(完整版)一元二次方程中考复习(中难题)

（一）课前预习

1．一元二次方程：在整式方程中，只含   个未知数，并且未知数的最高次数是   的方程叫做一元二次方程.一元二次方程的一般形式是                      .其中     叫做二次项，        叫做一次项，       叫做常数项；        叫做二次项的系数，          叫做一次项的系数.

2. 一元二次方程的常用解法：

（1）直接开平方法：形如或的一元二次方程，就可用直接开平方的方法.

（2）配方法：用配方法解一元二次方程的一般步骤是：

①化二次项系数为1，即方程两边同时除以二次项系数；

②移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项，

③配方，即方程两边都加上一次项系数一半的平方，

④化原方程为的形式，

⑤如果是非负数，即，就可以用直接开平方求出方程的解.如果n＜0，则原方程无解.

（3）公式法：一元二次方程的求根公式是                      

（4）因式分解法：因式分解法的一般步骤是：

①将方程的右边化为       ；

②将方程的左边化成两个一次因式的乘积；

③令每个因式都等于0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解。

（二）课题讲解

1、基本概念

【考点讲解】

(1)定义：只含有一个未知数，并且②未知数的最高次数是2，这样的整式方程 

(2)一般表达式： 

(3)难点：如何理解 “未知数的最高次数是2”：

①该项系数不为“0”；

②未知数指数为“2”；

③若存在某项指数为待定系数，或系数也有待定，则需建立方程或不等式加以讨论。

【典型例题】

例1下列方程中是关于x的一元二次方程的是（   ）

    A                 B   

    C                       D   

变式：当k           时，关于x的方程是一元二次方程。

例2方程是关于x的一元二次方程，则m的值为            。

【针对性练习】

1、方程的一次项系数是          ，常数项是          。

2、若方程是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是      。

3、若方程nxm+xn-2x2=0是一元二次方程，则下列不可能的是（     ）

A.m=n=2       B.m=2,n=1       C.n=2,m=1       D.m=n=1

2、方程的解

【考点讲解】

⑴概念：使方程两边相等的未知数的值，就是方程的解。

⑵应用：利用根的概念求代数式的值； 

【典型例题】

例1、已知的值为2，则的值为          。

例2、关于x的一元二次方程的一个根为0，则a的值为        。

例3、已知关于x的一元二次方程的系数满足，则此方程必有一根为        。

例4、已知是方程的两个根，是方程的两个根，则m的值为        。

【针对性练习】

1、已知方程的一根是2，则k为         ，另一根是          。

2、已知m是方程的一个根，则代数式         。

3、已知是的根，则          。

4、方程的一个根为（   ）

      A           B  1           C            D   

5、若            。

3、解法

【考点讲解】

⑴方法：①直接开方法；②因式分解法；③配方法；④公式法    

⑵关键点：降次

类型一、直接开方法：

※※对于，等形式均适用直接开方法

【典型例题】

例1、解方程：        =0;       

例2、若，则x的值为         。

【针对性练习】

1、下列方程无解的是（    ）

A.    B.     C.    D.

类型二、因式分解法:

方程特点：左边可以分解为两个一次因式的积，右边为“0”，

方程形式：如， ，

【典型例题】

例1、的根为（    ）

    A         B           C        D  

例2、若，则4x+y的值为          。

变式1：           。

变式2：若，则x+y的值为           。

变式3：若，，则x+y的值为          。

例3、方程的解为（     ）

A.  B.  C.  D.

例4、已知,则的值为          。

变式：已知,且,则的值为          。

【针对性练习】

1、以与为根的一元二次方程是（）

A．         B．

C．           D．

2、⑴写出一个一元二次方程，要求二次项系数不为1，且两根互为倒数：           

⑵写出一个一元二次方程，要求二次项系数不为1，且两根互为相反数：               

3、若实数x、y满足，则x+y的值为（       ）

A、-1或-2       B、-1或2        C、1或-2       D、1或2

4、方程：的解是         。

5、方程的较大根为r，方程的较小根为s，则s-r的值为          。

类型三、配方法

在解方程中，多不用配方法；但常利用配方思想求解代数式的值或极值之类的问题。

【典型例题】

例1、试用配方法说明的值恒大于0。

例2、已知x、y为实数，求代数式的最小值。

例3、已知为实数，求的值。

例4、分解因式：

【针对性练习】

1、试用配方法说明的值恒小于0。

2、已知，则        .

3、若，则t的最大值为        ，最小值为       。

4、如果,那么的值为     。

类型四、公式法

⑴条件：

⑵公式： ,

【典型例题】

例1、选择适当方法解下列方程：

⑴         ⑵     ⑶      

⑷       ⑸

例2、在实数范围内分解因式：

（1）；         （2）.            ⑶

说明：①对于二次三项式的因式分解，如果在有理数范围内不能分解，一般情况要用求根公式，先令=0，求出两根，再写成=.

②分解结果是否把二次项系数乘进括号内，取决于能否把括号内的分母化去.

类型五、 “降次思想”的应用

⑴求代数式的值；        ⑵解二元二次方程组。

【典型例题】

例1、已知，求代数式的值。

例2、已知是一元二次方程的一根，求的值。

4、根的判别式

【考点讲解】

根的判别式的作用：①定根的个数；②求待定系数的值；③应用于其它。

【典型例题】

例1、若关于的方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是      。

例2、关于x的方程有实数根，则m的取值范围是(    )

A.       B.      C.        D.

例3、为何值时，方程组有两个不同的实数解？有两个相同的实数解？

【针对性练习】

1、当k          时，关于x的二次三项式是完全平方式。

2、已知方程有两个不相等的实数根，则m的值是         .

3、当取何值时，方程的根与均为有理数？

5、方程类问题中的“分类讨论”

【典型例题】

例1、关于x的方程

⑴有两个实数根，则m为          ,

⑵只有一个根，则m为          。 

例2、不解方程，判断关于x的方程根的情况。

例3、如果关于x的方程及方程均有实数根，问这两方程是否有相同的根？若有，请求出这相同的根及k的值；若没有，请说明理由。

6、应用解答题

【考点讲解】

⑴“碰面”问题；⑵“复利率”问题；⑶“几何”问题；⑷“最值”问题；⑸“图表”类问题

【典型例题】

例1、五羊足球队的庆祝晚宴，出席者两两碰杯一次，共碰杯990次，问晚宴共有多少人出席？

例2、某小组每人送他人一张照片，全组共送了90张，那么这个小组共多少人？

例3、A、B两地间的路程为36千米.甲从A地，乙从B地同时出发相向而行，两人相遇后，甲再走2小时30分到达B地，乙再走1小时36分到达A地，求两人的速度.

7、根与系数的关系

【考点讲解】

⑴前提：对于而言，当满足①、②时，才能用韦达定理。

⑵主要内容：

⑶应用：整体代入求值。

【典型例题】

例1、已知一个直角三角形的两直角边长恰是方程的两根，则这个直角三角形的斜边是（  ）      

A.         B.3       C.6         D.

例2、已知关于x的方程有两个不相等的实数根，

（1）求k的取值范围；

（2）是否存在实数k，使方程的两实数根互为相反数？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由。

【针对性练习】

1、已知，，求的值。

2、已知是方程的两实数根，求的值。

1、解方程：  

2、若方程是关于x的一元一次方程，

⑴求m的值；⑵写出关于x的一元一次方程。