导数的切线方程和图像知识点与习题

1. 导数（导函数的简称）的定义：设是函数定义域的一点，如果自变量在处有增量，则函数值也引起相应的增量；比值称为函数在点到之间的平均变化率；如果极限存在，则称函数在点处可导，并把这个极限叫做在处的导数，记作或，即=.

注：①是增量，我们也称为“改变量”，因为可正，可负，但不为零.

②以知函数定义域为，的定义域为，则与关系为.

2. 函数在点处连续与点处可导的关系：

⑴函数在点处连续是在点处可导的必要不充分条件.

可以证明，如果在点处可导，那么点处连续.

事实上，令，则相当于.

于是

⑵如果点处连续，那么在点处可导，是不成立的.

例：在点处连续，但在点处不可导，因为，当＞0时，；当＜0时，，故不存在.

注：①可导的奇函数函数其导函数为偶函数.②可导的偶函数函数其导函数为奇函数.

3. 导数的几何意义：

函数在点处的导数的几何意义就是曲线在点处的切线的斜率，也就是说，曲线在点P处的切线的斜率是，切线方程为

4. 求导数的四则运算法则：

（为常数）

注：①必须是可导函数.

②若两个函数可导，则它们和、差、积、商必可导；若两个函数均不可导，则它们的和、差、积、商不一定不可导.

例如：设，，则在处均不可导，但它们和在处均可导.

5. 复合函数的求导法则：或

复合函数的求导法则可推广到多个中间变量的情形.

6. 函数单调性：

⑴函数单调性的判定方法：设函数在某个区间内可导，如果＞0，则为增函数；如果＜0，则为减函数.

⑵常数的判定方法；

如果函数在区间内恒有=0，则为常数.

注：①是f（x）递增的充分条件，但不是必要条件，如在上并不是都有，有一个点例外即x=0时f（x） = 0，同样是f（x）递减的充分非必要条件.

②一般地，如果f（x）在某区间内有限个点处为零，在其余各点均为正（或负），那么f（x）在该区间上仍旧是单调增加（或单调减少）的.

7. 极值的判别方法：（极值是在附近所有的点，都有＜，则是函数的极大值，极小值同理）

当函数在点处连续时，

①如果在附近的左侧＞0，右侧＜0，那么是极大值；

②如果在附近的左侧＜0，右侧＞0，那么是极小值.

也就是说是极值点的充分条件是点两侧导数异号，而不是=0①. 此外，函数不可导的点也可能是函数的极值点②. 当然，极值是一个局部概念，极值点的大小关系是不确定的，即有可能极大值比极小值小（函数在某一点附近的点不同）.

注①： 若点是可导函数的极值点，则=0. 但反过来不一定成立. 对于可导函数，其一点是极值点的必要条件是若函数在该点可导，则导数值为零.

例如：函数，使=0，但不是极值点.

②例如：函数，在点处不可导，但点是函数的极小值点.

8. 极值与最值的区别：极值是在局部对函数值进行比较，最值是在整体区间上对函数值进行比较.注：函数的极值点一定有意义.

9. 几种常见的函数导数：

I.（为常数）                      

（）                   

II.                             

III. 求导的常见方法：

①常用结论：.②形如或两边同取自然对数，可转化求代数和形式.

③无理函数或形如这类函数，如取自然对数之后可变形为，对两边求导可得.

用导数求切线方程的四种类型

求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出切点及斜率，其求法为：设是曲线上的一点，则以的切点的切线方程为：．若曲线在点的切线平行于轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为．

下面例析四种常见的类型及解法．

类型一：已知切点，求曲线的切线方程

此类题较为简单，只须求出曲线的导数，并代入点斜式方程即可．

例1　曲线在点处的切线方程为（　　）

Ａ．    Ｂ．  Ｃ．    Ｄ． 

类型二：已知斜率，求曲线的切线方程

此类题可利用斜率求出切点，再用点斜式方程加以解决．

例2　与直线的平行的抛物线的切线方程是（　　）

Ａ．    Ｂ．  Ｃ．    Ｄ． 

类型三：已知过曲线上一点，求切线方程

过曲线上一点的切线，该点未必是切点，故应先设切点，再求切点，即用待定切点法．

例3  求过曲线上的点的切线方程．

类型四：已知过曲线外一点，求切线方程

此类题可先设切点，再求切点，即用待定切点法来求解．

例4　求过点且与曲线相切的直线方程．

例5　已知函数，过点作曲线的切线，求此切线方程．

函数图象及其导函数图象

1.函数在定义域内可导，其图象如图，记的导函数为，则不等式的解集为_____________ 

2.函数的定义域为开区间，导函数在内的图象如图所示，则函数的单调增区间是_____________

3.如图为函数的图象，为函数的导函数，则不等式的解集为_____   _  

4.若函数的图象的顶点在第四象限，则其导函数的图象是（  ）

5.函数的图象过原点且它的导函数的图象是如图所示的一条直线，则图象的顶点在（  ）

A．第一象限       B．第二象限     C．第三象限    D．第四象限

6. (2007年广东佛山)设是函数的导函数,的图象如右图所示，则的图象最有可能的是（　　　）

7.设函数f(x)在定义域内可导，y=f(x)的图象如下左图所示，则导函数y=f  (x)的图象可能为(　)

8.（安微省合肥市2010年高三第二次教学质量检测文科）函数的图像如下右图所示，则的图像可能是                                （）

9.(2010年3月广东省深圳市高三年级第一次调研考试文科)已知函数的导函数的图象如右图，则的图象可能是(    )

10.（2010年浙江省宁波市高三“十校”联考文科）如右图所示是某一容器的三视图，现向容器中匀速注水，容器中水面的高度随时间变化的可能图象是（    ）

(A)               (B)                 (C)                (D)

11.(2008广州二模文、理)已知二次函数的图象如图1所示 , 则其导函数的图象大致形状是（   ）

12.（2009湖南卷文）若函数的导函数在区间上是增函数，则函数在区间上的图象可能是                                         (    )

y

A ．                  B．                 C．                D．

13.（福建卷11）如果函数的图象如右图，那么导函数的图象可能是    (    )

14.（2008年福建卷12)已知函数y=f(x),y=g(x)的导函数的图象如下图，那么y=f(x),y=g(x)的图象可能是                                    （    ）

15.(2008珠海一模文、理)设是函数的导函数，将和的图像画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（     ）

A．                B．                    C．                    D．

16.(湖南省株洲市2008届高三第二次质检)已知函数的导函数的图像如下，则（    ）

函数有1个极大值点，1个极小值点

函数有2个极大值点，2个极小值点

函数有3个极大值点，1个极小值点

函数有1个极大值点，3个极小值点

17.(2008珠海质检理)函数的定义域为，其导函数内的图象如图所示，则函数在区间内极小值点的个数是（   ）

(A).1          (B).2              (C).3           (D).4

18.【湛江市·文】函数的图象大致是     

．　　　　　　　　．　　　　　　　　　　．　　　　　　　． 

19.【珠海·文】如图是二次函数的部分图象，则函数的零点所在的区间是  （  ） 

A.           B.       

C.             D. 

20.定义在R上的函数满足．为的导函数，已知函数的图象如右图所示.若两正数满足，则的取值范围是        （  ）

    A．        B．    C．       D． 

21.已知函数在点处取得极大值，其导函数的图象经过点，，如图所示.求：

（Ⅰ）的值；

（Ⅱ）的值.

1解：由则在点处斜率，故所求的切线方程为，即，因而选Ｂ．

2 解：设为切点，则切点的斜率为．．

由此得到切点．故切线方程为，即，故选Ｄ．

评注：此题所给的曲线是抛物线，故也可利用法加以解决，即设切线方程为，代入，得，又因为，得，故选Ｄ．

3解：设想为切点，则切线的斜率为．

切线方程为．．

又知切线过点，把它代入上述方程，得．

解得，或．

故所求切线方程为，或，即，或．

评注：可以发现直线并不以为切点，实际上是经过了点且以为切点的直线．这说明过曲线上一点的切线，该点未必是切点，解决此类问题可用待定切点法．

4解：设为切点，则切线的斜率为．

切线方程为，即．

又已知切线过点，把它代入上述方程，得．

解得，即．

评注：点实际上是曲线外的一点，但在解答过程中却无需判断它的确切位置，充分反映出待定切点法的高效性

5解：曲线方程为，点不在曲线上．

设切点为，则点的坐标满足．因，

故切线的方程为．

点在切线上，则有．

化简得，解得．

所以，切点为，切线方程为．

评注：此类题的解题思路是，先判断点A是否在曲线上，若点A在曲线上，化为类型一或类型三；若点A不在曲线上，应先设出切点并求出切点．