对算法多样化的思考与实践

提要：教育的本质在于面向全体学生和全面发展，而每个学生发展的关键是要在教与学的活动中给每个学生提供参与机会，使他们在参与中得到发展。而算法多样化正是为学生提供这样一个平台。算法多样化”是《课标》中关于计算教学改革的一个亮点。提倡并鼓励算法多样化可以矫正过去计算教学中算法的“一统化”。有利于“不同的学生学习不同的数学”，算法的多样化是不同的学生理解数学的表现，也是问题解决策略多样化的一种重要思想，它是培养学生创新意识的基础。本文简要介绍了小学低年级中提倡算法多样化的意义，以及提倡算法多样化的途径，处理好算法多样化和算法最优化的关系及我在实际教学中的困惑

关键词    算法多样化 ,    小学数学 ,     二期课改

一 、问题的提出：

新的国家数学课程标准指出：在小学数学中的计算教学，不仅要重视创设现实情境，使学生感受学习数与计算的必要性，……而且还要尊重学生的个性，鼓励算法多样化……。算法多样化是当前数学课程标准所提出的教学新理念，也成为各地修订课程标准教材的具体要求。于是这个新的教学概念一石击起千尺浪，不管是第一线的老师还是教学研究人员都对它充满着好奇。大家都开始研究起它来。但在具体的教学实践时往往会沿用以往的一题多解，为他穿上一件新课改理念的外衣，这是对算法多样化的误解。在教学中，经常可会出现这样的现象：一道计算题出来后，教师们常常要鼓励、引导学生思考采用不同的算法。有的教师会对学生说：“可以用你自己喜欢的方法计算。”于是问题就出现了，学生用的方法往往不是老师事先估计的“基本方法”(即老教材推崇的)，也不一定是教师认为比较好的方法。教师的疑问也由此产生：为什么要提倡算法多样化？如何体现算法多样化？要不要对多样的算法进行优化？算法是不是越多越好？一堂课里如何处理“体现算法多样化”与“巩固计算方法”在时间分配上的矛盾? 为了更好的落实和应用这一理念，从二期课改试行起我就对它进行探索。 我认为算法多样化其实就是算法个性化，数学学科中倡导个性化学习，鼓励学生思考，培养学生的创新意识。他不是学生个体算法的多样化，而是学生群体算法的多样化。因为一个学生通过思考想出的一种个性化的算法，许多学生就有多个不同的算法。在学习计算时，学生可以充分开动脑筋，想出不同的计算方法和计算步骤，然后习惯一种最适合自己的算法，能更好的提高学生的探究能力。

二、理论探讨

2002年数学家国际大会前，吴文俊先生曾提出中国数学有两点不足：一是创新不够。二是严密不够。“现代的数学教学改革在强调问题解决，数学过程的概念化和数学在真实生活中的应用的同时，特别强调算法过程的学习和理解。各国的数学课程改革都提倡，要求 传统的算法教学，要教学生如何设计自己的算法，学生应该会确定自己解决问题的步骤和方法。”[1]从上世纪90年代起国际数学教学界日益重视对学校教学中算法培养，世界上许多发达国家也纷纷在教材和教学的改革中做算法思维的实验。记得杨振宁博士在进入新世纪之初曾对国内数学教育界寄以希望：在新课改中，中国中小学数学若能在算法思维上有所突破，这乃是对国际数学教育的贡献。当前，由于计算器和计算机提前进入小学中年级，因此小学的计算教学正面临着重大的改革，这与前者有关，也与由于算法思维越来越得到重视有关。“在小学阶段就提供学生机会，鼓励他们主动设计，使用和讨论所开发的算法，有助于提高他们数字和运算的感觉。在这种条件下学生往往能灵活思维，并选择最适合问题解决的过程。学生往往会有各自不同的思路解决问题，并可能会选择最恰当的一种。如果再鼓励他们让别人分享其运算策略，就能发展他们的推理和交往。”[2]以上种种因素，新教材在设计教材时处处以“让孩子清楚地看到数学是丰富多彩的，用它可以探讨自己生活与经验中熟悉的，有趣的片断，因而喜欢数学，让孩子们通过接受学习和探究学习建构数学概念，在认知的同时形成数学的思想方法，并强调形成过程。对于计算，则是在理解的基础上能熟练地计算并具有推理计算能力，强调算法的过样化。”[3]

有关算法从9世纪著名数学家阿尔。花拉子密的两部著作中提到，到现在计算机普遍使用对“算法”给予新的意义，综观整个数学发展史，用一种通俗的说法算法对于某类计算或问题，只要按照适合它的算法来做，就一定能够解决。基本上所有的计算都是按照算法进行的。所谓算法就是解答相同类型的计算和问题时，总是能够使用的严密有序的固定的计算方法和步骤。作为第一线教师所面临的问题如何把这算法多样化这一理念转化为课堂教学行为。以及算法多样化的目的。只有认清这一建议背后所蕴含的教育理念，才能在教学实践中恰当、充分地发挥其应有功能，增强自觉性，提高我们的认识水平和实践新课程的能力。

（一）算法的多样化有利于促进学生的个性发展。

算法多样化是《标准》中的一个重要理念，是指尊重学生的思考，鼓励学生探索不同的方法，并不是让学生掌握多种方法。学生有着不同的知识背景和思考角度，差异是客观存在的，对同一个计算问题，由于学生的认知水平和认知风格的不同，常常会出现不同的计算方法，这正是学生具有不同个性的体现。有的学生善于从某一事物与其它事物的关系出发，构造一个算法解决问题，表现出把事物放入系统中去研究的倾向，会利用背景和相关知识,而有的学生则善于从事物本身的特点和内部关系出发构造一个算法解决问题，表现出根据问题的内在关系和特点进行研究的倾向，会分析利用对象自身的特征。许多不同的算法，展现出学生认知个性的不同，在一定程度上也预示了不一样的发展可能性。在学生思考解决的基础上，再让学生发表自己的观点，倾听同伴的解法，进行小组内交流、争论。教师鼓励学生用已有的经验大胆思维，鼓励学生动手操作，寻求解决问题的途径，课堂气氛宽松活跃。算法的多样化使学生变得聪明自信，在主动探索与合作交流中得到收获，并促进学生的个性发展。 

（二）算法多样化有利于全体学生的主动参与

当前教育的本质应该体现在面向全体学生和全面发展上，而每个学生发展的关键是要在教与学的活动中给每个学生提供参与机会，使他们在参与中得到发展。算法多样化就为学生提供了这样的参与机会。每个学生都可以从事自己力所能及的探索，优生可以做得多而深些，基础差的学生也不至于无从下手，学生通过自己的努力，设计了方案，发现的结论都是正确的。无论程度如何，都会给学生带来快乐，这种快乐感使学生心甘情愿继续去寻求更多、更好的问题，而没有无可奈何的被迫练习的感觉，这样的参与带有极大的主动性，每个学生在这样的参与中都得到更好的发展

（三）算法的多样化有利于培养学生高水平的数学思维。

算法的多样化有利于促进学生的思维发展，这种发展可以从质和量两个方面进行。量的方面主要是指学生解决问题的策略多，方法灵活。质的方面是指学生在解决问题时能有序思考。使他们思考问题想得全，不重复，不遗漏，有规律的找出全部方法或结果。这里需要老师引导学生充分利用已有的各种算法，引导学生进行反思，理清解决问题的思路。、算法的多样化为学生进行比较、反思提供了充分的素材。通过引导学生进行反思，比较其异同，有利于学生发现其中的规律，学会有序思考，使多种多样的算法不再仅仅是某些学生的突发奇想，而成为按照一定方法有序思考的必然产物，从而提高思维质量，培养高水平的数学思维。

（四）有利于学生之间的合作交流

不同的算法展示了学生不同的认知方式。在多样化计算中有的学生的算法表现出从某一问题与其他问题的关系出发进行思考的倾向,这种独特的思考问题角度对其他学生而言,都具有一定的启发性。而部分同学在其他同学的启发下得到了新的算法。展示不同的算法,让每个学生都发表自己的不同观点,倾听别人的想法,有利于学生感受解决问题策略的多样性与灵活性,从中受到启发,学会理解他人、欣赏他人。不同的算法展示了学生不同的认知个性和发展水平,是教师了解学生的重要素材。同时,也为学生互相交流、互相借鉴提供了材料、对象、教材、学具等因素一样,成为有利于儿童学习的一种外部环境,是一种重要的课程资源。

 三、实践操作：

    计算教学是数学教学的重要内容，我们上海版整套教材中适合多样化的加减法内容有一位数加一位数的进位加法，两位数减一位数的退位减法，两位数加两位数进位加法，两位数减两位数的退位减法，三位数加减三位数，造一个三位数在流程图上计算出来，减法塔的计算（根据流程图计算）。通过几年来的实践与改进，我总结了下面这种步骤创设情境，问题引入→鼓励思考，探究算法→ 合作交流算法 理解算理 →加强体验，算法优化→联系生活实际，应用拓展  下面我就结合这几年来的教学实践来说说具体做法。

（一）创设情景，激发感受

数学学习过程中，时刻需要构造算法、选择算法。在计算中包含着对算法的构造、设计、选择，对算理的理解、运用，这是一个数学实验的过程，其中包含了丰富的数学实践，它可以使学生更加深刻地理解数学的真谛计算是帮助人们人们解决问题的必不可少的工具，计算对于一般人来说都是很抽象的。因此，作为教师将抽象的计算置于于具体的情景中，引导学生从情景中提出需要计算的数学问题，让学生体会计算作为解决问题的工具的作用。当学生面对具体的情景时，首先要先想到其中的问题是什么？，要不要用计算来解决这个问题？如果这个问题要进行计算来解决它，用什么样的形式来表示解决问题的结果。是精确计算还是近似数，用什么方法才能得到它。用口算，笔算还是计算器？要是选择口算，那可以用哪些计算方法可以选择。选择哪个好的方法.一年级上册中计算的内容中，都是以口算的解决形式出现的。在教学中，我充分运用教材提供的教学资源如：小胖上车，小胖下车，乘火车，数点块；。另外我还挖掘现实生活中学生喜闻乐见的材料，创设适合学生，适合内容的学习情景如我在教学十几减几时就创设了这样一个情景：

多媒体课件播放：学校里组织“小松鼠”踢跳比赛的场景，一（6）班男生参加16人，女生9人

根据这个场景，你能提出哪些数学问题？

学生各自自由表达。男生和女生一共有多少人？男生比女生多多少人？

女生比男生少几人？

你想解决哪个问题？

生动、有趣的问题情景的创设，为学生研究问题提供了丰富的、鲜活的、现实的信息资源，学生不仅学会如何提出问题，而且感受到某些数学问题是需要通过计算（口算）才能得到解决。

（二）加强交流，注重体验 

算法多样化是学生在经过自己的思考后得到的充满个性的方法，是学生群体能力的体现，当学生把自己的算法在群体中展示时，就表现为算法多样化。算法多样化的交流过程是一个对算理理解的重要过程。因此算法多样化完全不等于学生个体的多种算法。从这个意义上来说，作为教师除了要重视师生之间的互动交流，还要重视学生间的互动交流。引导学生在充分交流理解的基础上加强体验，感悟其他人的算法的特点。在交流算法时，我对学生提出要求：⒈介绍自己算法时要简明，尽可能让同伴都能听懂 ，必要时可进行操作。⒉学会倾听，养成良好的倾听习惯。当学生介绍了自己的算法后，因鼓励学生理解他人的算法。⒊尊重别人的算法：教育学生每一种算法都是他人个人智慧的结晶，都是劳动成果。就是错的也不能嘲笑。学生生活的背景不同，思考的角度不同，因而对于同一个问题，他们可以想出不同的方法。这些方法都是学生自己的方法，有些方法并不高明，甚至有的方法并不合理，但是却是学生思考的结果。这里强调了学生的思考，教师一定要给学生思考的时间和空间，在此基础上再来进行算法多样化的交流。在让学生学会倾听是每一位教师强烈的教学意识，但老师不但要自己听懂，而且要合理的作出反应。如

如12-8，你是怎样计算的？

生A：老师，我用数小棒的方法计算的。我喜欢一根一根地去掉，这样容易些！

生B：我认为只要知道4+8=12，就能算12—8=4。

生C：10-8=2，2+2=4。这样最快，我喜欢用这种方法来计算。

生D：我是12里去掉2等于10，再从10里面去掉6等于4。

师：小朋友们真是太聪明了，想出了这么多计算12-8的办法，在计算的时候，你喜欢哪种方法就用哪种方法进行计算。谁能一次从12瓶中拿走8瓶牛奶？（强调是“一次拿走”）。

师生共同表演，从12瓶牛奶（10瓶装在有10个格子的盒子中，盒外放2瓶）拿走8瓶的情节。

经过学生的一番讨论与交流后大家发现，只要从一盒（10瓶）中取出一瓶，然后将盒子抱走（8瓶）就可以了，最简便。即10—8=2，2+2=4

所以，我想教师不能强制性地把自己认为最优的方法给予学生，教师应该在多样化的基础上，创设各种情境，引导学生逐步找到最适合自己的方法。算法是规范的，但不是单一，放手让学生进行探索多样化的算法，选择适合自己的算法，对于发展学生的思考和创造思考的能力与习惯大有裨益。这时的教师应该是一位在学生需要时及时出现的引路人，而非一个给予者。

（三）把握时机，适时优化

在体验多种方法的基础上选出最佳方法，在实际比较中悟出方法优化的必要性和在生活中的实际意义。而算法的优化是一个逐渐领悟的过程，算法多样化有利于发展学生思考和创造力，在算法多样化的基础上，还要进一步归纳、比较，对计算方法进行优化，而这一个过程同样经历了一个思考和再创造的过程。上面提到的四位学生，他们在学习了20以内的退位减法3——5课时后才逐步达到优化，才找到一种最适合自己的方法。其实，我在第一课时就有意识地进行了优化，可是这种未经学生内心深处出，未经学生自我感悟的优化并不能对学生起到作用。因此，教师不能有意识提出哪种方法最理想，要求学生用某种方法。教师良好的愿望只有经过学生的自我感悟、自我体验才能形成。而这一过程则需要一定的时间，对有的人来说可能是一节课，对有的人来说可能需要一个星期甚至于一个月。教师的作用是尽可能地创设各种情境，让学生在自我感悟的基础上尽快地优化。这种优化不是教师“灌”的，是通过学生自己尝试、探索得到的，这也是数学课程标准中所积极提倡的！在算法的优化过程中，我没有过早地把各种方法展示出来比较，让学生择优，要是这样他们会失去很多。每个学生对自己的方法比对教师引导的方法印象要深，盲目地急于让学生择优，在一定程度上会影响他们今后的思考、扼杀他们积极探索精神。应该想办法引导他们通过体验和感悟后，选择最佳的方法。在进行“两位数减两位数”退位减的教学时，我设计了这样一组练习：62－17，52－17，42－17，32－17。让学生先自己计算，再汇报结果，然后引导学生比较每道题什么没变，什么变了，它们的变化有没有规律。学生发现：减数没变，被减数与差变了；前一道题的被减数比后一道题的被减数少10，差也少10；每道题差的十位上的数都比被减数的十位上的数多1；每道题差的个位上都是5（这是因为12-7＝5）。通过引导比较，学生很快发现了两位减一位数退位减算得最快的方法就是只想：12-7＝5，差的个位上的数就是5，十位上的数比被减数的十位上的数少2。学生在教师创设的情境中，逐渐感悟了最优化的计算方法。所以，在算法的优化过程中，教师不应强制性地把自己认为最优的方法传授给学生，而应选择适当的教学策略，创设情境，引导学生在自我感悟的基础上达到优化。

四、思考与困惑

（1）在计算教学中应提倡算法多样化。算法多样化注重学生学习方式的转变，目的是关注学生在群体学习环境中对知识的主动建构。为了达到这个目的，教师就要为学生提供思考，表达自己独特见解的时空。使学生在动态的教学过程中生成好的算法，那么就能真正获得师生的差异发展。算法多样化关注教学过程。可以为学生认识，阐述，感受，体验，提供不同途径和独特的视角，让每个学生都以自己的方式来解决数学问题，把自身的经验和学科知识联系起来并转化，让课堂变成学生积极主动参与，充满生命力的场所。算法多样化打破了教师在课堂教学中的垄断权，学生的主体地位得到彰显，让生感受到平等的师生关系。同时也能让学生体会到数学知识是人们创造的结果，让学生自己同样也能创造，享受创造与成功的愉悦。基于上述的思考，我认为在数学教学中应提倡算法多样化有多方面的价值。

（2）算法并不是越多越好。在多样化的过程中，容易出现异化的倾向，认为算法越多越好，要求每一个学生尽可能用不同的方法来计算同一道题目，把算法多样化等同于一题多解。虽然我也认识到这一点，可是在实施的时候也常常会走到这一点上去。为了避免这一现象，当一部分学生说出基本算法后，我尽量不追问学生还有其他算法吗。防止学生为了迎合教师而寻求不合理的算法。而是引导学生说出更好的算法。优化后，也没有规定一定要每一个算法都掌握。而是给定一个下线和上限→每个学生掌握喜欢的方法，→大部分同学掌握一种基本的方法→部分同学掌握多种方法。

（3）必须改进评价关于学生学习的评价，我们既要关注学生对数学知识与技能的理解和掌握，又要关注他们情感与态度的形成和发展；既要关注学生数学学习的结果，同时也要关注他们在学习过程中的发展和变化。不能只停留在作业批改和考核来评价学生的学习情况的阶段。特别在期末测试时竟然出了这样一组题，用你喜欢的方法来做，每一个题至少写出两种算法，而且必须是书上介绍的，否则不得分。这样的评价手段怎能促进学生的发展.

参考文选

[1.].朱国荣.《群体多样化的实践与思考》[J]小学数学教育,2005,9：15

[2.]徐敏.《算法多样化在100以内加减法的实践与探究》. [J]中国教育资源网，2006/9/17

[3.]教学参考资料[M].上海.少年儿童出版社,2006.   

[4.] 上海市中小学课程改革委员会.《上海市中小学数学课程标准》[M].上海:上海教育出版社,2004.

[5.]皮连生.《学与教的心理学》[M].华东师范大学出版社 第3版.

[1]教学参考资料[M].上海.少年儿童出版社,2006.P8

[2]教学参考资料[M].上海.少年儿童出版社,2006.P8

[3]上海市中小学课程改革委员会.《上海市中小学数学课程标准》[M].上海:上海教育出版社,2004.