河南理工大学2010年期中考试高数试题及答案

《高等数学》试卷（A卷）

一、  单项选择题（共24分，每小题4分）

1、非零向量互相垂直, 则有 (  D  )。

（A）；     （B）  ；

（C）；       （D）  。

2、把面上的抛物线绕轴旋转一周，则其所得旋转曲面方程为（  D  ）。

  （A）； （B）； （C）； （D）。

3、设函数在点附近有定义，且，，则（  C  ）。

  （A）；  

 （B）曲面在点的法向量为；

（C）曲线在点的切向量为；

（D）曲线在点的切向量为.

4、考虑二元函数在点处的下面4条属性： 1）在点处连续；  2）在点处的两个偏导数连续； 3）在点处可微；  4）在点处的两个偏导数存在。 则下列成立的是（  A  ）。

（A）；        （B）；  

  （C）；        （D）。

5、设，，则（  B  ）。

（A）1；         （B）；      （C）；      （D）。

6、设，都是常系数微分方程的解，则（  C  ）。

（A），；        （B），；

（C），；        （D），。

答案：（1） D ；（2）D ；（3）C ；（4）A ；（5） B （6） C 。

二、填空题（共24分，每小题4分）

1、设、、为单位向量，且满足，则               。

2、设函数，则梯度=                。

3、设,则                      。

4、曲面在点处的切平面方程为                     。

5、函数在点沿方向角为，，的方向的方向导数是                 。

6、设是由锥面与平面所围成的闭区域，则三重积分=                   。

答案：（1）； （2）； （3）； 

（4）或；

     （5）  ；（6）。

三、计算下列各题（共46分）

1、（本题6分）设一平面经过原点及点，且与平面垂直，求此平面方程。

解： 设所求平面为。由于平面过原点，所以该平面可以设为

                         。                    

平面过点，所以

，

即

                         。                    

平面又与平面垂直，而其法向量为，于是

                          ，

即

由、两式可得：

                               ，

将上式代入式，得平面为

化简的平面的方程为

。

2. （本题6分）设，求,。

解  将方程变形为

                        ，                 

式两边对求偏导数，得

，

从而

。                 

式两边对求偏导数，得

，

从而

。                

式两边对求偏导数，结合式，可得

3. （本题6分）求在条件下的最值。

    解法一   令，                    

式两边对，，求偏导数，得联立的方程组

求解可得： 

故在条件下的最小值为

解法二 

函数在条件下，当时有最小值为。

4. （本题7分）计算，其中由圆周及轴所围成的右半闭区域。

解：由题意得， 

故

           。

5、（本题7分）设，求全微分。

解   方程

两边求微分，得

化简整理，有

于是

。

6、（本题7分）计算由曲面,及所围成立体的体积。

解   由及得

即                                ，

于是曲面及所围成立体在面上的投影为 

                       。

在极坐标系中，闭区域可以表示为

                       ，

于是根据二重积分的几何意义与极坐标变换，所求体积为

7、（本题7分）设有一质量为的质点作直线运动。从速度等于零的时刻起，有一个与运动方向一致、大小与时间成正比（比例系数为）的力作用于它，此外还受一与速度成正比（比例系数为）的阻力作用。求质点运动的速度与时间的函数关系。

解：设质点运动的速度为与时间的函数关系，则

于是，，

又由，得，故

四、证明题（本题6分）

1.设，证明：。

证明： 由于，

，

故

。