四年级奥数第22讲-相遇问题(教)

2.通过画图使较复杂的问题具体化、形象化，融合多种方法达到正确理解题目的目的

    甲从A地到B地，乙从B地到A地，然后两人在途中相遇，实质上是甲和乙一起走了A,B之间这段路程，如果两人同时出发，那么

 相遇路程＝甲走的路程+乙走的路程＝甲的速度×相遇时间+乙的速度×相遇时间

         ＝（甲的速度+乙的速度）×相遇时间

         ＝速度和×相遇时间.

 一般地，相遇问题的关系式为：速度和×相遇时间=路程和，即S=v×t

例1、一辆客车与一辆货车同时从甲、乙两个城市相对开出，客车每小时行46千米，货车每小时行48千米。3.5小时两车相遇。甲、乙两个城市的路程是多少千米？

【解析】本题是简单的相遇问题，根据相遇路程等于速度和乘以相遇时间得到甲乙两地路程为：

       （46+48）×3.5=94×3.5=329（千米）．

例2、大头儿子的家距离学校3000米，小头爸爸从家去学校接大头儿子放学，大头儿子从学校回家，他们同时出发，小头爸爸每分钟比大头儿子多走24米，50分钟后两人相遇，那么大头儿子的速度是每分钟走多少米？

【解析】大头儿子和小头爸爸的速度和：3000÷50=60 (米/分钟)，

        小头爸爸的速度：（60+24）÷2 =42(米/分钟)，

        大头儿子的速度：60-42=18 (米/分钟)．

例3、甲、乙两辆汽车分别从A、B两地出发相向而行，甲车先行3小时后乙车从B地出发，乙车出发5小时后两车还相距15千米．甲车每小时行48千米，乙车每小时行50千米．求A、B两地间相距多少千米？

 【解析】题目中写的“还”相距15千米指的就是最简单的情况。画线段图如下：

由图中可以看出，甲行驶了3+5=8 (小时)，行驶距离为：48×8=384 (千米)；

乙行驶了5小时，行驶距离为：50×5=250 (千米)，此时两车还相距15千米，

所以A、B两地间相距：384+250+15=9 (千米)

也可以这样做：两车5小时一共行驶：（48+50）×5=490 (千米)，

               A、B两地间相距：490+48×3+15=9： (千米)，

               所以，A、B两地间相距9千米．

例4、甲、乙二人分别从东、西两镇同时出发相向而行．出发2小时后，两人相距54千米；出发5小时后，两人还相距27千米．问出发多少小时后两人相遇？

【解析】 根据2小时后相距54千米，5小时后相距27千米，

可以求出甲、乙二人3小时行的路程和为(54-27)千米，

即可求出两人的速度和：(54-27)÷（5-2）=9（千米），

根据相遇问题的解题规律；相隔距离÷速度和=相遇时间，

可以求出行27千米需要： 5+27÷9=8（小时）．

例3、两列城铁从两城同时相对开出，一列城铁每小时走40千米，另一列城铁每小时走45千米，在途中每列车先后各停车4次，每次停车15分钟，经过7小时两车相遇，求两城的距离？

【解析】每列车停车时间：15×4=60（分）=1（小时），

两列车停车时间共2小时，共同行驶时间：7-6=1小时，速度和：40+45=85（千米），

两城距离：85×6=510（千米）．

例4、南辕与北辙两位先生对于自己的目的地s城的方向各执一词，于是两人都按照自己的想法驾车同时分别往南和往北驶去，二人的速度分别为50千米/时，60千米/时，那么北辙先生出发5小时他们相距多少千米?．

【解析】两人虽然不是相对而行，但是仍合力完成了路程，（50+60）×5=550（千米）．

例5、两地相距3300米，甲、乙二人同时从两地相对而行，甲每分钟行82米，乙每分钟行83米，已经行了15分钟，还要行多少分钟两人可以相遇？

【解析】根据题意列综合算式得到： 3300÷（82+83）－15=5（分钟），

所以两个人还需要5分钟相遇。

例6、甲、乙两辆汽车同时从A地出发去B地，甲车每小时行50千米，乙车每小时行40千米．途中甲车出故障停车修理了3小时，结果甲车比乙车迟到1小时到达B地．A、B两地间的路程是多少？

【解析】由于甲车在途中停车3小时，比乙车迟到1小时，

说明行这段路程甲车比乙车少用2小时．

可理解成甲车在途中停车2小时，两车同时到达，

也就是乙车比甲车先行2小时，两车同时到达B地，

所以，也可以用追及问题的数量关系来解答．即：

行这段路程甲车比乙车少用的时间是：3－1=2 (小时)，

乙车2小时行的路程是：40×2=80 (千米)，

甲车每小时比乙车多行的路程是：50－40=10 (千米)，

甲车所需的时间是：80÷10=8 (小时)，

A、B两地间的路程是： 50×8=400 (千米)．

例7、甲、乙两列火车同时从A地开往B地，甲车8小时可以到达，乙车每小时比甲车多行20千米，比甲车提前2小时到达．求A、B两地间的距离． 

【解析】这道题的路程差比较隐蔽，需要仔细分析题意，乙到达时，甲车离终点还有两小时的路程，因此路程差是甲车两小时的路程．

方法一：如图：

甲车8小时可以到达，乙车比甲车提前2小时到达，因此，乙车到达时用了：8-2=6 (小时)，

此时路程差为：20×6=120 (千米)，此时路程差就是甲车2小时的路程，

所以甲车速度为：120÷2=60 (千米/小时)，

A、B两地间的距离：60×8=480 (千米)

例8、军事演习中，“我”海军英雄舰追及“敌”军舰，追到A岛时，“敌”舰已在10分钟前逃离，“敌”舰每分钟行驶1000米，“我”海军英雄舰每分钟行驶1470米，在距离“敌”舰600米处可开炮射击，问“我”海军英雄舰从A岛出发经过多少分钟可射击敌舰？

【解析】“我”舰追到A岛时，“敌”舰已逃离10分钟了，

因此，在A岛时，“我”舰与“敌”舰的距离为10000米（=1000×10）.

又因为“我”舰在距离“敌”舰600米处即可开炮射击，

即“我”舰只要追上“敌”舰9400（=10000米-600米）即可开炮射击.

所以，在这个问题中，不妨把9400当作路程差，

根据公式求得追及时间.（1000×10-600）÷（1470-1000）=（10000-600）÷470=9400÷470=20（分钟），

经过20分钟可开炮射击“敌”舰.

例9、甲乙两车分别从A、B两地同时相向开出，4小时后两车相遇，然后各自继续行驶3小时，此时甲车距B地10千米，乙车距A地80千米．问：甲车到达B地时，乙车还要经过多少时间才能到达A地? 

【解析】由4时两车相遇知，4时两车共行A，B间的一个单程．相遇后又行3时，

剩下的路程之和10＋80＝90（千米）应是两车共行4－3＝1（时）的路程．

所以A，B两地的距离是（10＋80）÷（4－3）×4＝360（千米）。

因为7时甲车比乙车共多行80－10＝70（千米），

所以甲车每时比乙车多行 70÷7＝10（千米），

又因为两车每时共行90千米，

所以每时甲车行 50千米，乙车行40千米．

行一个单程，乙车比甲车多用360÷40－360÷50＝9－7.2＝1.8（时）＝1时48分．

课堂狙击 

1、甲、乙两列火车从相距366千米的两个城市对面开来，甲列火车每小时行37千米，乙列火车每小时行36千米，甲列火车先开出2小时后，乙列火车才开出，问乙列火车行几小时后与甲列火车相遇？

【解析】（366-37×2）÷（37+36）=4(小时)．

2、甲、乙两车分别从相距360千米的A、B两城同时出发，相对而行，已知甲车到达B城需4小时，乙车到达A城需12小时，问：两车出发后多长时间相遇？     

【解析】要求两车的相遇时间，则必须知道它们各自的速度，

甲车的速度是360÷4=90（千米／时），

乙车的速度是360÷12=30（千米／时），

则相遇时间是360÷(90+30)=3（小时）．

3、甲、乙两列火车从相距770千米的两地相向而行，甲车每小时行45千米，乙车每小时行41千米，乙车先出发2小时后，甲车才出发．甲车行几小时后与乙车相遇？ 

【解析】甲、乙两车出发时间有先有后，乙车先出发2小时，这段时间甲车没有行驶，

那么乙车这2小时所行的路程不是甲、乙两车同时相对而行的路程，

所以要先求出甲、乙两车同时相对而行的路程，再除以速度和，

才是甲、乙两车同时相对而行的时间．

乙车先行驶路程：41×2= 82(千米)，

甲、乙两车同时相对而行路程：770-82=698 (千米)，

甲、乙两车速度和：45+41=86 (千米／时)，

 甲车行的时间：688÷86= 8(小时)． 

4、甲、乙两辆汽车从A、B两地同时相向开出，出发后2小时，两车相距141千米；出发后5小时，两车相遇．A、B两地相距多少千米？ 

【解析】公式“相遇时间=路程和÷速度和”中，对于速度不变的两车，“相遇时间”与“路程和”是一一对应的．如图所示

5小时的相遇时间与A、B两地的距离相对应，

(5-2)小时的相遇时间与141千米相对应.

两车的速度之和是：141÷（5-2）=47 (千米/时). 

A、B两地相距：47×5= 235 (千米)

5、甲车每小时行40千米，乙车每小时行60千米。两车分别从A，B两地同时出发，相向而行，相遇后3时，甲车到达B地。求A，B两地的距离。

【解析】相遇后甲行驶了40×3=120千米，即相遇前乙行驶了120千米，

说明甲乙二人的相遇时间是120÷60=2小时，

则两地相距（40+60）×2=200千米．

课后反击

1、妈妈从家出发到学校去接小红，妈妈每分钟走75米．妈妈走了3分钟后，小红从学校出发，小红每分钟走60米．再经过20分钟妈妈和小红相遇．从小红家到学校有多少米？ 

【解析】妈妈先走了3分钟，就是先走了75×3=225（米）．

20分钟后妈妈和小红相遇，也就是说妈妈和小红共同走了20分钟，

这一段的路程为：（75+60）×20=2700（米），

这样妈妈先走的那一段路程，加上后来妈妈和小红走的这一段路程，

就是小红家到学校的距离．即75×3+（75+60）×20= 2925（米）．

2、小红和小强同时从家里出发相向而行。小红每分钟走52米，小强每分钟走70米，二人在途中的A处相遇。若小红提前4分钟出发，但速度不变，小强每分钟走90米，则两人仍在A处相遇。小红和小强的家相距多远?    

【解析】因为小红的速度不变，相遇地点不变，所以小红两次走的时间相同，

推知小强第二次比第一次少走4分。

由（70×4）÷（90-70）=14（分），

推知小强第二次走了14分，第一次走了18分，

两人的家相距（52+70）×18=2196（米）．

3、小明和小军分别从甲、乙两地同时出发，相向而行。若两人按原定速度前进，则4时相遇；若两人各自都比原定速度多1千米／时，则3时相遇。甲、乙两地相距多少千米？ 

【解析】每时多走1千米，两人3时共多走6千米，

这6千米相当于两人按原定速度1时走的距离。

所以甲、乙两地相距6×4＝24（千米）。

4、孙悟空在花果山，猪八戒在高老庄，花果山和高老庄中间有条流沙河，一天，他们约好在流沙河见面，孙悟空的速度是200千米／小时．猪八戒的速度是150千米／小时，他们同时出发2小时后还相距500千米，则花果山和高老庄之间的距离是多少千米？

【解析】注意：“还相距”与“相距”的区别．建议画线段图．

可以先求出2小时孙悟空和猪八戒走的路程：（200+150）×2＝700(千米)，

又因为还差500米，所以花果山和高老庄之间的距离：700+500=1200 (千米)．

5、一辆公共汽车和一辆小轿车同时从相距450千米的两地相向而行，公共汽车每小时行40千米，小轿车每小时行50千米，问几小时后两车相距90千米？

【解析】两车在相距450千米的两地相向而行，距离逐渐缩短，

在相遇前某一时刻两车相距90千米，

这时两车共行的路程应为（450-90）千米．

即（450-90）÷（40+50）=4(小时)．

需要注意的是当两车相遇后继续行驶时，

两车之间的距离又从零逐渐增大，

到某一时刻，两车再一次相距90千米．

这时两车共行的路程为450+90千米，

即（450+90）÷（40+50）＝6（小时)．

1、（第九届中环杯）如图，A、B是一条道路的两端点，亮亮在A点，明明在B点，两人同时出发，相向而行．他们在离A点100米的C点第一次相遇．亮亮到达B点后返回A点，明明到达A点后返回B点，两人在离B点80米的D点第二次相遇．整个过程中，两人各自的速度都保持不变．求A、B间的距离．要求写出关键的推理过程． 

【解析】第一次相遇，两人共走了一个全程，其中亮亮走了100米，从开始到第二次相遇，两人共走了三个全程，则亮亮走了100×2= 200(米)．亮亮共走的路程为一个全程多80米，所以道路长300-80=220（米）．

1、基本关系：路程＝速度*时间；

2、相遇问题（相向而行）：相遇时两种运动物体的行程和等于总路程(相遇时间相等)；

                    关系式： 甲走的路程+乙走的路程=总路程；  

本节课我学到了

我需要努力的地方是