求函数定义域,值域等总结

1、函数的解析式表示函数与自变量之间的一种对应关系，是函数与自变量建立联系的一座桥梁，其一般形式是y＝f（x），不能把它写成f（x，y）＝0；

2、求函数解析式一般要写出定义域，但若定义域与由解析式所确定的自变量的范围一致时，可以不标出定义域；一般地，我们可以在求解函数解析式的过程中确保恒等变形；

3、求函数解析式的一般方法有：

（1）直接法：根据题给条件，合理设置变量，寻找或构造变量之间的等量关系，列出等式，解出y。

（2）待定系数法：若明确了函数的类型，可以设出其一般形式，然后代值求出参数的值；

（3）换元法：若给出了复合函数f［g（x）］的表达式，求f（x）的表达式时可以令t＝g（x），以换元法解之；

（4）构造方程组法：若给出f（x）和f（－x），或f（x）和f（1/x）的一个方程，则可以x代换－x（或1/x），构造出另一个方程，解此方程组，消去f（－x）（或f（1/x））即可求出f（x）的表达式；

（5）根据实际问题求函数解析式：设定或选取自变量与因变量后，寻找或构造它们之间的等量关系，列出等式，解出y的表达式；要注意，此时函数的定义域除了由解析式限定外，还受其实际意义限定。

（二）求函数定义域

1、函数定义域是函数自变量的取值的集合，一般要求用集合或区间来表示；

2、常见题型是由解析式求定义域，此时要认清自变量，其次要考查自变量所在位置，位置决定了自变量的范围，最后将求定义域问题化归为解不等式组的问题；

3、如前所述，实际问题中的函数定义域除了受解析式外，还受实际意义，如时间变量一般取非负数，等等；

4、对复合函数y＝f［g（x）］的定义域的求解，应先由y＝f（u）求出u的范围，即g（x）的范围，再从中解出x的范围I1；再由g（x）求出y＝g（x）的定义域I2，I1和I2的交集即为复合函数的定义域；

5、分段函数的定义域是各个区间的并集；

6、含有参数的函数的定义域的求解需要对参数进行分类讨论，若参数在不同的范围内定义域不一样，则在叙述结论时分别说明；

7、求定义域时有时需要对自变量进行分类讨论，但在叙述结论时需要对分类后求得的各个集合求并集，作为该函数的定义域；

（三）求函数的值域

1、函数的值域即为函数值的集合，一般由定义域和对应法则确定，常用集合或区间来表示；

2、在函数f：A→B中，集合B未必就是该函数的值域，若记该函数的值域为C，则C是B的子集；若C＝B，那么该函数作为映射我们称为“满射”；

3、分段函数的值域是各个区间上值域的并集；

4、对含参数的函数的值域，求解时须对参数进行分类讨论；叙述结论时要就参数的不同范围分别进行叙述；

5、若对自变量进行分类讨论求值域，应对分类后所求的值域求并集；

6、求函数值域的方法十分丰富，应注意总结；

（四）求函数的最值

1、设函数y＝f（x）定义域为A，则当x∈A时总有f（x）≤f（xo）＝M，则称当x＝xo时f（x）取最大值M；当x∈A时总有f（x）≥f（x1）＝N，则称当x＝x1时f（x）取最小值N；

2、求函数的最值问题可以化归为求函数的值域问题；

3、闭区间的连续函数必有最值。

【典型例题】

考点一：求函数解析式

1、直接法：由题给条件可以直接寻找或构造变量之间的联系。

例1. 已知函数y＝f（x）满足xy＜0，4x2－9y2＝36，求该函数解析式。

解：由4x2－9y2＝36可解得：

。

说明：这是一个分段函数，必须分区间写解析式，不可以写成的形式。

2、待定系数法：由题给条件可以明确函数的类型，从而可以设出该类型的函数的一般式，然后再求出各个参变量的值。

例2. 已知在一定条件下，某段河流的水流量y与该段河流的平均深度x成反比，又测得该段河流某段平均水深为2m时，水流量为340m3/s，试求该段河流水流量与平均深度的函数关系式。

解：设，代入x，y的值可求得反比例系数k＝780m3/s，故所求函数关系式为。

3、换元法：题目给出了与所求函数有关的复合函数表达式，可将内函数用一个变量代换。

例3. 已知，试求。

解：设，则，代入条件式可得：，t≠1。故得：。

说明：要注意转换后变量范围的变化，必须确保等价变形。

4、构造方程组法：对同时给出所求函数及与之有关的复合函数的条件式，可以据此构造出另一个方程，联立求解。

例4. （1）已知，试求；

（2）已知，试求；

解：（1）由条件式，以代x，则得，与条件式联立，消去，则得：。

（2）由条件式，以－x代x则得：，与条件式联立，消去，则得：。

说明：本题虽然没有给出定义域，但由于变形过程一直保持等价关系，故所求函数的定义域由解析式确定，不需要另外给出。

5、实际问题中的函数解析式：这是高考的一个热点题型，一般难度不大，所涉及知识点也不多，关键是合理设置变量，建立等量关系。

例5. 动点P从边长为1的正方形ABCD的顶点B出发，顺次经过C、D再到A停止。设x表示P行驶的路程，y表示PA的长，求y关于x的函数。

解：由题意知：当x∈［0，1］时：y＝x；

当x∈（1，2）时：；

当x∈（2，3）时：；

故综上所述，有

考点二：求函数定义域

1、由函数解析式求函数定义域：由于解析式中不同的位置决定了变量不同的范围，所以解题时要认真分析变量所在的位置；最后往往是通过解不等式组确定自变量的取值集合。

例6. 求的定义域。

解：由题意知：，从而解得：x>－2且x≠±4.故所求定义域为：

{x|x>－2且x≠±4}。

2、求分段函数的定义域：对各个区间求并集。

例7. 已知函数由下表给出，求其定义域

X

 1

 2

 3

 4

 5

 6

Y

 22

 3

 14

 35

 －6

 17

解：{1，2，3，4，5，6}。

3、求与复合函数有关的定义域：由外函数f（u）的定义域可以确定内函数g（x）的范围，从而解得x∈I1，又由g（x）定义域可以解得x∈I2.则I1∩I2即为该复合函数的定义域。也可先求出复合函数的表达式后再行求解。

解：

又由于x2－4x＋3>0 **

联立*、**两式可解得：

例9. 若函数f（2x）的定义域是［－1，1］，求f（log2x）的定义域。

解：由f（2x）的定义域是［－1，1］可知：2－1≤2x≤2，所以f（x）的定义域为［2－1，2］，故log2x∈［2－1，2］，解得，故定义域为。

4、求解含参数的函数的定义域：一般地，须对参数进行分类讨论，所求定义域随参数取值的不同而不同。

例10. 求函数的定义域。

解：若，则x∈R；

若，则；

若，则；

故所求函数的定义域：

当时为R，当时为，当时为。

说明：此处求定义域是对参变量a进行分类讨论，最后叙述结论时不可将分类讨论的结果写成并集的形式，必须根据a的不同取值范围分别论述。

考点三：求函数的值域与最值

求函数的值域和最值的方法十分丰富，下面通过例题来探究一些常用的方法；随着高中学习的深入，我们将学习到更多的求函数值域与最值的方法。

1、分离变量法

例11. 求函数的值域。

解：，因为，故y≠2，所以值域为{y|y≠2}。

说明：这是一个分式函数，分子、分母均含有自变量x，可通过等价变形，让变量只出现在分母中，再行求解。

2、配方法

例12. 求函数y＝2x2＋4x的值域。

解：y＝2x2＋4x＝2（x2＋2x＋1）－2＝2（x＋1）2－2≥－2，故值域为{y|y≥－2}。

说明：这是一个二次函数，可通过配方的方法来求得函数的值域。类似的，对于可以化为二次函数的函数的值域也可采用此方法求解，如y＝af2（x）＋bf（x）＋c。

3、判别式法

例13. 求函数的值域。

解：可变形为：（4y－1）x2＋（5y－2）x＋6y－3＝0，由Δ≥0可解得：。

说明：对分子分母最高次数为二次的分式函数的值域求解，可以考虑采用此法。要注意两点：第一，其定义域一般仅由函数式确定，题中条件不再另外给出；如果题中条件另外给出了定义域，那么一般情况下就不能用此法求解值域；第二，用判别式法求解函数值域的理论依据是函数的定义域为非空数集，所以将原函数变形为一个关于x的一元二次方程后，该方程的解集就是原函数的定义域，故Δ≥0。

4、单调性法

例14. 求函数，x∈［4，5］的值域。

解：由于函数为增函数，故当x＝4时，ymin＝；当x＝5时，ymax＝，所以函数的值域为。

5、换元法

例15. 求函数的值域。

解：令，则y＝－2t2＋4t＋2＝－（t－1）2＋4，t≥0，故所求值域为{y|y≤4}。

6、分段函数的值域：应为各区间段上值域的并集。

例16. 求函数的值域。

解：当x∈［1，2］时，y∈［1，2］；当x∈2，3］时，y∈4，9］；当x∈3，4］时，y∈5，7］。综上所述，y∈［1，2］∪3，9］。

［本讲所涉及的主要数学思想方法］

1、分类讨论的数学思想：对含有参变量的函数定义域、值域及最值的求解，一般情况下都要对参变量进行分类讨论，在参变量不同的取值范围内进行求解。要特别注意对结果的表述。

2、换元的思想：对复合函数定义域、值域及最值的求解，以及对某些无理函数（根号中含有自变量的函数）的处理，通常可以考虑换元，以达到化繁为简的目的。

3、方程的思想：对某些函数解析式的求解，以及某些函数值的求解，均渗透了方程的思想，主要思路是改变原来的变量之间的角色，重新确定主元，依此主元构造方程进行求解。

【模拟试题】

一. 选择题

1、函数y＝f（x）的值域是［－2，2］，则函数y＝f（x＋1）的值域是（  ）

A. ［－1，3］  B. ［－3，1］  C. ［－2，2］  D. ［－1，1］

2、已知函数f（x）＝x2－2x，则函数f（x）在区间［－2，2］上的最大值为（    ）

A. 2    B. 4  C. 6  D. 8

3、一等腰三角形的周长为20，底边长y是关于腰长x的函数，那么其解析式和定义域是（    ）

A. y＝20－2x（x≤10）     B. y＝20－2x（x<10）

C. y＝20－2x（4≤x<10）    D. y＝20－2x（54、二次函数y＝x2－4x＋4的定义域为［a，b］（aA. ［0，4］   B. ［1，4］   C. ［1，3］   D. ［3，4］

5、函数y＝f（x＋2）的定义域是［3，4］，则函数y＝f（x＋5）的定义域是（  ）

A. ［0，1］   B. ［3，4］   C. ［5，6］   D. ［6，7］

6、函数的值域是（    ）

7、（2007安徽）图中的图像所表示的函数的解析式是（    ）

二. 填空题

8、若f（x）＝（x＋a）3对任意x∈R都有f（1＋x）＝－f（1－x），则f（2）＋f（－2）＝       ；

9、若函数的值域为，则其定义域为                   ；

三. 解答题

10、求函数的定义域。

11、已知，若f（a）＝3，求a的值。

12、已知函数f（x）满足2f（x）－f（－x）＝－x2＋4x，试求f（x）的表达式。

13、某人买来120m竹篱笆，想靠墙围成一个矩形养鸡场，一边靠墙，三边用竹篱笆。设鸡场的面积为y，与墙连接一边的长为x。

（1）将y表示成x的函数；

（2）与墙连接的一边多长时，鸡场的面积最大？

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定义域：首先要明白每个基本函数的定义域。复合函数中，要考虑到是函数有意义（比如分母不为零，根号下为非负数等等）

值域：1.根据单调性

2.求反函数，看反函数的定义域

3.利用不等式（最常用的是均值，慎用，需考虑各项正负和取等条件）

4.复合函数中，利用已知函数值域求未知函数值域

5.换元法（通常是三角换元，换元时注意换与被换两者的范围一定要相同）

6.利用几何性质（比如斜率，两点间距离之类的）

能想到的就这么多，随便想的，没有顺序。

一个函数，求值域的方法会有很多，要灵活运用，寻求最优解法 

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我觉得，如果你为了复习用的话，最好自己总结，这样才记得深。对于定义域的求法，只要掌握一个原则就很够了：表达式有意义！比如根号下式子不能小于零，分母的式子不能为零等。求值域的方法在高一有很多，但到高三就很单一了：求导！（基本是万能的），若你是高一，则方法有判别式法、反函数法、单调性法、数形结合法，三角换元法等等（各种方法都有局限性，所以建议你找一本函数方面的专题资料做一下，自己品味品位，定有收获！）。求解析式的方法最好用的就是换元法，此外待定系数法也比较不错。（关键就是在换元时弄清什么是自变量就可以了）。以上就是我高三总结的方法，希望对你自己的总结起到一点提示作用。好了，开始你自己的总结吧，未来就在你的手中............

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       所谓的定义域简单来说就是 x的取值范围 写法有3种  描述法 列举法 和区间 的方法，不过比较常用的是1 和3种

    所谓的值域简单来说就是y的取值范围

    函数解析式这些必须要自己来弄明白了，因为这毕竟要自己去找感觉 不过只要清楚弄明白初中所学的 正反比例函数  一次函数 二次函数 及其取值范围就可以了

    总的来说高中这些取值范围跟初中比起来 就是书写格式严格了些 

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这个，怎么能用简单的文字说清楚呢，有很多种方法啊，但是万变不离其宗，你要记住，数学这个东西是数字，字幕和图形结合的学科，所以在解决任何数学题如果你能做到数形结合，那你也就无敌了。

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求定义域    所谓定义域就是函数在某段区间上存在，即有定义，你只要找到自变量x可以取那些使f(X)有意义的值就OK啦，比如说y=根号下x-5. 那当然X可以去所有大于等于5的数嘛，定义域就是 【5，正无穷大）啦

求值域也就是说在x指定的定义域内（若题目没指定范围，那就是所有可以取到的值，如上面举出的根号下X-5）函数值可以去到的范围，一般有 1换元法 2判别式法 3图象法（即数形结合）这三种最常用 其中1和3经常一起使用，此外还要掌握一般常见函数的图像性质  如抛物线 双曲线 V型函数（形如y=x+1/x)，

下面举例：

y=(x^2+2x+2)/(x+1)

换元法与图象法联合使用：把函数变形  y=[(x+1)^2+1]/(x+1)=x+1+1/(x+1)   令t=x+1  则y=t+1/t  变成V型函数

于是由其图像性质得  值域是（负无穷大，-2]和[2,正无穷大）

判别式法 ：把分母x+1乘到左边 再整理得到：x^2+（2-y)x+2-y=0   △=b^2-4ac≥0  解y的不等式，即值域

求函数解析式一般会给出你自变量，然后结合题目的情况，找出x与y之间的关系，即用x表示y  这种求解析式的问题一般要视情况而定  这最好多做题 慢慢体会

好 就说这么多  有不懂的欢迎探讨

要看具体情况的  有题目才能说怎么求  每种题目都不一样的

多看条件,要满足什么,多记公式