基于扩展杜能模型的个体城市空间发展的经济学分析

发展的经济学分析

孟祥林

(华北电力大学人文学院,河北保定071003)

摘　要:杜能模型解决了均质区域内以城市为中心由内向外的空间变化过程,但是没有论述城市发展过程中的非均衡扩展问题。事实上,距离城市中心不同区位各种生产要素的组合状态、相互替代状态以及意愿的布局数量等都会因为总收益的水平而有很大的不同,进而影响着城市特别是影响域内的不同区位以不同状态向外扩展。为此,传统的杜能模型需要进行扩展,在原始模型的基础上加入偶然成本以及影响城市扩展的摩擦因子以对其进行完善,以便解释摩擦因子的不同强度对城市扩展的不同影响。新模型系统地论述了差异影响下个体城市自中心向外缘扩展的微观经济学机理。计算分析表明,扩展杜能模型中收益对距离的二阶导数为正数,这说明以经济核为中心向外延伸的经济行为存在收益最小点,这个最小点就是个体城市扩展的最远边界,在数值上等于净价格与运费的商。

关键词:杜能模型;个体城市;空间发展;经济学分析

中图分类号:F016　　　文献标识码:A　　　文章编号:100827699(2009)0420046210

Economic Analysis of Individual U rban Spatial Development

B ased on Supplemental Thunen Model

M EN G Xiang2lin

(School of H umanities&S ocial S cience,N ort h China Elect ric Power Uni versit y,B aoding,Hebei071003,China)

Abstract:Thunen Model explains in a spatial economic manner the expansion procession of a city f rom centre to the margin areas,but the question of uneven development procession for a city remains unresolved.Actually,as the total revenue produces decisive influence on the combination,substitution and quantity of different factors at certain location,which can f urther exert crucial impaction on urban expansion,the characteristics of urban expansion to the margin areas are not the same at different locations.In order to interpret the impact f rom different intensity of friction factors on urban development,a new model is developed by adding incidental cost and friction factors to the traditional Thunen Model.The new model systematically studies the microeconomic dynamics of individual urban expansion to the margin areas under different impactions.Analysis indicates that the second differential coefficient for rent to distance in supplemental Thunen Model is a positive number,which in turn shows that income minimum, being equal to the quotient of net price to f reightage,exists for economic extension to margin areas,and becomes the farthest borderline for a city.

K ey w ords:Thunen Model;individual urban;spatial development;economic analysis

一、前言和文献回顾

传统的杜能模型研究了单一均质地域内经济行为由核心地区(CBD)向周围地区的延展过程,其中抽象

收稿日期:2009205226

基金项目:河北省科学技术研究计划项目(074572184)

作者简介:孟祥林(19692),男,河北保定人,华北电力大学人文学院教授,硕士生导师,经济学博士.掉了很多干扰因素,所以只能是一个抽象的理论模型,对于现实中经济行为由中心区域向外围扩展过程中的

非均质化现象不能做出很好的解释。所以有必要对杜能模型进行扩展,在原有模型的基础上加入干扰因素,

以使研究结论更加符合非均匀地域经济行为的一般过程。在研究中,主要对原有的杜能模型进行了如下扩

展:将原有的科布2道格拉斯函数的常数A变化为随距离变化的变常数,即A是r的函数;在原有函数的基

础上增加了偶然因素V,并且V是r的函数;将劳动力L和资本K视为r的函数。对L、K和V分别增加摩

擦强度系数ψ、ζ和ξ,以示在不同距离处L、K、V由于干扰因素而形成的不同结果。加入了如上诸多参数之

后的杜能模型在解释特定区域内经济行为非均匀变化的过程就更加具有说服力。城市化进程中城市体系发

展中出现的串珠状模式、多角化模式、轴扇不对称以及斑块镶嵌状的发展格局[1]均具有很好的论证。

杜能理论是特定时代的代表,除了杜能外还有更多学者对区域经济发展的机制进行了多侧面研究,这些

理论都可以成为城市化理论的奠基之作。西方学者关于城市的产生及其空间经济变化过程的研究已经取得

了比较丰富的研究成果。在研究中,分析视角逐渐从城市的产生转变到城市规模扩展上来,更多人开始关注

城市发展变化的经济学机理,大家开始更多地将经济学分析方法应用到分析空间问题上来,研究主要侧重于

两个方面:其一是关于聚集经济作用下的城市经济增长和影响范围的理论分析[2],主要代表是Martin J.

Beckman,在分析中用到的主要方法是将区位选择理论与Christaller的中心地理论结合起来,考察了建立在劳动分工基础上的城市聚集规模与周围腹地的经济影响关系[3],此外还有韦伯通过工业布局理论研究的区域内经济行为的布局分异规律[4]。其二是对聚集效应影响下城市增长路径的分析,主要代表是Baumol的累积性非均衡增长模型,用该模型分析聚集经济与聚集不经济给城市增长带来的累积式影响。[5]研究中除了

侧重城市土地利用外,还研究城市内部市场空间、社会空间和感应空间等,代表理论有胡佛用生产费用方法

对城市产生过程的研究,该理论指出随着市场地域的扩大,由于规模经济带来了生产费用的降低,但在一定

地域内生产过度集聚就会出现规模不经济,生产费用将再次上升。[6,7]诸多文献表明学者们开始不满足于描

述性的研究,而是开始将大量的数量经济学方法引入研究过程,这方面的最早文献要追溯到杜能在其1826

年发表的《孤立国对于农业及国民经济之关系》中提出的农业区位论,采用“孤立化的方法”,只探讨一个要素

的作用,即不考虑所有自然条件的差异,只考察在一个均质的假想空间内农业生产方式的配置与距离城市的

关系。[8]Niedercon构造了一个指数函数表达式来说明随城市半径变化的地租变化规律。[9]20世纪60年代阿郎索(Alo nso)通过分析土地成本和区位成本对居住区分布形态的影响,指出不同地价导致不同的土地利

用,地价是形成土地空间结构的基本因素。[10]1991年和1995年,麻省理工学院连续出版了克鲁格曼的《地理《发展、地理和经济理论》,1999年又出版了《空间经济:城市、区域和国际贸易》。这些力作建立了和贸易》、

严紧而精致的空间模型,丰富了城市研究方面的研究成果。学者们除了从宏观方面研究城市的发展,还从个

体方面研究城市规模的测定:比较常用的单指标测定有城区人口密度、居住密度、就业密度以及城市扩展的

用地面积等[11],认为测定城市扩展的方法必须具备客观性、性以及可推广性等[12]。J.Vernon Hender2

son(1988)为了考察城市产生和规模发展的机理建立了一个一般均衡模型,认为个体城市模型的建立需要考虑三个要素:生产、消费和地方行为。[13]这方面的主要文献包括:克里斯塔勒在《德国南部的中心地》中提出的中心地理论,提出了城市空间发展的基本规则[14];勒施认为城市群在空间内的发展遵循正六边形原则[15];保罗・克鲁格曼创建了以新区位理论(New Location Theory)为核心的空间分析框架[16]。在分析方法上新区位理论对生产和消费递增的引进深化了以标准阿罗2德布鲁(Arrow2Debrew)模型为代表的新古典主义竞争性均衡的空间分析范式。[17]

在综合如上文献的基础上,本文着力构建个体城市由中心区域向外围扩展的微观经济学机制,在方法上

以杜能模型为切入点,对传统的杜能模型进行完善,引入新的变量并借助微观经济理论展开分析,使得研究

结论进一步细化,力争使研究结论在一定程度上能为城市化进程中的核心2外围分析框架提供参考。

二、杜能模型及其扩展

杜能模型研究的农业经营行为依托经济核心的环状分布规律,并没有涉及城市的发展过程,但杜能模型

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2009年8月Vol.11No.4Aug.2009

很好地说明了农户在特定收益水平下在距离城市中心特定位置上的布局问题,农户经营行为的这种区位偏好正是城市在空间上成长对其自身利益的诱导过程。杜能考虑的完全是空间和距离对收益的影响进而导致经济行为人理性选择的问题。杜能的农业区位论以及在其基础上发展的土地竞标地租理论成为现代空间微观经济学的核心组成部分。杜能在1826年出版的《孤立国同农业和国民经济的关系》一书中系统地介绍了他的农业区位论的理论模式。在其研究中,有几个基本假定:1)在大平原的有一个城市与周围的农业带组成一个孤立的地区。该区位于中纬度地区,具有同样适宜的气候和肥沃的土壤,适宜作物生长。在这个平原以外没有适合耕种的土地,只有荒原,荒原与外部世界相隔绝从而使该城市成为一个孤立国,这是“孤立国”形成的起码条件。2)“孤立国”没有河川,马车是产品唯一的运输条件(这一点排除了地租变化由交通技术进步带来的干扰)。3)农村除同中心城市外与其他任何市场没有联系,即中心城市是农产品贩卖的唯一中心,也是工业产品的唯一供应地(这一点保证了产品只能按照某个方向进行扩散而不是反过来,进而也保证了个体城市扩展过程的方向性)。4)农民生产的动力是获得最大的区位地租即纯收益,经营过程中可根据市场的供求关系调整产品的种类(这一点保证了农民经济行为唯一诱导因素是地租水平)。5)市场的农产品价格、农业劳动者工资、资本的利息都假设不变(这一点排除了影响农户区位选择的其他因素)。6)运输费用同运输的重量和距离成正比,且由农业生产者负担(运费变化的规律性保障了农户区位选择的可预期性)。在杜能模型中,城市位置是给定的,要讨论的根本问题是距离(即农业产地与中心城市或市场的距离)如何影响土地上每种商品的产量、劳动力利用强度和租金。

传统杜氏理论的建立分两步:首先构造各个经营门类的竞标地租,即某一农场的经营者为了租借某一块土地从事某种农业生产而必须支付的租金。其次是将各种农业经营门类的竞标曲线纳入一个体系进行比较。在前三个假定不变的情况下,为了研究问题方便,还假定劳动力可以自由流动,并且充分就业,人口全部居住在城市内,土地为农场主经营,不存在联合生产和外部不经济的可能性,劳动的工资率为W ,资本的利息率是I 。

杜氏理论可以为劳动力分布以及个体城市成长过程中要素聚集的区位选择提供参考。该理论提供了收益变化随距离变化的一般规律,从而折射出投资随距离变化的规律,由此决定了资源在距离中心区域的不同位置上的布局。假设农户可供选择经营的农产品有n 种,第i 种农产品的柯布2道格拉斯生产函数是[18,19]:

Z i =A i L αi

K βi M i 该假设中认为A i 是一个不变的常数,并且只有L i 和K i 对经济过程产生影响。笔者在此基础上建立了扩展的杜能模型,模型认为A 不是固定不变的,而应该是r 的函数,所以原模型中的A 变为A (r )。同时考虑到经济过程中会存在更多的偶然因素使经济过程发生偶然成本(这些偶然成本包括不适合市场需求时由于产品浪费所造成的成本增加、为迎合消费者的新需求而捕捉市场机会形成的机会投入),距离城市中心不同区位上由于市场机会不同而形成的机会成本等多种因素的影响。在这样的思路下引入 V (r )i ,即在距离市中心地方r 处生产产品的随机投入,E 为偶然要素成本变化率,该变量是可能造成其他成本产生的机会变量,笔者在后文中将其定义为偶然成本,并且考虑L 和K 都是r 的函数,扩展后的杜能模型变化为:

Z ( L , K , V ,r )i =A (r )i L (r )αi K (r )βi V (r )γ

i M i 公式中 Z i 是产量,A (r )i 是影响产量的变常数系数,随r 的增大而减小,即距离城市中心越远对产量形成的影响越小。在传统的杜能模型中认为A 为常数,但笔者认为这个常数应该是距离城市中心特定范围时以及劳动、资本、土地等要素及其组合已经确定情况下才相对固定。研究成果表明,在距离城市中心的不同地点,参与生产过程的各种要素之间的组合状态会有很大的不同,A 可以认为是随r 变化的变化常数而不是固定常数,这是由各种生产要素在距离城市中心不同区位上参与生产过程的竞争状态、为达到收益最大化而

呈现的不同替代状态以及要素愿意在该区位上布局的意愿等多种因素决定的。5A (r )i 5r

<0, L (r )i 是随r 变化的劳动投入量, K (r )i 是随r 变化的资本投入量, V (r )是随r 变化的偶然要素投入量。 M i 是土地的投入

孟祥林

基于扩展杜能模型的个体城市空间发展的经济学分析49　Journal of Shandong University of Science and Technology

S o c i a l S c i e n c e s

量,α、

β、γ是常数,且都是小于1的正数且其和等于1。扩展的杜能模型在于考察在变化的A (r )及偶然投入V (r )的影响下要素影响城市扩展的规律。在土地的总量给定且单位土地面积上的资本和劳动的投入量都给定的情况下,就可以有如下表达式成立:

Z i =Z (r )i M i , L i =L (r )i M i , K i =K (r )i M i , V i =V (r )i M i

Z i 是单位面积的土地上第i 种产品的产量,L i 和K i 分别是单位面积上劳动和资本的投入量,可以得到第i 种农作物的生产函数为:

Z (L ,K ,V ,r )i =A (r )i L (r )αi K (r )βi V (r )γi

α+β+γ=1

(1)通过该公式可以描述单位面积土地上各类农产品的投入与产出之间的关系(这个函数在传统假设的基

础上增加了变常数系数以及偶然成本,由此使得影响产量的总投入因素由两个变为三个)。三、个体城市空间扩展过程的多因素影响分析

土地的经营过程即农户的投入产出分析过程,为了考虑问题方便起见,可以将农户的收益视为产品的销售价格扣除运费、劳动力成本、筹投资成本以及其他偶然成本之后的余额,并且在完全竞争市场条件下考虑农户的经营行为。由于每一位农民都是理性的,因此都会最大化其单位土地上所能获得的收益,完全竞争条件下,作为既定价格接受者的农民在区位r 的单位土地上从事i 种生产活动所获得的收益可以通过其对产量抉择以及其他各种投入总量的比较获得。记P 1,P 2,…,P i 分别是i 种农产品的市场价格,设t i 是运输第i 种单位产品在单位距离上的运输成本,r 是产地与市场的距离。为了将问题做扩展分析,本文引入摩擦强度

概念,即随距离城市中心距离的增加阻碍L 、K 和V 减小的强度,规定V 的偶然成本摩擦强度为ξ

(ξ>1),且令L 、K 产生的就业摩擦强度、投资摩擦强度分别为ψ(ψ>1)和ζ(ζ>1),且ξ、

ψ和ζ都是r 的函数,一般情况下d ψ/d r >0,d ξ/d r >0,d ζ/d r >0。根据这样的假设,农场主在距离市场r 处单位面积上经营i 种作物的利润函数为:

π(L ,K ,V ,r )i =(p i -t i r )Z i -ψW L (r )i -ζI K (r )i -ξEV (r )i (2)

该表达式即为资本和劳动力连续投入时农户可能获得的收益水平,该函数在实数范围内是连续的。公式中不同部分的含义为:第一项表示产量为Z i 的农产品在市场上的销售额除去运输费用后的所得,后三项分别是劳动成本、资本利息和偶然成本①。公式(2)表现的情况较原杜能模型而言,总收益曲线在坐标平面

内向下平移,移动的幅度与ξ、

ψ、ζ和V 的水平呈现正向变化关系。根据经济学原则,考虑问题的一般出发点是投资收益最大化,根据这一点,农场主投入的劳动L i 、资本K i 和偶然成本V i 应该使利润达到最大,这种利益选择的过程可以影响其经营行为进而影响个体城市规模的扩展状态。为弄清楚总收益π受L 、K 和V 的影响变化规律,可以通过对π分别求L 、K 和V 的偏导数得到收益最大化的L 条件、K 条件和V 条件,取5πi /5L (r )i =0,5πi /5K (r )i =0,5πi /5V (r )i =0有:

(P i -t i r )5Z (L ,K ,V ,r )i 5L (r )i

=ψW (3)(P i -t i r )5Z (L ,K ,V ,r )i 5K (r )i

=ζI (4)(P i -t i r )

5Z (L ,K ,V ,r )i 5V (r )i =ξE (5)应用:Z (L ,K ,V ,r )i =A (r )i L (r )αi K (r )βi V (r )γi

①土地经营过程中农户要选择怎样的经营模式以及在什么区位经营什么,要受到诸多条件的。这些条件中除了交通运输成本、筹资成本外,还有其他的多种偶然因素,如税收、附近相关服务设施的撤消、对土地用途的等,这些都会加大经营土地的成本,因为是一些不确定因素,所以本文将其造成的成本统称为偶然成本。

50

　第11卷第4期2009年8月Vol.11No.4Aug.2009

对公式(3)、(4)和(5)变形得到:(P i -t i r )αA (r )i L (r )α-1i K (r )βi V (r )γi =ψW

(6)(P i -t i r )βA (r )i L (r )αi K (r )β-1i V (r )γi =ζI

(7)(P i -t i r )γA (r )i L (r )αi K (r )βi V (r )γ-1i =ξE (8)

在这三个公式中,存在P i 、t i 、r 、A i 、L i 、K i 、V i 、

ψ、ζ、ξ等多个参数,其中t i 、ψ、ζ、ξ为已知,如果把P i ,r 固定记作P 3i 、r 3,且在r 固定时A (r )i 确定,这时式中只有L i 、K i 、V i 未知,所以可以联立三式求得唯一解,求得L i 、K i 和V i 的值,记作^L i 、^K i 和^V i 。

将(6)的两边除以(7),得:

αβ・K (r 3)i L (r 3)i =ψW ζI

(9)同样用(6)除以(8)、用(7)除以(8)得:αγ・V (r 3)i L (r 3)i =ψW ξE 和βγ・V (r 3)i K (r 3)i =ζI ξE

(10)由此可以得到K i 、L i 、V i 之间的比例关系,即资本与劳动、资本与偶然成本、劳动与偶然成本之间的比例关系,即:

K (r 3)i L (r 3)i =βα・W I ・ψζ;V (r 3)i L (r 3)i =γα・W E ・ψξ;V (r 3)i K (r 3)i =γβ・I E ・ζξ(11)

将这个结果代入(6)、

(7)、(8)得:(P 3i -t i r 3)α1-βββA (r 3)i L (r 3)α+β-1i

=I βW 1-βζβψ1-βV (r 3)-γi (12)(P 3i -t i r 3)γ1-αααA (r 3)i V (r 3)α+γ-1i

=W αE 1-αψαξ1-αK (r 3)-βi (13)(P 3i -t i r 3)β1-γγγA (r 3)i K (r 3)β+γ-1i =E γI 1-γξγζ1-γL (r 3)-αi (14)

即:L (r 3)α+β-1i =I βW 1-βζβψ1-βV (r 3)-γi (P 3i -t i r 3)α1-βββA (r 3)i (15)

V (r 3)α+γ-1i =W αE 1-αψαξ1-αK (r 3)-βi (P i -t i r )γ1-αααA (r )i (16)

K (r 3)β+γ-1

i =E γI 1-γξγζ1-γL (r 3)-αi (P i -t i r 3)β1-γγγA (r 3)i (17)根据上式可以分别求出^L (r 3)i 、^V i (r 3)、^K (r 3)i 。由公式(15)可以知道:r 3增大→A (r 3)i 和P i -t i r

3减小→I βW 1-βζβψ1-βV (r 3)-γi (P 3i -t i r 3)α1-βββA (r 3)i 增大,同时ζ和ψ对I βW 1-βζβψ1-βV (r 3)-γi (P 3i -t i r 3)α1-βββA (r 3)i

的影响也是同向变化的且ψ>1、ζ>1,即若ζ和ψ对I 和W 影响强度增大会导致L 的供给量增大(L (r 3)α+β-1i

在一定的城市域r 范围内的供给量增大),所以L i α+β-1是r 的严格递增函数。但α+β-1<0,所以^L i 是r 的减函数。由此可以得出结论,在总效用不变的情况下,随着距离的递增劳动力的利用强度是递减的;在劳动力边际效用递减的情况下,劳动力的使用数量必然随距离增加而减少,在个体城市外围空间扩展的过程中劳动力向外围扩展的力度逐

渐减小(W αE 1-αψαξ1-αK (r 3)-βi (P i -t i r 3)γ1-αααA (r 3)i 和E r I 1-γξγζ1-γL (r 3)-αi (P i -t i r 3)β1-γγγA (r 3)i

具有相同的变化规律)。这时由于ζ和ψ的影响会导致L 随r 在坐标平面内的变化曲线较原先更加陡峭,即使得L 的减小幅度更明显,相同经济扩展力的城市中心使城市向外扩展的能力更弱,城市边界范围更小。由于K i 、L i 和V i 任意两个变量之间成正比,所以^K i 和^V i 也是r 的严格减函数,进而^Z i 也是r 的严格减函数。这些都表明了随着区位不断远离市场,该区位

单位面积上的投入和产出随之减少。按照这样的思路,地租变化也会呈现同样过程。

①在^L i 、^K i 和^V i 都分别以r 表示的情况下,第i 种作物的地租函数就可以表示为一个关于r 的表达式,即:

①参考杨吾扬,梁进社.高等经济地理学[M ].北京:北京大学出版社,1997。

孟祥林

基于扩展杜能模型的个体城市空间发展的经济学分析51　Journal of Shandong University of Science and Technology

S o c i a l S c i e n c e s

R i =(p i -t i r )Z i -ψW L (r )i -ζI K (r )i -ξEV (r )i

即:

R i (r )=(P i -t i r )A (r )i ^L (r )αi ^K (r )βi ^V (r )γi (除去运费后的纯收益)

-ψW ^L (r )i -ζI ^K (r )i -ξE^V (r )i

(工资、投资以及偶然因素构成的成本和)(总纯收益)(18)

对(18)求关于r 的导数,得到:

d R i (r )d r

=-t i ^Z (L ,K ,V ,r )i +(P i -t i r )5^Z (L ,K ,V ,r )i 5L i -ψW (=0)・d ^L i d r -d ψd r +(P i -t i r )5^Z (L ,K ,V ,r )i 5K i -ζI (=0)・d ^K i d r -d ζd r +(P i -t i r )5^Z (L ,K ,V ,r )i 5V i

-ξE (=0)・d ^V i d r -d ξd r (19)

因为:

(P i -t i r )5Z (L ,K ,V ,r )i 5L (r )i

=ψW (20)(P i -t i r )5Z (L ,K ,V ,r )i 5K (r )i

=ζI (21)(P i -t i r )

5Z (L ,K ,V ,r )i 5V (r )i =ξE (22)所以有:

(P i -t i r )5Z (L ,K ,V ,r )i 5L (r )i

-ψW =0(23)(P i -t i r )5Z (L ,K ,V ,r )i 5K (r )i

-ζI =0(24)(P i -t i r )5Z (L ,K ,V ,r )i 5V (r )i

-ξE =0(25)根据前面的条件可以得出收益最大化的r 条件:-t i ^Z (L ,K ,V ,r )i +(P i -t i r )

5^Z (L ,K ,V ,r )i 5L i

-ψW (=0)・d^L i d r =d ψd r -t i ^Z (L ,K ,V ,r )i +(P i -t i r )5^Z (L ,K ,V ,r )i 5K i

-ζI (=0)

・d ^K i d r =d ζd r -t i ^Z (L ,K ,V ,r )i +(P i -t i r )5^Z (L ,K ,V ,r )i 5V i

-ξE (=0)

・d ^V i d r =d ξd r 即:d ψd r =d ζd r =d ξd r

该式表明,在城市外围扩展(类似农户经营行为的空间扩展过程)的某一点上能够实现边际运费摩擦强度、边际投资摩擦强度以及边际偶然摩擦强度相等时,经济实体在利益最大基础上实现短期均衡,而这一点也是伴随经济体向城市外围扩展进程中的短期城市边界,该点向各个方向的城市扩展力相同(如图1中的E 1点和E 2点分别对应的F 1点和F 2点在短期城市边界上沿各方向的扩展力都是相同的)。如图1表示了这个过程,城市扩展边界由边界1到边界2的过程就是d ψd r =d ζd r =d ξd r 状态逐渐调整的过程,这时的边界1和边界2分别对应着E 1和E 2的三要素的短期均衡。

根据(19)式,在(P i -t i r )5^Z (L ,K ,V ,r )i 5L i -ψW =0,(P i -t i r )5^Z (L ,K ,V ,r )i 5K i -ζI =0,(P i -t i r )5^Z (L ,K ,V ,r )i 5V i -ξE 的情况下,得:

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　第11卷第4期2009年8月Vol.11No.4Aug.2009图1　城市边界扩展与边界摩擦强度变化

d R i (r )d r =-t i ^Z (L ,K ,V ,r )i -d ψ+d ζ+d ξd r

(26)式中

d ψ+d ζ+d ξd r 的符号不能确定,d ψ+d ζ+d ξd r =0时得到杜能模型的d R i (r )d r

。现实中由于城市的不同方向以及不同范围内ξ、ψ和ζ的变化不一致,这也导致城市沿不同方向的扩张速度不同,在不同

半径范围内扩展速度不同,但是总的发展方向取决于ξ、ψ和ζ的强度对比,强度越大则由该因素导致的城市扩展能力越弱。但是一般认为随着城市外围空间的扩展要素迁移,摩擦系数会逐渐增大,即前文的

d ψ+d ζ+d ξd r >0,又因为t i ^Z (L ,K ,V ,r )i >0,所以有d R i (r )d r <0。但在此过程中由于d ψd r 、d ζd r 和d ξd r

的变化程度以及符号不一致,所以在城市发展的某些方向上或一定范围内有可能出现d R i (r )d r

>0,这就导致了城市发展中多核心的形成,这时会出现城市中由一个核心到另一个核心加速发展的空间扩展异常(这一点在哈里斯和乌尔曼的多核心城市构造模型中有论述),这些区域的地租水平很高并且聚集了高收益的商业实体。但一般情况下呈现d R i (r )d r

<0规律,该表达式表示了坐标平面上地租是距离的减函数,所以R i (r )随r 增加而减少,在坐标系中R i (r )是向右下方倾斜的曲线,该曲线越向左表示农户经济所波及范围越小,对于发展中的城市而言就是其规模较小。同时可以想象,距离经济中心区由于经济要素密集,向周围腹地延伸过程中每跨越一小段就会伴随一个明显的地租变化,而越向外围扩展,地租随距离的变化并不像原来那么明显,需要有更大的距离变化时才会伴随一个幅度不大的地租变化,地租的这种变化过程表明地租曲线凸向原点的向右下方倾斜的变化过程。

四、确定个体城市扩展边界的进一步分析

在上面的讨论结果中,将^L i 、^K i 和^V i 代入Z i 从而可以得到距离市场r 处单位土地上第i 种产品的最优产量,记作^Z i ,将^Z i 代入πi 可以确定在r 处经营i 种作物单位面积上的最大利润。

进一步,对(26)求r 的二阶导数,得到:

d R 2i (r )d r 2=-t i (5^Z i 5L i ・d^L i d r +5^Z i 5K i ・d ^K i d r +5^Z i 5V i ・d ^V i d r )-d ψ2+d ζ2+d ξ2d 2r (27)

根据前文有:5^Z i 5L i >0且d^L i d r <0,5^Z i 5K i >0且d ^K i d r <0,5^Z i 5V i >0且d ^V i d r

<0同时因为地域内ξ、

ψ和ζ存在随r 变化的最大值,在这一点上投资者不会有利润,所以有:d ψ2+d ζ2+d ξ2d 2r <0所以d R 2i (r )d r 2>0(28)公式(28)表明地租存在最小值(理论上这个最小值认为是0),即地域内依托核心城市成长的腹域有一个最远范围,这个最远范围就是城市成长的边界。计算表明这个最小值的城市边界为:

r =p i t i -^ψW L (^r )i +^ζI K (^r )i +^ξEV (^r )i Z i t i

其中^ψW L (^r )i +^ζI K (^r )i +^ξEV (^r )i Z

i 是产品单位产量上所分担的由工资、利息以及偶然成本所组成的成本,可以定义为p C ,所以城市延伸的最远范围为:

孟祥林

基于扩展杜能模型的个体城市空间发展的经济学分析53

　Journal of Shandong University of Science and Technology S o c i a l S c i e n c e s r =

p i -p c t i =p ′t i 式中p ′为产品的净价格,所以城市的最远扩展边界取决于产品的净价格p ′与运费率t ,在净价格既定情况下,t i 的降低可以使r 延伸得更远。

在土地经营中,实际情况是同一块土地会有众多不同的经营者租用,土地所有者会将其土地出租给出价最高的经营者,经营者会在各种作物之间进行比较,所以各种作物竞争的结果使得各区位的地租应该是:

R (r )=max i [(P i -h i r )^Z i -^ψW ^L i -^ζI ^K i -^ξE^V i ](29)

付出地租最高的土地使用者首先享有特定区位土地的使用权。这个方程实际上看就是所有作物的竞标曲线最高部分的包络,由此可以确定从城市边缘向外,在各个不同距离的地块上农作物经营的种类,则所有这些作物实际上形成了一个以城市为中心的环状分布,第i 种作物的市场供给是在各个区位上的产量的总和,如果第i 种作物的分布边界距离城市中心的距离为R ,如果R 是不连续的则可以将R 表示为

6∞m =0r m ,并且假定^Z i 在整个区域内的分布密度为^ρi ,则从数学上来看,这个供给量等于:

∫6∞m =0m

2πr^ρi (P i ,r )dr (30)

这个包络就决定了不同性质的资源在距离城市中心的不同距离上的分布状态,由此也就决定了资源在不同距离范围内的跳转机制,进一步决定了个体城市的空间边缘以及边缘的延伸或收缩动因。

根据扩展的杜能模型进一步分析,利润对商品价格的弹性不同会导致不同类别的企业选择布局在到中心经济不同的距离上,因为价格变化会导致城市沿同方向扩张,所以E RP >0。假如经济个体布局的区位既定,这时-W ^L i -I ^K i -E^V i 的值就可以确定,既然在这种情况下是一个常量,不妨设其为-C ,则地租对价格的弹性可以表示为:

E RP =ΔR i /R i ΔP i /P i =ΔR i ΔP i ・P i R i =ΔP i ・Z i ΔP i ・P i (P i -h i r )Z i -C

=

P i Z i

P i Z i -(h i r Z i +C )=1

1-(h i r Z i +C )/P i Z i

在上述公式中,由于(h i r Z i +C )/P i Z i 项中的各因子都是正数,又因为E RP >0,所以分母肯定是小于1的数,由此可知E RP >1,所以地租对特定区位上的商品的价格是富有弹性的,即当商品的价格提高时会导致更高水平的地租;反过来,高价格或高收益的商品一般均布局在高地租的区位上,城市中心布局的均是竞争力强和高收益率的商业实体。

对于(h i r Z i +C )/P i Z i ,肯定有P i Z i >h i r Z i +C ,当商品的产量Z i 数量足够大时,可以不考虑C ,于是就可以得到:

P i Z i >h i r Z i

即:P i /h i >r

这个公式中在h i 一定的情况下,r 足够小,不等式成立的依据就越强,这表明,高价位的产品总是布局在高租金的地方,而早期城市的这些区位上往往是距离经济中心(城市中心)很近的区位。相对价位不高、销售量也不大的商品一般选择远离经济中心的区位布局。

五、城市扩展的个案研究

(一)南京地价等值线空间分布与外围空间形态变化扩展

54

　第11卷第4期2009年8月Vol.11No.4Aug.

2009图2　南京地价等值线及其变化　　图2为南京的地价等值线分布,是根据南京城区不同地

点采样调查资料而得到的商业地价绘制而成的地价平面图。

具体做法是,首先在研究区域内选择尽量多的关键点,调查这

些关键点的地价,然后将相应的数值标注在地图上,然后用平

滑的曲线按照这些点的发展趋势连接成等值线。经过对调查

数据的筛选和取舍进行汇总归纳后的研究结果表明,地价样

点地价值基本上分布在150～1900元/m 2之间。为了更加清

晰地表现南京地价从市中心到周边地区的变化规律,笔者在

绘制地价等值线图时以150作为商业地价等值线分隔区间,

即在平面地价图上每隔150画出一个等值线,按照这样的设

计将整个地价水平分成200、350、500、650、800、950、1100、1250、1400、1550、1700和1850共12个等值线值,绘制商业地价样点图时,将与这12个等值线值相同或相近的地价样点连接在一起形成一条闭合的曲线,最终形成12条商业地价等值线。从等值线的空间分布看,南京的地价等值线在城市中心区比较密集,从市中心到边缘区逐渐变得稀疏,即从市中心区到城市边缘地带相同地价所能够涵盖的城区面积逐渐增大,这不但说明市区由内到外单位面积的土地所创造的产值在减小,也反映出市中心地区的地价对区位因子的反应强烈;到了远离市中心的区域,地价对区位因子的反应比较平缓,地价的变动幅度也相对减小,从而等值线的间隔也比较稀疏,这表明地价的分布有很强的向心性,地价的梯度由市中心到边缘也在减小。为了表现地价变化的这种趋势,笔者在图中加入了横轴和纵轴,横轴方向表示到城市中心的距离,纵轴方向表示地价水平,在坐标平面内分布的地价随距离变化的曲线为减函数曲线,这正好验证了杜能环理论、居民点布局的地租相关性以及个体城市发展中的地租衰减规律。不仅如此,研究表明住宅地价与商业地价的等值线存在着很大的不同,市中心区域商业地价的等值线不仅比住宅地价的等值线高而且分布也比住宅地价的等值线密,变化幅度也相对较大,随着距离市中心距离的增大,区位因子对各种类型用地地价影响越来越小,外围地区商业地价与住宅地价的等值线虽然有所不同,但密集程度和变化幅度都差不多。这表明,虽然商业区位选择与住宅区位选择在变化规律上存在诸多相似,但由于商业行为是盈利行为,而住宅选择是纯消费行为,所以商业行为的区位选择更主要的是考虑盈利水平,而高盈利一般与高地租是相伴随的,所以商业行为的区位布局主要选择在了地租相对高的市中心区域,这也导致南京市中心的商业布点与居民户布点存在了比较明显的区分,而越向市区外围发展,商业地价与居民户地价的差别越小,这时的商业选址与居民户选址的区分也就不是非常明显。这与扩展杜能模型分析中E RP 弹性分析所得结论完全吻合。

(二)北京环状扩展与沿廊道推进的空间形态变化

北京城的发展模式可以概括为以交通干线为轴的网络放射状成长模式,同心圆式蔓延、局部扇面式扩展、廊道式辐射、飞地式增长和粘合式填充等城市发展模式中的几种地域扩展方式在北京的城市扩展方式上几乎都有所表现,在不同时期、不同方位几种方式并存。城区的扩展呈规则的环状方式向周边扩展,在扩展方式比较规则的城市中心区之外存在若干以“飞地”或卫星城镇为中心的孤立城镇,包括西北部的昌平、南口,东北部的顺义、首都机场,南部的大兴和西南部的良乡。城市主要依托增长核心在点效应为主的条件下呈环状向外扩展。局部扇面方式的城市增长主要是依托交通廊道沿交通线向外呈辐射状增长,局部扇面扩展和廊道式辐射主要是廊道效应作用的结果,城区向外延伸的廊道主要有京昌路、京石高速公路、京津唐高速公路、京通线、机场路、立汤路等,这几条交通线成为城区向外延伸的主要轴线。随着中心市区与卫星城镇之间的用地比例的增加,中心市区和卫星城镇之间不断有新的中心填充进来,形成新的增长核心。核心之间、核心与廊道之间的粘合填充是点效应与廊道效应共同作用的结果。

北京的空间发展正在形成明显的圈层:第一层是以三环以内的市区为中心的内圈层,目前已经进入相对稳定发展期;第二层圈层是从四环到公路一环附近,伴随交通网络的完善,该区已经进入城郊化快速发展时

图3　北京市城市发展空间变化

期,目前为止,中圈层已经形成8个城郊化开发扇面(如图

3):清河2沙河扇面、北苑2小汤山扇面、望京2首都机场扇面、通

州扇面、亦庄2马驹桥扇面、南苑2黄村扇面、西客站2良乡扇面、

石景山2门头沟扇面;第三层是远郊区县。外圈层已经沿主要

廊道进入城郊化阶段,城郊化土地开发的主要廊道包括:京昌

高速公路廊道、机场高速路廊道、京通快速路廊道、京津塘高

速公路廊道、京开高速公路廊道和京石高速公路廊道。

与南京地价等值线的分布一样,北京的的圈层发展特点

也可以通过地价等值线的发展表现出来。从地价等值线图上

可以看出地价峰值区主要集中在二环附近的几个区域,在全市范围内基本呈现圈层式的结构形态,地价在空间分布上具有一定的连续性,地价由中心向外衰减的同时在部分地区出现突起,原因在于随着北京市城市建设的发展逐渐出现了一些住宅开发的热点地区,这些地区由于各种优势条件导致其地价远远超出周边地区,从而导致地价等值线分布不规则。不但如此,北京在城市发展过程中,市区地价的梯度比较大、衰减较快,郊区地价梯度比较小、衰减较慢。这与前文论及的地租空间衰减速度逐渐减弱的规律相一致。从整体上看,地价指向大都是由市区指向外围,在一些特殊区域会出现逆转或反向。地价的变化规律表现了北京城市未来的发展方向。

六、研究结论

个体城市的发展机理非常复杂,实际上很难通过一个简单的模型完全表达,但是从传统的杜能模型到扩展后的杜能模型,在很大程度上能更完善与合理地解释个体城市的发展机理,使得抽象的模型变得更加具体。扩展的杜能模型就是要初步建立起在各种干扰因素下接近实际情况的个体城市发展的一般过程,经过理论分析并结合上海、南京等城市外围空间扩展过程的研究可以得出如下研究结论:

1.腹地内经济自中心向外围的扩展过程总体上呈现围绕经济中心的环状等值线分布,这是杜能模型需要解释的。但在这样一个环形分布规律之下由于受到各种干扰因素的作用,遵循轴扇模式以及鸭蹼状态的不均匀扩展规律。南京地价等值线以及北京的城市空间扩展状态都可以论证该结论。扩展的杜能模型可以给出很好的解释。

2.劳动力L 、资本K 、偶然因素V 和摩擦强度等都在不同程度上影响着城市向外围空间的扩展轨迹和方式,在时空因素的不同组合状态下城市发展表现出的状态不同。所以或者厂商可以通过行为组合方式影响城市的发展进程和布局,使城市向成本节约和更加有益于社会经济的方向发展。

3.在各种组合因素的影响下,不同成长基础的城市存在一个最佳城市规模,这是城市体系建设中城市等级划分的基础,在干预下按照不同等级城市发展的最远点合理布局城市,使得城市影响的腹地能够很好地衔接,从而在城市化进程中能够更好地实现城乡经济协调发展。

4.城市自中心地区向外围扩展过程中遵循地租衰减规则,但地租衰减曲线由于受到各种因素的干扰由

平滑曲线演变为多种形态。在ξ、

ψ和ζ的影响以及距离r 等的共同影响下厂商在成本2收益约束下在既定空间实现了均衡,城市扩展就是在这种微观均衡下向外逐渐推移的过程,在既定条件下实现了厂商、城市、居民化等多个主体的均衡发展,城市也由此形成了相对稳定的规模。

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综上所述,包括公立大学在内的高等院校制定章程,不仅是我国教育法律和行规的要求,而且也是新时期国家“依法治教”和公立大学“依法治校”的集中体现。因此,强化其认识,解决其问题,制定出具有中国教育特色的社会主义公立大学的章程,以达到实现公立大学管理的法制化和现代化之目的,具有极为重要的理论和现实意义。

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(责任编辑:于凤银)

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(责任编辑:于凤银)