辽宁省葫芦岛市第一高级中学2015-2016学年高二上学期期初考试数学(文)试题

2015-2016学年度上学期高二期初考试

数学（文科）试题

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，总计60分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合P＝{y|y＝()x，x>0}，Q＝{x|y＝lg(2x－x2)}，则(∁RP)∩Q为 (　　)

A．[1,2)   B．(1，＋∞)  C．[2，＋∞)  D．[1，＋∞)

2.已知，均为单位向量，它们的夹角为，那么|＋3|＝        (　　)

A.      B.   C.      D．4

3.将函数y＝sin(2x＋)的图象向左平移个单位，再向上平移2个单位，则所得图象的一个对称中心是                                           (　　)

A. (，2)   B. (，2)  C. (，2)   D. (，2)

4.一个四棱锥的三视图如图所示，其左视图是等边三角形，该四棱锥的体积等于（    ）

A.       B.       C.       D.

5.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知

cos(A－C)＋cosB＝1，a＝2c，则C＝       (　　)

A.或    B.   C.或   D. 

6.若函数是上的单调函数,则实数的取值范围是（  ）

A.[0,2)   B.(,2)   C.[1,2]   D.[0,1] 

7.已知α∈R，sinα＋2cosα＝，则tan2α＝                    (　　)

A.    B.    C．－   D．－

8.若两个正实数x，y满足＋＝1，并且x＋2y>m2＋2m恒成立，则实数m的取值范围是                                                           (　　)

A.(－∞，－2)∪[4，＋∞) B.(－∞，－4]∪[2，＋∞)  C.(－2,4)  D.(－4,2)

9.定义在R上的函数满足，且时，，则                                    （    ）

A．1      B．       C．     D．

10.在圆x2＋y2＝10x内，过点(5,3)有n条长度成等差数列的弦，最短弦长为数列{an}的首项a1，最长弦长为an，若公差d∈(，]，那么n的取值集合为(　　)

A．{4,5,6}   B．{6,7,8,9}   C．{3,4,5}   D．{3,4,5,6}

11.已知a>0,x、y满足约束条件,若z＝2x＋y的最小值为,则a＝                                                            (  　)

A.     B.    C．1    D．2

12.已知数列{an}满足：a1＝1，an＋1＝(n∈N*)．若bn＋1＝(n－λ)(＋1)(n∈N*)，b1＝－λ，且数列{bn}是单调递增数列，则实数λ的取值范围为       (　　)

A.λ>2   B.λ>3    C.λ<2    D.λ<3

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，总计20分.

13.计算：－4cos10°＝________.

14.定义一种运算：(a1，a2)⊗(a3，a4)＝a1a4－a2a3，将函数f(x)＝(，2sinx)⊗(cosx，cos2x)的图象向左平移n(n>0)个单位长度所得图象对应的函数为偶函数，则n的最小值为________．

15.在等比数列{an}中,若a5＋a6＋a7＋a8＝,a6a7＝－,则＋＋＋＝______.

16.已知G是△ABC的重心，直线EF过点G且与边AB、AC分别交于点E、F，＝α，＝β，则＋＝________.

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.(本小题满分10分）

已知以点P为圆心的圆经过点A(－1,0)和B(3,4)，线段AB的垂直平分线交圆P于点C和D，且|CD|＝4.

(1)求直线CD的方程；(2)求圆P的方程．

18.(本小题满分12分）

已知α、β都是锐角，且sinβ＝sinαcos(α＋β)．

(1)当α＋β＝，求tanβ的值；

(2)当tanβ取最大值时，求tan(α＋β)的值．

19.(本小题满分12分）

如图所示，四边形ABCD为矩形，AD⊥平面ABE，AE＝EB＝BC＝2，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE.

(1)求三棱锥D－ACE的体积；

(2)设M在线段AB上，且满足AM＝2MB，则线段CE上是否存在一点N，使得MN∥平面DAE?

20.(本小题满分12分）

已知向量＝(sin2x＋，sinx)，＝(cos2x－sin2x,2sinx)，设函数f(x)＝·，x∈R.

(1)求函数f(x)的最小正周期；

(2)若x∈[0，]，求函数f(x)的值域．

21.(本小题满分12分）

已知△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，其中a＝2，c＝.

(1)若sinC＝，求sinA的值；

(2)设f(C)＝sinCcosC－cos2C，求f(C)的取值范围．

22.(本小题满分12分)

已知点是函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)的图象上一点，等比数列{an}的前n项和为f(n)－c，数列{bn}(bn>0)的首项为c，且前n项和Sn满足Sn－Sn－1＝＋(n≥2)．

(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；

(2)若数列前n项和为Tn，问使Tn>的最小正整数n是多少？

2015-2016学年度上学期高二年级期初考试数学（文科）参

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，总计60分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

1.A 2.C 3.C 4.A 5.B 6.B 7.C 8.D 9.C 10.A 11.A 12.C

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，总计20分.

13.  14.  15.－  16.3

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.(本小题满分10分）

解：(1)直线AB的斜率k＝1, AB的中点坐标为(1,2)．则直线CD的方程为y－2＝－(x－1)，即x＋y－3＝0.……4分

(2)设圆心P(a，b)，则由点P在CD上得a＋b－3＝0.①

又∵直径|CD|＝4，∴|PA|＝2，∴(a＋1)2＋b2＝40.②……6分

由①②解得或∴圆心P(－3,6)或P(5，－2)．…8分

∴圆P的方程为(x＋3)2＋(y－6)2＝40 或 (x－5)2＋(y＋2)2＝40.……10分

18.(本小题满分12分）

解：(1)∵由条件知，sinβ＝sin，整理得sinβ－cosβ＝0，∵β为锐角，∴tanβ＝.……6分

(2)由已知得sinβ＝sinαcosαcosβ－sin2αsinβ，∴tanβ＝sinαcosα－sin2αtanβ，∴tanβ＝＝＝＝≤＝.……8分

当且仅当＝2tanα时，取“＝”号，∴tanα＝时，tanβ取得最大值，……10分  

此时，tan(α＋β)＝＝.……12分

19.(本小题满分12分）

解：(1)∵AD⊥平面ABE，AD∥BC.∴BC⊥平面ABE.

又AE⊂平面ABE，∴AE⊥BC.∵BF⊥平面ACE，AE⊂平面ACE，∴AE⊥BF，又∵BC∩BF＝B，∴AE⊥平面BCE.又BE⊂平面BCE，∴AE⊥BE.∴AB＝2，则点E到平面ACD的距离为，∴VD－ACE＝VE－ACD＝××2×2×＝.……6分

(2)存在这样的点．

如图所示，在△ABE中，过点M作MG∥AE交BE于点G，在△BEC中，过点G作GN∥BC交EC于点N，连接MN，则由比例关系易得CN＝CE.

∵MG∥AE，MG⊄平面ADE，AE⊂平面ADE，∴MG∥平面ADE.

同理，GN∥平面ADE，又GN∩MG＝G，∴平面MGN∥平面ADE.

∵MN⊂平面MGN，∴MN∥平面ADE.

∴点N为线段CE上靠近点C的一个三等分点．……12分

20.(本小题满分12分）

解：(1)∵cos2x＝2cos2x－1，∴m＝(sin2x＋，sinx)＝(1，sinx)，f(x)＝m·n＝cos2x－sin2x＋2sin2x＝1－cos2x－sin2x＝1－sin(2x＋)．

∴其最小正周期为T＝＝π.……6分

(2)由(1)知f(x)＝1－sin(2x＋),∵x∈[0，],∴2x＋∈[，],∴sin(2x＋)∈[－，1].∴函数f(x)的值域为[0，]．……12分

21.(本小题满分12分）

解：(1)由正弦定理得＝，∴sinA＝＝＝.……4分

(2)在△ABC中，由余弦定理，得c2＝b2＋a2－2bacosC，∴3＝b2＋4－4bcosC，即b2－4cosC·b＋1＝0，……6分

由题知关于b的一元二次方程应该有解，

令Δ＝(4cosC)2－4≥0，得cosC≤－(舍去)或cosC≥，∴0∴f(C)＝sin2C－＝sin(2C－)－(－<2C－≤)，∴－122.(本小题满分12分)

解：(1)∵点是函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)的图象上一点，∴f(1)＝a＝.

已知等比数列{an}的前n项和为f(n)－c，则当n≥2时，an＝[f(n)－c]－[f(n－1)－c]＝an(1－a－1)＝－.{an}是等比数列，∴{an}的公比q＝.∴a2＝－＝a1q＝[f(1)－c]×，解得c＝1，a1＝－.故an＝－(n≥1)．……4分

由题设知{bn}(bn>0)的首项b1＝c＝1，其前n项和Sn满足Sn－Sn－1＝＋(n≥2)，由Sn－Sn－1＝＋⇒－＝1，且＝＝1.∴{}是首项为1，公差为1的等差数列，即＝n⇒Sn＝n2.

∵bn＝Sn－Sn－1＝2n－1(n≥2)，又b1＝1＝2×1－1，故数列{bn}的通项公式为：bn＝2n－1(n≥1)．……8分

(2)∵bn＝2n－1(n≥1)，∴＝.

∴Tn＝＝＝.

要Tn>⇔>⇔n>＝111，故满足条件的最小正整数n是112.……12分