多边形的内角和与外角和 优秀课 公开课教案

1．理解多边形内角和公式的推导过程，并掌握多边形的内角和与外角和公式；(重点)

2．灵活运用多边形的内角和与外角和定理解决有关问题．(难点)

一、情境导入

多媒体演示：清晨，小明沿一个多边形广场周围的小路按逆时针方向跑步．

提出问题：

(1)小明是沿着几边形的广场在跑步？

(2)你知道这个多边形的各部分的名称吗？

(3)你会求这个多边形的内角和吗？

导入：小明每从一条小路转到下一条小路时，身体总要转过一个角，你知道是哪些角吗？

你知道它们的和吗？就让我们带着这些问题同小明一起走进今天的课堂．

二、合作探究

探究点一：多边形的内角和定理

【类型一】 利用内角和求边数

 一个多边形的内角和为540°，则它是(　　)

A．四边形  B．五边形

C．六边形  D．七边形

解析：熟记多边形的内角和公式(n－2)·180°.设它是n边形，根据题意得(n－2)·180＝540，解得n＝5.故选B.

方法总结：熟记多边形的内角和公式是解题的关键．

【类型二】 求多边形的内角和

 一个多边形的内角和为1800°，截去一个角后，得到的多边形的内角和为(　　)

A．1620°  B．1800°

C．1980°  D．以上答案都有可能

解析：1800÷180＝10，∴原多边形边数为10＋2＝12.∵一个多边形截去一个内角后，边数可能减1，可能不变，也可能加1，∴新多边形的边数可能是11，12，13，∴新多边形的内角和可能是1620°，1800°，1980°.故选D.

方法总结：一个多边形截去一个内角后，边数可能减1，可能不变，也可能加1.根据多边形的内角和公式求出原多边形的边数是解题的关键．

【类型三】 复杂图形中的角度计算

 如图，∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＋∠7＝(　　)

A．450°  B．540°

C．630°  D．720°

解析：如图，∵∠3＋∠4＝∠8＋∠9，∴∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＋∠7＝∠1＋∠2＋∠8＋∠9＋∠5＋∠6＋∠7＝540°，故选B.

方法总结：本题考查了灵活运用五边形的内角和定理和三角形内外角关系．根据图形特点，将问题转化为熟知的问题，体现了转化思想的优越性．

【类型四】 利用方程和不等式确定多边形的边数

 一个同学在进行多边形的内角和计算时，求得内角和为1125°，当他发现错了以后，重新检查，发现少算了一个内角，问这个内角是多少度？他求的是几边形的内角和？

解析：本题首先由题意找出不等关系列出不等式，进而求出这一内角的取值范围；然后可确定这一内角的度数，进一步得出这个多边形的边数．

解：设此多边形的内角和为x，则有1125°＜x＜1125°＋180°，即180°×6＋45°＜x＜180°×7＋45°，因为x为多边形的内角和，所以它是180°的倍数，所以x＝180°×7＝1260°.所以7＋2＝9，1260°－1125°＝135°.因此，漏加的这个内角是135°，这个多边形是九边形．

方法总结：解题的关键是由题意列出不等式求出这个少算的内角的取值范围．

探究点二：多边形的外角和定理

【类型一】 已知各相等外角的度数，求多边形的边数

 正多边形的一个外角等于36°，则该多边形是正(　　)

A．八边形  B．九边形

C．十边形  D．十一边形

解析：正多边形的边数为360°÷36°＝10，则这个多边形是正十边形．故选C.

方法总结：如果已知正多边形的一个外角，求边数可直接利用外角和除以这个角即可．

【类型二】 多边形内角和与外角和的综合运用

 一个多边形的内角和与外角和的和为540°，则它是(　　)

A．五边形  B．四边形

C．三角形  D．不能确定

解析：设这个多边形的边数为n，则依题意可得(n－2)×180°＋360°＝540°，解得n＝3，∴这个多边形是三角形．故选C.

方法总结：熟练掌握多边形的内角和定理及外角和定理，解题的关键是由已知等量关系列出方程从而解决问题．

三、板书设计

多边形的内角和与外角和

1．性质：多边形的内角和等于(n－2)·180°，多边形的外角和等于360°.

2．多边形的边数与内角和、外角和的关系：

(1)n边形的内角和等于(n－2)·180°(n≥3，n是正整数)，可见多边形内角和与边数n有关，每增加1条边，内角和增加180°.

(2)多边形的外角和等于360°，与边数的多少无关.3.正n边形：正n边形的内角的度数为，外角的度数为.

本节课先引导学生用分割的方法得到四边形内角和，再探究多边形的内角和，然后采用完全开放的探究，每步探究先让学生尝试，把学生推到主动位置，放手让学生自己学习，教学过程主要靠学生自己去完成，尽可能做到让学生在“活动”中学习，在“主动”中发展，在“合作”中增知，在“探究”中创新．要充分体现学生学习的自主性：规律让学生自主发现，方法让学生自主寻找，思路让学生自主探究，问题让学生自主解决.第2课时　平行四边形的判定定理3与两平行线间的距离

1．复习并巩固平行四边形的判定定理1、2；

2．学习并掌握平行四边形的判定定理3，能够熟练运用平行四边形的判定定理解决问题；(重点)

3．根据平行四边形的性质总结出求两条平行线之间的距离的方法，能够综合平行四边形的性质和判定定理解决问题．(重点，难点)

一、情境导入

小明的父亲的手中有一些木条，他想通过适当的测量、割剪，钉制一个平行四边形框架，你能帮他想出一些办法来吗？你能想出几种办法？

二、合作探究

探究点一：对角线互相平分的四边形是平行四边形

【类型一】 利用平行四边形的判定定理(3)判定平行四边形

 已知，如图，AB、CD相交于点O，AC∥DB，AO＝BO，E、F分别是OC、OD中点．

求证：(1)△AOC≌△BOD；

(2)四边形AFBE是平行四边形．

解析：(1)利用已知条件和全等三角形的判定方法即可证明△AOC≌△BOD；

(2)此题已知AO＝BO，要证四边形AFBE是平行四边形，根据全等三角形，只需证OE＝OF就可以了．

证明：(1)∵AC∥BD，∴∠C＝∠D.在△AOC和△BOD中，∵∴△AOC≌△BOD(AAS)；

(2)∵△AOC≌△BOD，∴CO＝DO.∵E、F分别是OC、OD的中点，∴OF＝OD，OE＝OC，∴EO＝FO，又∵AO＝BO，∴四边形AFBE是平行四边形．

方法总结：在应用判定定理判定平行四边形时，应仔细观察题目所给的条件，仔细选择适合于题目的判定方法进行解答，避免混用判定方法．熟练掌握平行四边形的判定定理是解决问题的关键．

【类型二】 利用平行四边形的判定定理(3)证明线段或角相等

 如图，在平行四边形ABCD中，AC交BD于点O，点E，F分别是OA，OC的中点，请判断线段BE，DF的位置关系和数量关系，并说明你的结论．

解析：根据平行四边形的对角线互相平分得出OA＝OC，OB＝OD，利用中点的意义得出OE＝OF，从而利用平行四边形的判定定理“对角线互相平分的四边形是平行四边形”判定BFDE是平行四边形，从而得出BE＝DF，BE∥DF.

解：BE＝DF，BE∥DF.因为四边形ABCD是平行四边形，所以OA＝OC，OB＝OD.因为E，F分别是OA，OC的中点，所以OE＝OF，所以四边形BFDE是平行四边形，所以BE＝DF，BE∥DF.

方法总结：平行四边形的性质也是证明线段相等或平行的重要方法．

探究点二：平行线间的距离

 如图，已知l1∥l2，点E，F在l1上，点G，H在l2上，试说明△EGO与△FHO的面积相等．

解析：结合平行线间的距离相等和三角形的面积公式即可证明．

证明：∵l1∥l2，∴点E，F到l2之间的距离都相等，设为h.∴S△EGH＝GH·h，S△FGH＝GH·h，∴S△EGH＝S△FGH，∴S△EGH－S△GOH＝S△FGH－S△GOH，∴S△EGO＝S△FHO.

方法总结：解题的关键是明确三角形的中线把三角形的面积等分成了相等的两部分，同底等高的两个三角形的面积相等．

探究点三：平行四边形判定和性质的综合

 如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AG∥CD交BC于点G，点E、F分别为AG、CD的中点，连接DE、FG.

(1)求证：四边形DEGF是平行四边形；

(2)如果点G是BC的中点，且BC＝12，DC＝10，求四边形AGCD的面积．

解析：(1)求出平行四边形AGCD，推出CD＝AG，推出EG＝DF，EG∥DF，根据平行四边形的判定推出即可；(2)由点G是BC的中点，BC＝12，得到BG＝CG＝BC＝6，根据四边形AGCD是平行四边形可知AG＝DC＝10，根据勾股定理得AB＝8，求出四边形AGCD的面积为6×8＝48.

解：(1)∵AG∥DC，AD∥BC，∴四边形AGCD是平行四边形，∴AG＝DC.∵E、F分别为AG、DC的中点，∴GE＝AG，DF＝DC，即GE＝DF，GE∥DF，∴四边形DEGF是平行四边形；

(2)∵点G是BC的中点，BC＝12，∴BG＝CG＝BC＝6.∵四边形AGCD是平行四边形，DC＝10，AG＝DC＝10，在Rt△ABG中，根据勾股定理得AB＝8，∴四边形AGCD的面积为6×8＝48.

方法总结：本题考查了平行四边形的判定和性质，勾股定理，平行四边形的面积，掌握定理是解题的关键．

三、板书设计

1．平行四边形的判定定理3：对角线互相平分的四边形是平行四边形；

2．平行线的距离；如果两条直线互相平行，则其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离都相等，这个距离称为平行线之间的距离．

3．平行四边形判定和性质的综合．

本节课的教学主要通过分组讨论、操作探究以及合作交流等方式来进行，在探究两条平行线间的距离时，要让学生进行合作交流．在解决有关平行四边形的问题时，要根据其判定和性质综合考虑，培养学生的逻辑思维能力.