×103 铅笔103枝 降价后每枝售价0.31元（降价0.19元）。