薄膜渗透率的测定

摘要

根据问题的要求，我们对题目进行恰当的分析，通过合理的假设，们建立微积分数学模型和数据拟合数学模型，求出不同关系量之间的关系。

对于问题，我们运用高等数学和高中物理和生物学的相关知识，同时也用MATLAB进行求解，得出A=0.00006985525148  B=-0.00002994067803   K=0.101170705801

关键词：数据拟合，渗透率，质量守恒

一、问题的重述

某种医用薄膜有允许一种物质的分子穿透它，从高浓度的溶液向低浓度的溶液扩散的功能，在试制时，需要测定薄膜被这种分子穿透的能力。测定方法如下：

用面积S的薄膜将容器分成体积分别为VA，VB的两部分，在两部分中分别注满该物质的两种不同浓度的溶液。此时该物质分子就会从高浓度溶液穿过薄膜向低浓度溶液中扩散。通过单位面积膜分子扩散的速度与膜两侧溶液的浓度差成正比，比例系数K表示薄膜被该物质分子穿透的能力，称为渗透率。定时测量容器中薄膜某一侧的溶液浓度值，以此确定K的值。  

VA=VB=1000cm3,S=10cm2,求容器的B部分溶液浓度          VA

的测试结果如下表（其中Cj的单位为毫克/cm3）                   

                                                         S

    VB

二、模型的假设

1、薄膜两侧的溶液始终是均匀的，即在任何的时刻膜两侧的每一处溶液的浓度都相同。

2、物质从膜的任何一侧向另一侧渗透的性能是相同的。

三、符号说明：

t: 时间

CA（t）：t时刻A侧溶液的浓度。

CB（t）：t时刻B侧溶液的浓度。

aA：A侧初始时刻的浓度

aB:：B侧初始时刻的浓度

Cj:：B侧在j时刻测得的浓度

V：体积

SK：物质质量的增加

四、问题的分析

 渗透率和浓度差是本文所要求的关系量，我们先用质量守恒建立溶质间的渗透关系，用微分方程，建立微分数学模型来求t时刻薄膜两侧的浓度，体积差。最后通过数据拟合，得出K的值。

四、模型的建立与求解

令时刻t，膜两侧溶液的浓度分别为CA（t）和CB(t), 初始时刻两侧的浓度分别为aA和aB,单位为 mg/cm3. 又设B侧在tj时刻测得的浓度为cj(j=1,2,3……n).

在A侧经△t 物质质量增加为：VACA(t+△t)-VACA(t)

从B侧渗透到A侧的物质质量为：SK(CB-CA)△t.

由质量守恒：

V(CA(t+△t)-CA(t))=SK(CB-CA)△t

两边同除VA△t  得：

dCA/dt=SK(CB-CA)/VA……（1）

在B侧，经△t 物质增加为：

VBCB(t+△t)-VBCB(t)

从A侧渗透到B侧的物质质量为：

SK(CA-CB)△t

由质量守恒定律得：

VB(CB(t+△t)-CB(t))=SK(CA-CB)△t

dCB/dt=SK(CA-CB)/VB……（2）

得到薄膜两侧溶液满足微分方程组的初值问题：

  dCA/dt=SK(CB-CA)/VA……（1）

  dCB/dt=SK(CA-CB)/VB……（2）

  CA（0）=Aa， CB(0)=aB

又能有整个容器的溶液中含有该物质的质量不变，即成立

VACA(t)+VBCB(t)=常数=VAaA+VbaB……（3）

即：CA(t)=Aa+VB*Ab/VA-VB*CB(t)/VA……（4）

将（4）式代入（2 ）式；根据积分中值定理：

dCB/dt=SK(Aa+VB*Ab/VA-VB*CB(t)/VA -CB)/VB……（5）

dCB/dt=a-bCB

CB(0)=aB

其中a= SK(Aa/VB+Ab/VA)

b=SK(1/VA+1/VB);

解得：

CB(t)=(aAVA+aBVB)/(VA+VB)+(VA(aB-aA)/(VA+VB))*e.^(-sk(1/VA+1/VB)*t

令

A=(aAVA+aBVB)/(VA+VB)=0.2

B=VA(aB-aA)/(VA+VB)=0.05

CB(t)=A+B*E.^(-SK(1/VA+1/VB)*t

将已知数据代入,通过数据拟合求参数k ：    

s=10,VA==VB=1000

A=0.00006985525148  B=-0.00002994067803   K=0.101170705801

附录：

运用MATLAB：

函数一：function f=curvefun1(x,tdata)

 f=x(1)+x(2)*exp(-0.02*x(3)*tdata)    %其中x(1)=a;x(2)=b;x(3)=k;

调用函数一：

tdata=100:100:1000;

 cdata=1e-05*[4.54,4.99,5.35,5.65,5.90,6.10,6.26,6.39,6.50,6.59];

 x0=[0.2,0.05,0.05];

 x=curvefit('curvefun1',x0,tdata,cdata);

 f=curvefun1(x,tdata);

 x,f

x =

   0.00006985525148  -0.00002994067803   0.101170705801

f =1.0e-004 *

   0.45399226319512   0.49879178593386   0.53538475333677   0.56527447495634   0.568887810267   0.60963095346149   0.62591995988254   0.63922508111045   0.65009291714129   0.656993960280