华中科技大学10年数学分析真题答案

入学考试自命题数学分析试题

一、求极限

解：令

由有

二、设函数在上连续可微，曲线积分与路径无关，并且对任意均有，求。

解：由于曲线积分与路径无关，故

则

故，对求导得

从而。

三、设在上可微且，求极限：

解：由于在上可微且，则将在处展开

有

作球变换，则

四、已知，计算含参量广义积分：

解：由于对都成立及，在上

收敛。考察含参量反常积分（*）：

由于对一切成立及收敛，根据M判别法，上述含参量积分（*）在上一致收敛。则

于是有，即

又，从而。

五、设，令。证明数列收敛并求其极限。

证明：由及可知。

则，从而

故单调递减且有下界，从而数列收敛。

设，则，解得。即

六、设广义积分收敛，证明广义积分也收敛。

证明：

由于收敛，在上单调且。

由阿贝尔判别法可知收敛。

七、设在区间上二阶连续可微，且。证明函数项级数绝对收敛。

证明：由在区间上二阶连续可微且可知

则，使在上成立。

而在区间上二阶连续可微，，使得

取，则当时，，此时

由收敛可知绝对收敛。

而只含有限项，故绝对收敛。

八、设函数项级数在有界闭区间上逐点收敛，其中在区间上可导，并且存在正常数使得。证明函数项级数在区间上一致收敛。

证明：由于，对任意正整数，

对，是的一个开覆盖，则可从中选取有限个开区间（）。

因为函数项级数在有界闭区间上逐点收敛，则对上述，对，分别存在，当时，对任意正整数，。

取，则当时，对任意正整数，。

对任意的，必存在上述，使得，即。对上述，当时，对任意正整数及，（介于与之间）使得

故函数项级数在区间上一致收敛。

九、设二元函数在区域上二阶连续可微并且满足：

定义函数，证明在上单调递减。

证明：，其中

而，因此

故在上单调递减。

注：偏微分方程中的能量法

十、08年最后一题