江苏省常州市“教学研究合作联盟”2020-2021学年高一上学期期中考试数学试题 含答案

2020 学年度第一学期期中质量调研 

高一年级 数学试题

第Ⅰ卷（共60分）

一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.前8题为单选，后4题为多选.

1.已知集合，集合，则（ ）

A．         B．       C．       D．

2.已知，则（ ）

A．         B．       C．       D．

3.命题“”的否定是（ ）

A．         B．       C．       D．

4.如果，那么下面一定成立的是（ ）

A．         B．       C．       D．

5.不等式的解集是（ ）

A．         B．       C．       D．

6.若均大于零，且，则的最小值为（ ）

A．         B．       C．       D．

7.．已知定义在上的奇函数，当时，则的值为（ ）

A．         B．       C．       D．

8.函数为偶函数，且在上单调递增，则的解集为（ ）

A．         B．       C．       D．

9.设，，则实数的值可以为（ ）

A．         B．       C．       D．

10.下列不等式中可以作为的一个必要不充分条件的有（ ）

A．         B．       C．       D．

11.下列四个命题：其中正确的命题是（ ）

A．函数在上单调递增         

B．和表示同一个函数       

C． 当时，则有成立      

D．若二次函数图象与轴没有交点，则且

12.设正实数满足，则下列选项中，正确的有（ ）

A．         B．       C．       D．

第Ⅱ卷（共90分）

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）

13.当时，的最小值为          ．

14.已知命题是真命题，则实数的取值范围是          ．

15.已知符号函数，若函数，则不等式的解集为          ．

16.若关于的不等式恰好有三个整数解，则实数的取值范围是          ．

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.

17. 化简求值：

（1）

（2）

18. 已知条件对任意，不等式恒成立；条件当时，函数. 

（1）若是真命题，求实数的取值范围；

（2）若是的必要不充分条件，求实数的取值范围.

19. 设函数. 

（1）若不等式的解集为，求不等式的解集； 

（2）若，求不等式的解集.

20. 年初，新冠肺炎疫情袭击全国，对人民生命安全和生产生活造成严重影响。为降低疫情影响，某厂家拟尽快加大力度促进生产。已知该厂家生产某种产品的年固定成本为万元，每生产千件，需另投入成本为，当年产量不足千件时，（万元）．当年产量不小于千件时，（万元）．每件商品售价为万元．通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完．

（1）写出年利润（万元）关于年产量（千件）的函数解析式；

（2）当年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？

21. 已知函数. 

（1）若，求实数的值；

（2）画出函数的图象并写出函数在区间上的值域； 

（3）若函数，求函数在上最大值.

22.已知函数． 

（1）当且时，

 ①求的值；②求的最小值； 

（2）已知函数的定义域为，若存在区间，当时，的值域为，则称函数是上的“保域函数”，区间叫做“等域区间”.试判断函数是否为上的“保域函数”？若是，求出它的“等域区间”；若不是，请说明理由.

试卷答案

一、选择题

1-5：CACCA       6-8：DAB      9：ABC      10：BD      11：AD      12：AD

二、填空题

13.          14.           15.           16.

三、解答题

17.化简求值

解：（1）

（2）

18.解：（1）由题意当时，

即

所以

（2）对于条件，当时，函数

记

因为是的必要不充分条件，所以是的真子集

所以

所以.

19.解：（1）函数

由不等式的解集为，得

且和是方程的两根；

则，

解得

所以不等式等价于，其解集为

（2）时，不等式为，

可化为，则

若，则不等式化为，

令，得，

当时，，解不等式得或；

当时，不等式为，解得；

当时，解不等式得或；

若，则不等式化为，解得；

综上：当时，不等式的解集为；

当时，不等式的解集为；

当时，不等式的解集为；

当时，不等式的解集为.

20.解：（1）因为每件商品售价为万元，则千件商品销售额为万元，

依题意得：

当时，

当时，

所以

（2）当时，

此时，当时，即万元.

当时，

此时，即万元

由于，

所以当年产量为千件时，该厂在这一商品生产中所获利润最大，

最大利润为万元．

21解：（1）当时，得；

当时，得

由上知或.

（2）图象如下图：

由图象知函数的值域为.

（3）当时，

配方得

当即时，

当即时，

综上，

22.解：解（1）由题意，

在为减函数，在上为增函数.

①，且，且

.

②由①知，

当且仅当时“=”成立

即的最小值为.

（2）假设存在，当时，的值域为，则.

.

①在上为减函数，

解得或，不合题意.

②若在上为增函数，

即为方程在上的两个不等根.

解得符合题意.

综上可知，存在实数，当时，值域为，即是上“保域函数”. 其等域区间为.