盐城数学教师综合能力考核之试题分析

1．（08职称）要求：分析所给试题的命题特点、考查内容、解题思路。

　　甲题：（申报中级职称教师必做）四边形ABCD是矩形AD＝10，DC＝8，以DF为折痕把AD折叠，使点A落在BC上的点E处，求BF的长。

　　评析：此题是几何背景的代数计算题。主要考查：矩形、全等三角形、勾股定理、一元二次方程等方面的知识与技能，同时考查数形结合、方程等思想。

　　解题思路：将已知量与未知量聚积到直角△BEF中，通过勾股定理借助代数方程计算解决问题。

乙题：（申报高级职称教师必做）设方程x2-bx+c=0的两根是等腰三角形的腰与底的长，当这样的三角形只有一个时，试求a的取值范围。（提示：当m≥n＞0,当m=n时，以m、n为等腰三角形的腰与底的长的三角形只有一个是显而易见的；当m≠n时，以m、n为等腰三角形的腰与底的长的三角形只有一个时，m、n应满足什么关系？）

　　评析：此题是代数背景的几何代数综合题。主要考查一元二次方程求根公式、不等式的解法、给定等腰三角形腰与底边长有唯一解时应满足的腰与底边长的代数条件，同时考查分类讨论思想等。

　　解题思路：根据m、n是腰长与底边长，确定等腰三角形的唯一性，按m=n及m、n中较小数的两倍不大于较大数的代数关系，联系一元二次方程求根公式，求出a的取值范围。

2．某市对九年级学生进行了一次学业水平测试，成绩评定分A、B、C、D四个等第．为了解这次数学测试成绩情况，相关部门从该市的农村、县镇、城市三类群体的学生抽取2000名学生的数学成绩进行统计分析，相应数据的统计图表如下： 

各类学生成绩人数统计表

（注：等第A、B、C、D分别代表优秀、良好、合格、不合格）

（1）请将上面表格中缺少的三个数据补充完整；

（2）若该市九年级共有60 000名学生参加测试，试估计该市学生成绩合格以上（含合格）的人数． 

能级：理解层面．凸显对统计知识考查的基础性．

评析：本题借助问题情境的内在关联性，考查合理推断与合情猜测.这样的统计图表问题，在一定程度上可以考查学生对统计图的读图能力、数据表达能力以及根据图表中情境的内在联系进行合情推理的能力.第(1)问要求根据所给图示将表中的空缺部分补充完整，本质上属于填空题，主要考查学生对表格与扇形图的理解以及从中提取信息的能力．第(2)问依据样本中合格以上人数去估计总体情况，考查了用样本估计总体的统计思想和合情推断与合情猜测．此外，这种考法能让学生在理解问题的同时，进一步认识统计的现实意义，背景也是学生所熟知的，具有较好的教育性和公平性．

3．一家医院某天出生了3个婴儿，假设生男生女的机会相同，那么这3个婴儿中，出现1个男婴、2个女婴的概率是多少？

能级：理解层面．凸显对概率计算考查的基础性．

评析：试题选用学生熟悉的素材为背景，考查用树状图或列表法求简单随机事件的概率计算问题，不仅考查了概率计算的基础知识和基本技能，而且在一定程度上还将引导教系生活的作用，具有基础性、公平性和导向性.

4．一辆汽车从A地驶往B地，前路段为普通公路，其余路段为高速公路．已知汽车在普通公路上行驶的速度为60km/h，在高速公路上行驶的速度为100km/h，汽车从A地到B地一共行驶了2.2h．

请你根据以上信息，就该汽车行驶的“时间”或“路程”，提出一个用二元一次方程组解决的问题，并写出解题过程．

能级：掌握层面．凸显对方程考查的全面性和发展性．

评析：本题取材于学生熟悉的现实生活的问题情境，能力立意，富于探索.用方程解决问题是学习数与式的重要目的.本题没有直接给出要解决的问题，而是要学生自己在阅读、理解的过程中发现数学问题和提出数学问题，体现了“问题情境—数学模型—合理推断”的数学应用模式，整个过程蕴含着用数学的模式化功能发现数学问题的策略和方法，可以有效地考查学生的合情推断与探究能力，从而达成对“能结合具体情境发现并提出数学问题”目标的考查.

5．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB∥DE，AF∥DC，E、F两点在边BC上，且四边形AEFD是平行四边形．

（1）AD与BC有何等量关系？请说明理由； 

（2）当AB＝DC时，求证：□AEFD是矩形．

能级：掌握层面．凸显对四边形考查的基础性和综合性．

评析：本题设置证明(说理)性问题，既适度考查合情推理与演绎推理能力，又有效覆盖初中几何的主干知识，确保对“课程标准”所要求的“体会证明的必要性，发展初步演绎推理能力”目标的考查.题目简洁、直观、明确，难易适中，推理过程所用的“平行四边形的判定与性质、等腰梯形的性质、矩形的判定或全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质”等知识，都是“课程标准”中明确列出的，考查证明与说理两个层次要求适度，区分合理.同时也较好地考查了学生对图形的观察与直观把握能力、对平行四边形和矩形特征的理解及基本的逻辑推理与表达能力，侧重研究问题解决的基本策略的考查.具有较好的效度和导向.

6．如图，已知二次函数y＝x2－2x－1的图象的顶点为A．二次函数y＝ax2＋bx的图象与x轴交于原点O及另一点C，它的顶点B在函数y＝x2－2x－1的图象的对称轴上．

（1）求点A与点C的坐标；

（2）当四边形AOBC为菱形时，求函数y＝ax2＋bx的关系式．

能级：掌握层面．凸显对二次函数考查的基础性和综合性．

评析：本题综合考查了二次函数的概念、图象的对称性、菱形的性质、点的坐标等知识.抛物线的对称性是解决第(1)问的关键.问题(2)是借助菱形的性质实现转化，考查菱形和二次函数的有关性质的掌握和灵活运用的能力．关注对数形结合、转化与化归等思想方法、待定系数法的考查.达成对“活动对象、相关知识与方法的理解深度”目标的考查，

7．（1）观察与发现

小明将三角形纸片ABC（AB＞AC）沿过点A的直线折叠，使得AC落在AB边上，折痕为AD，展平纸片（如图①）；再次折叠该三角形纸片，使点A和点D重合，折痕为EF，展平纸片后得到△AEF（如图②）．小明认为△AEF为等腰三角形，你同意吗？请说明理由．

（2）实践与运用

将矩形纸片ABCD沿过点B的直线折叠，使点A落在BC边上的点F处，折痕为BE（如图③）；再沿过点E的直线折叠，使点D落在BE上的点处，折痕为EG（如图④）；再展平纸片（如图⑤）．求图⑤中的大小．

    能级：掌握层面．凸显对图形变换考查的基础性．

评析：本题运用数学的语言功能，考查数学地表达及解释结果的合理性.构题方式采用三角形、矩形为载体，以折叠为手段，关注学生基本活动经验，有一定创意，能较好地运用数学语言功能有效地考查学生解释问题的能力.设置将操作过程以图示方式呈现出来，把轴对称变换相关知识的考查融于观察、分析、推理、计算之中，学生只有对对称变换的性质有了深刻的认识，才能作出合乎要求的解释，为具有一定数学活动经验的学生提供了发展空间，以此达成“数学活动过程”目标的考查．

8．某加油站五月份营销一种油品的销售利润y（万元）与销售量x（万升）之间函数关系的图象如图中折线所示，该加油站截止到13日调价时的销售利润为4万元，截止到15日进油时的销售利润为5.5万元．[销售利润=（售价―成本价）×销售量]

请你根据图象及加油站五月份该油品的所有销售记录提供的信息，解答下列问题：

（1）求销售量x为多少时，销售利润为4万元；

（2）分别求出线段AB与BC所对应的函数关系式；

（3）我们把销售每升油所获得的利润称为利润率，那么，在OA、AB、BC三段所表示的销售信息中，哪一段的利润率最大？（直接写出答案）

    能级：灵活应用．凸显函数与方程考查的综合性和发展性．

    评析：本题从油品销售的现实情境中构造试题，题目呈现形式直观明确，梯度明显.图象是常见的销售与利润的位移图，问题背景为学生所熟悉．涉及点的坐标、函数等知识领域以及数形结合等数学思想方法，具有一定的综合性．解决问题的关键在于正确读取图表中的信息，即把相关信息转化为图象上点的坐标、一次函数关系式等，对读图、获取信息能力有较高要求．主要考查与函数图象相关的数学问题的分析、探究与解决能力，增强其应用意识．有较好的信度和区分度．

9．（2008盐城）如图，直线经过点B(，2)，且与x轴交于点A．将抛物线沿x轴作左右平移，记平移后的抛物线为C，其顶点为P．

（1）求∠BAO的度数；

（2）抛物线C与y轴交于点E，与直线AB交于两点，其中一个交点为F．

当线段EF∥x轴时，求平移后的抛物线C对应的函数关系式；

（3）在抛物线平移过程中，将△PAB沿直线AB翻折得到△DAB，点D能否落在抛物线C上？如能，求出此时抛物线C顶点P的坐标；如不能，说明理由．

评析：该题的三个小问，由易到难，所考查的一元二次方程、轴对称变换与平移变换、全等三角形、等边三角形、直角三角形边角关系等知识，都是课标列出的主干知识。同时较好地考查了数形结合、建模、方程与函数、转化及待定系数法等数学思想方法。第（1）问不涉及抛物线，仅由直线与特殊角三角函数值就可求解，是简单应用知识层次的问题；第（2）问需进行推理和分析，要正确判断点E、F，只能分别在对称轴两边的基础上进行推理和计算，需对题目已知条件进行转化，是较综合层次的理解应用问题；第（3）问需要的知识较多，转化较复杂，既有正确的推理解答，又有根据条件对结论的判断取舍，思维层次明显提升，属于灵活应用知识层次的问题。题目由于设置了三个不同思维难度水平的问题，较好地保证了题目自身对考生学习水平的区分，在一定程度上提高了全卷的区分度。

10．（2008盐城）如图甲，在△ABC中，∠ACB为锐角．点D为射线BC上一动点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF．

解答下列问题：

（1）如果AB=AC，∠BAC=90º．

当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图乙，线段CF、BD之间的位置关系为   ▲   ，数量关系为   ▲   ．

当点D在线段BC的延长线上时，如图丙，中的结论是否仍然成立，为什么？

（2）如果AB≠AC，∠BAC≠90º，点D在线段BC上运动．

试探究：当△ABC满足一个什么条件时，CF⊥BC（点C、F重合除外）？画出相应图形，并说明理由．（画图不写作法）

（3）若AC＝，BC=3，在（2）的条件下，设正方形ADEF的边DE与线段CF相交于点P，求线段CP长的最大值．

评析：（知识与能力考查除外）本题没有直接给出要证明的结论，而是要求学生自己在操作探究过程中发现数学问题与提出数学问题。本题整个过程蕴含着用数学模式化功能发现数学结论的策略和方法，可以有效地考查学生的探究能力和推理能力，从而达成对“能收集、选择、处理数学信息，并作出合理的推断或大胆的猜测”目标的考查。

11．（2008温州）文文和彬彬在证明“有两个角相等的三角形是等腰三角形”这一命题时，画出图形，写出“已知”，“求证”（如图），她们对各自所作的辅助线描述如下：

文文：“过点A作BC的中垂线AD，垂足为D”；

彬彬：“作△ABC的角平分线AD”．

数学老师看了两位同学的辅助线作法后，说：“彬彬的作法是正确的，而文文的作法需要订正．”

（1）请你简要说明文文的辅助线作法错在哪里．

（2）根据彬彬的辅助线作法，完成证明过程．

评析：本题给出一道以等腰三角形为基本图形的几何证明题，要求考生先对彬彬添辅助线的错误方法做出解释，然后利用文文所添的正确辅助线完成证明。本题的特色在于它同时包含解释性说理和证明性说理，既重视对推理过程的本质思考，又强调演绎证明的规范性。这样的命题设计流畅自然，充分体现了解释性说理与证明性说理的功能互补。