三角函数极值问题的探讨

【摘要】极值是定义在一个有界闭区域上的每一个连续函数都必定达到 它的最大值和最小值，问题在于要确定它在哪些点处达到最大值或最小值.如果不是边界点就一定是内点，因而是极值点.极值是自然科学、工程技术以及生产活动、生活实践中常常遇到的问题,类型是多种多样的,其中三角函数的极值却占着重要的地位,因为它不但能解决三角函数的极值问题,而且许多其它函数极值问题通过变换往往可化为这一类型.本文仅就三角函数极值问题进行讨论.

【关键字】三角函数;极值；解法

目录

摘　要    1

引言    2

一、正弦（或余弦）的线性函数的极值.    2

二、正余弦线性函数的极值    3

三、正、余弦二次奇次函数的极值    5

四、正弦二次函数的极值    7

五 、某些特殊类型三角函数极值问题    10

结束语    12

参考文献    13

引言

三角函数极值问题是函数极值问题的一个重要部分，也是中学数学的重要内容之一.他在实际生活中具有广泛的应用.解答三角函数式极值问题，不仅用到三角函数的特性，如有界性，以及三角函数恒等变形等知识，而且与代数中的基本不等式，二次三项式的配方法、一元二次方程的判别式及有关几何知识紧密联系.因此，解三角函数式的极值问题需灵活综合运用多方面的知识.

下面就几种三角函数的极值问题进行讨论.

一、正弦（或余弦）的线性函数的极值.

根据正弦（或余弦）函数的有界性，有

1.当即时，此时；当即时，此时.

2.当即时，此时；当即时，此时.

形如函,， 的三角函数式都可以通过恒等变形，转化为这种类型求解.

特别型，通过构造分母的办法进行转化

  这时问题转化为求的极值

例 1、求函数的最大值和最小值.

解 ：

当时，；

当时，.

说明：经过恒等变形，所求函数的极值取决于分母的极值，而得极值的求法属于第一类型.

二、正余弦线性函数的极值.

其中 

根据正弦函数的有界性，可得当时，；当时，.其中

例2、求函数，的最大值和最小值.

解： 

  当时，；

当或时， 

说明：通过和差化积将函数变形为然后利用余弦函数的有界性求出最大值.但在求最小值时，由于函数的解析式是偶次方，恒有，因此当时，函数得最小值零.

例3、 在定圆内的所有内接等腰三角形中，怎样的三角形其底边和底边上的高之和为最大.

解: 如图，设定圆的半径为，其内接等腰

的底边为,高为，并设，则，,，，底边与高之和为           

当且仅当时，，此时可算出底边, 高 

例 4、在单位圆内，扇形的顶角在内变动，是该扇形的内接正方形（如图），试求的最小值.（1993年四川省高中联赛题）

解：如图设, ,则诸点坐标为

，， 

,，

由此，得

    其中 

当  时，有.

三、正、余弦二次奇次函数的极值.

因为

  当    时，；

当     时，；

其中  .

说明：函数，， 这些类型的三角函数经变化，均可化为的形式求解.

例 5：求函数的最小值，并导出使函数取最小值的的集合.(1991年高考文理第三 (21)题) 

解： 利用三角函数的恒等变形，可得

   其中

当     时， 

例 6：求三角函数的最小值，其中为非零参数.

解：把原式改写成下列形式

  因此 ，要求原三角函数的最小值，只需求出上式最后三项  取最小值时的值，并令即可求得.

说明 :在本例若令，得，此时还可以算出参数之值.

四、正弦二次函数的极值.

令，则正弦二次函数便转化为二次函数在闭区间  上的极值问题.

这个二次函数在开区间有最小值；当时，即时，，且在区间减小，在区间增大，因此：

（1）当即  时，函数  在闭区间  上单调递增，这时，当即  时，；当  即时，.

（2）当即  时，函数  在闭区间  上有顶点，即当  时，  ；此时，函数的最大值是  或  时，函数值中的较大者，即.

（3）当即  时，函数  在闭区间  上单调递减.当即  时，；当  即时，.

其中（1），（2），（3）中的

除上述三种基本类型外，正切、余切，正割、余割的有理函数都可以通过万能置换公式转化为代数函数，从而可以利用代数方法求出极值.另外，对于正弦、余弦的二次奇次函数除用上述类型三中的方法外，也可以用下面的方法求出极值.

化原式为：，移项，整理并以除之，得，由于为实数，故必有解次不等式，得

，

；.

在解三角函数极值问题时，要注意在函数定义域内求解.此外，要灵活运用三角恒等变形的方法和技巧，并注意代数知识和方法在解决极值问题中的应用.

例 7：已知函数的最大值为8，最小值为6，求，之值.

解：令，则原函数转化为闭区间上的二次函数.  对实参数进行讨论；

当时，

当时，；

当时，.

联立  

解得  ，与  矛盾.

当时，

当  时，；

当  时，.

由此解得   .

当  时，类似（2）可解得  ,

当  时，与（1）相同，不可能

  综上，适合题意的解为  或  .

例 8： 设  是定义在上的奇函数，且在  上为减函数，问是否存在实数，使得  对所有的实数  都成立？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由.

解：为奇函数，，又在  上为减函数，

由可得，即.

令 

当  即  时，  ，，.

当即时，，，.

当  ，即  时，  ，.

综上， 时，对任意  均成立.

例 9：求函数的最小值.

解： 

又，

，.

等号成立当且仅当，即  时成立，当时，.

说明：本例题利用基本不等式.，求出了函数的最小值，但却求不出它的最大值.应用不等式求函数的极值时应引起注意.如果要求函数的最大值时，可采用变量代换的方法，令，则，函数可化为，显然，当时，的值最大.

因此，时，即当时，值最大，其最大值为.当然也可以用上述方法求出函数的最小值.

五 、某些特殊类型三角函数极值问题.

有些三角函数极值问题，只需将三角函数式略加变形，经配方或利用基本不等式等知识就能使问题顺利得解，下举数例.

例 10、过直角坐标第一象限内一点，作直线与的正半轴分别相交于和，问直线与轴所成锐角为何值时，直线与两坐标轴所围成的的面积为最小，并求此最小值

解：如图，作轴，则， 

上式经配方，得  

当且仅当  时，有. 

例 11、如图，在一张半径为的圆桌的的上空挂一盏电灯，怎样选择灯的高度，才能使桌子边缘处最亮（已知桌子边缘处的亮度与的正弦成正比，而和这一点到光源的距离的平方成反比）.

分析 设比例系数为，则桌子边缘上一点处的照度为.再把用来表示，此时照度便为的函数，从而归结为求三角函数式的极值.

 解：设桌子边缘一点处的照度为（为常数）

.

  当且仅当　　，即　时，，这时.故将灯挂在桌子正上方处时，桌子边缘亮度最大.

例 13、设足：（1）截轴所得的弦长为2；（2）被轴分成两段圆弧，其弧长比为，在满足条件（1），（2）的所有圆中，求圆心到直线的距离最小的圆的方程.（1997年全国理科高考题）

解 : 设圆的圆心为，半径为，点到直线的距离为.根据题意，可得，. 显然要求到达最小值，只要在约束条件下，求的最小值即可.为此，可用“数形结合法”解题.

令，　，则　．

视  为点  与点  连线的斜率，而点为单位圆上的点，从而解出  或，所求圆的方程为  　或 　.

结束语

三角函数（Trigonometric）是数学中属于初等函数中的超越函数的一类函数.它们的本质是任意角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射.通常的三角函数是在平面直角坐标系中定义的，其定义域为整个实数域.另一种定义是在直角三角形中，但并不完全.现代数学把它们描述成无穷数列的极限和微分方程的解，将其定义扩展到复数系.它包含六种基本函数：正弦、余弦、正切、余切、正割、余割.由于三角函数的周期性，它并不具有单值函数意义上的反函数.三角函数在复数中有较为重要的应用.在物理学中，三角函数也是常用的工具.而且三角函数的极值问题也是高考的命题之一，而且在很多的物理学中常常要运用三角函数极值的原理来进行求解，因此学好三角函数的极值的求法是非常有用的，它不仅可以为我们的高考解决题目还可以解决我们实际问题，为我们的生活提供方便.

参考文献

[1] 段肃昌. 几类常见三角函数式极值的求法[J]. 数学教学研究 , 1995,(01)

[2] 谭坤宁. 利用辅助角求三角函数极值例析[J]. 中学理科 , 1998,(08)

[3] 蒋鹏敏. 求三角函数极值的方法[J]. 天津教育 , 1995,(10)

[4] 王风. 三角函数的极值[J]. 教育学院学报 , 2001,(02)

[5] 张恒. 三角函数极值问题探讨[J]. 中学数学月刊 , 2003,(09)

[6] 黄星寿. 谈谈三角函数极值的求法[J]. 河池师范高等专科学校学报 , 1998,(02)

[7] 杨梅. 有关三角函数式极值的求法[J]. 甘肃教育 , 1996,(04)