利用导数求曲线的切线和公切线以及切线条数专题总结.doc

一、求切线方程

1．过曲线上一点求切线方程的三个步骤

2．求过曲线y＝f(x)外一点P(x1，y1)的切线方程的六个步骤

(1)设切点(x0，f(x0))．

(2)利用所设切点求斜率k＝f′(x0)＝.

(3)用(x0，f(x0))，P(x1，y1)表示斜率．

(4)根据斜率相等求得x0，然后求得斜率k.

(5)根据点斜式写出切线方程．

(6)将切线方程化为一般式．

例1.已知曲线y＝.

(1)求曲线在点P(1,1)处的切线方程；

(2)求曲线过点Q(1,0)处的切线方程．

例2.已知曲线y＝.

(1)求曲线在点P(1,1)处的切线方程；

(2)求曲线过点Q(1,0)处的切线方程．

3.（2016全国卷Ⅲ）已知f(x)为偶函数，当x＜0时，f(x)=f（-x）+3x，则曲线y=f（x）在点（1，-3）处的切线方程是                      

二、求切点坐标

【小结】求切点坐标可以按以下步骤进行

(1)设出切点坐标；

(2)利用导数或斜率公式求出斜率；

(3)利用斜率关系列方程，求出切点的横坐标；

(4)把横坐标代入曲线或切线方程，求出切点纵坐标

例1.已知抛物线y＝2x2＋1分别满足下列条件，请求出切点的坐标．

(1)切线的倾斜角为45°.

(2)切线平行于直线4x－y－2＝0.

(3)切线垂直于直线x＋8y－3＝0.

．

变式练习

直线l：y＝x＋a(a≠0)和曲线C：y＝x3－x2＋1相切，则a的值为___________，切点坐标为____________．

三、求两个函数公切线

公切线问题：切点相同。

切点不同。

例1、已知直线是曲线的切线，也是曲线的切线，求k和b的值

解析：

例2.若直线是曲线的切线，也是的切线，求b的值

例3．已知函数f （x）=lnx，g（x）=2﹣（x＞0）

（1）试判断当f（x）与g（x）的大小关系；

（2）试判断曲线 y=f（x）和 y=g（x）是否存在公切线，若存在，求出公切线方程，若不存在，说明理由；

变式练习1.两曲线和存在公切线，则正实数的取值范围

变式练习2.若曲线与曲线在它们的公共点P（s,t）处有公切线，则实数

变式练习3.已知函数和直线m:,又，是否存在k,使直线m既是曲线的切线，又是曲线的切线？如果存在，求出k的值

四、切线条数

切线的条数问题====以切点为未知数的方程的根的个数

例1.已知函数在点处取得极小值－4，使其导数的的取值范围为，求：（1）的解析式；（2）若过点可作曲线的三条切线，求实数的取值范围．

例2.已知函数f（x）=2x3﹣3x+1，g（x）=kx+1﹣lnx．

（1）设函数，当k＜0时，讨论h（x）零点的个数；

（2）若过点P（a，﹣4）恰有三条直线与曲线y=f（x）相切，求a的取值范围．

变式练习.已知函数f（x）=x2+2（1﹣a）x﹣4a，g（x）=﹣（a+1）2，则f（x）和g（x）图象的公切线条数的可能值是　 　．