【2020年】上海市闵行区高考数学一模试卷及答案

一.填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）

1．（4分）集合P={x|0≤x＜3，x∈Z}，M={x|x2≤9}，则P∩M=　   　．

2．（4分）计算=　   　．

3．（4分）方程的根是　   　．

4．（4分）已知是纯虚数（i是虚数单位），则=　   　．

5．（4分）已知直线l的一个法向量是，则l的倾斜角的大小是　   　．

6．（4分）从4名男同学和6名女同学中选取3人参加某社团活动，选出的3人中男女同学都有的不同选法种数是　   　（用数字作答）

7．（5分）在（1+2x）5的展开式中，x2项系数为　   　（用数字作答）

8．（5分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，AB=BB1，则异面直线A1B与B1C1所成角的大小是　   　（结果用反三角函数表示）

9．（5分）已知数列{an}、{bn}满足bn=lnan，n∈N*，其中{bn}是等差数列，且，则b1+b2+…+b1009=　   　．

10．（5分）如图，向量与的夹角为120°，，，P是以O为圆心，为半径的弧上的动点，若，则λμ的最大值是　   　．

11．（5分）已知F1、F2分别是双曲线（a＞0，b＞0）的左右焦点，过F1且倾斜角为30°的直线交双曲线的右支于P，若PF2⊥F1F2，则该双曲线的渐近线方程是　   　．

12．（5分）如图，在折线ABCD中，AB=BC=CD=4，∠ABC=∠BCD=120°，E、F分别是AB、CD的中点，若折线上满足条件的点P至少有4个，则实数k的取值范围是　   　．

二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）

13．（5分）若空间中三条不同的直线l1、l2、l3，满足l1⊥l2，l2∥l3，则下列结论一定正确的是（　　）

A．l1⊥l3    B．l1∥l3

C．l1、l3既不平行也不垂直    D．l1、l3相交且垂直

14．（5分）若a＞b＞0，c＜d＜0，则一定有（　　）

A．ad＞bc    B．ad＜bc    C．ac＞bd    D．ac＜bd

15．（5分）无穷等差数列{an}的首项为a1，公差为d，前n项和为Sn（n∈N*），则“a1+d＞0”是“{Sn}为递增数列”的（　　）条件．

A．充分非必要    B．必要非充分

C．充要    D．既非充分也非必要

16．（5分）已知函数（n＜m）的值域是[﹣1，1]，有下列结论：

①当n=0时，m∈（0，2]；

②当时，；

③当时，m∈[1，2]；

④当时，m∈（n，2]；

其中结论正确的所有的序号是（　　）

A．①②    B．③④    C．②③    D．②④

三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）

17．（14分）已知函数（其中ω＞0）．

（1）若函数f（x）的最小正周期为3π，求ω的值，并求函数f（x）的单调递增区间；

（2）若ω=2，0＜α＜π，且，求α的值．

18．（14分）如图，已知AB是圆锥SO的底面直径，O是底面圆心，，AB=4，P是母线SA的中点，C是底面圆周上一点，∠AOC=60°．

（1）求圆锥的侧面积；

（2）求直线PC与底面所成的角的大小．

19．（14分）某公司举办捐步公益活动，参与者通过捐赠每天的运动步数获得公司提供的牛奶，再将牛奶捐赠给留守儿童，此活动不但为公益事业作出了较大的贡献，公司还获得了相应的广告效益，据测算，首日参与活动人数为10000人，以后每天人数比前一天都增加15%，30天后捐步人数稳定在第30天的水平，假设此项活动的启动资金为30万元，每位捐步者每天可以使公司收益0.05元（以下人数精确到1人，收益精确到1元）．

（1）求活动开始后第5天的捐步人数，及前5天公司的捐步总收益；

（2）活动开始第几天以后公司的捐步总收益可以收回启动资金并有盈余？

20．（16分）已知椭圆的右焦点是抛物线Γ：y2=2px的焦点，直线l与Γ相交于不同的两点A（x1，y1）、B（x2，y2）．

（1）求Γ的方程；

（2）若直线l经过点P（2，0），求△OAB的面积的最小值（O为坐标原点）；

（3）已知点C（1，2），直线l经过点Q（5，﹣2），D为线段AB的中点，求证：|AB|=2|CD|．

21．（18分）对于函数y=f（x）（x∈D），如果存在实数a、b（a≠0，且a=1，b=0不同时成立），使得f（x）=f（ax+b）对x∈D恒成立，则称函数f（x）为“（a，b）映像函数”．

（1）判断函数f（x）=x2﹣2是否是“（a，b）映像函数”，如果是，请求出相应的a、b的值，若不是，请说明理由；

（2）已知函数y=f（x）是定义在[0，+∞）上的“（2，1）映像函数”，且当x∈[0，1）时，f（x）=2x，求函数y=f（x）（x∈[3，7））的反函数；

（3）在（2）的条件下，试构造一个数列{an}，使得当x∈[an，an+1）（n∈N*）时，2x+1∈[an+1，an+2），并求x∈[an，an+1）（n∈N*）时，函数y=f（x）的解析式，及y=f（x）（x∈[0，+∞））的值域．

2018年上海市闵行区高考数学一模试卷

参与试题解析

一.填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）

1．（4分）集合P={x|0≤x＜3，x∈Z}，M={x|x2≤9}，则P∩M=　{0，1，2}　．

【解答】解：∵集合P={x|0≤x＜3，x∈Z}={0，1，2}，

M={x|x2≤9}={x|﹣3≤x≤3}，

∴P∩M={0，1，2}．

故答案为：{0，1，2}．

2．（4分）计算=　　．

【解答】解：===，

故答案为：．

3．（4分）方程的根是　10　．

【解答】解：∵，即1+lgx﹣3+lgx=0，

∴lgx=1，

∴x=10．

故答案为：10．

4．（4分）已知是纯虚数（i是虚数单位），则=　　．

【解答】解：∵是纯虚数，

∴，得sin且cos，

∴α为第二象限角，则cos．

∴=sinαcos+cosαsin=．

故答案为：﹣．

5．（4分）已知直线l的一个法向量是，则l的倾斜角的大小是　　．

【解答】解：设直线l的倾斜角为θ，θ∈[0，π）．

设直线的方向向量为=（x，y），则=x﹣y=0，

∴tanθ==，解得θ=．

故答案为：．

6．（4分）从4名男同学和6名女同学中选取3人参加某社团活动，选出的3人中男女同学都有的不同选法种数是　96　（用数字作答）

【解答】解：根据题意，在4名男同学和6名女同学共10名学生中任取3人，有C103=120种，

其中只有男生的选法有C43=4种，只有女生的选法有C63=20种

则选出的3人中男女同学都有的不同选法有120﹣4﹣20=96种；

故答案为：96．

7．（5分）在（1+2x）5的展开式中，x2项系数为　40　（用数字作答）

【解答】解：设求的项为Tr+1=C5r（2x）r，

今r=2，

∴T3=22C52x2=40x2．

∴x2的系数是40

8．（5分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，AB=BB1，则异面直线A1B与B1C1所成角的大小是　arccos　（结果用反三角函数表示）

【解答】解：∵在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，AB=BB1，

BC∥B1C1，

∴∠A1BC是异面直线A1B与B1C1所成角，

∵A1B===5，

A1C===，

∴cos∠A1BC===．

∴∠A1BC=arccos．

∴异面直线A1B与B1C1所成角的大小是arccos．

故答案为：arccos．

9．（5分）已知数列{an}、{bn}满足bn=lnan，n∈N*，其中{bn}是等差数列，且，则b1+b2+…+b1009=　2018　．

【解答】解：数列{an}、{bn}满足bn=lnan，n∈N*，其中{bn}是等差数列，

∴bn+1﹣bn=lnan+1﹣lnan=ln=常数t．

∴=常数et=q＞0，

因此数列{an}为等比数列．

且，

∴a1a1009=a2a1008==…．

则b1+b2+…+b1009=ln（a1a2…a1009）==lne2018=2018．

故答案为：2018．

10．（5分）如图，向量与的夹角为120°，，，P是以O为圆心，为半径的弧上的动点，若，则λμ的最大值是　　．

【解答】解：如图建立平面直角坐标系，设P（cosθ，sinθ），

，，．

∵，∴，sinθ=．

∴，

∴λμ=﹣+=+，

故答案为：

11．（5分）已知F1、F2分别是双曲线（a＞0，b＞0）的左右焦点，过F1且倾斜角为30°的直线交双曲线的右支于P，若PF2⊥F1F2，则该双曲线的渐近线方程是　y=±x　．

【解答】解：设|PF1|=m，|PF2|=n，|F1F2|=2c，

在直角△PF1F2中，∠PF1F2=30°，

可得m=2n，

则m﹣n=2a=n，即a=n，

2c=n，即c=n，

b==n，

可得双曲线的渐近线方程为y=±x，

即为y=±x，

故答案为：y=±x．

12．（5分）如图，在折线ABCD中，AB=BC=CD=4，∠ABC=∠BCD=120°，E、F分别是AB、CD的中点，若折线上满足条件的点P至少有4个，则实数k的取值范围是　（﹣，﹣2）　．

【解答】解：以BC的垂直平分线为y轴，以BC为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，

∵AB=BC=CD=4，∠ABC=∠BCD=120°，

∴B（﹣2.0），C（2，0），A（﹣4，2），D（4，2），

∵E、F分别是AB、CD的中点，

∴E（﹣3，），F（3，），

设P（x，y），﹣4≤x≤4，0≤y≤2，

∵，

∴（﹣3﹣x，﹣y）（3﹣x，﹣y）=x2+（y﹣）+9=k，

即x2+（y﹣）﹣9=k+9，

当k+9＞0时，点P的轨迹为以（0，）为圆心，以为半径的圆，

当圆与直线DC相切时，此时圆的半径r=，此时点有2个，

当圆经过点C时，此时圆的半径为r==，此时点P有4个，

∵满足条件的点P至少有4个，结合图象可得，

∴＜k+9＜7，

解得﹣＜k＜﹣2，

故实数k的取值范围为（﹣，﹣2），

故答案为：（﹣，﹣2）

二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）

13．（5分）若空间中三条不同的直线l1、l2、l3，满足l1⊥l2，l2∥l3，则下列结论一定正确的是（　　）

A．l1⊥l3    B．l1∥l3

C．l1、l3既不平行也不垂直    D．l1、l3相交且垂直

【解答】解：∵空间中三条不同的直线l1、l2、l3，满足l1⊥l2，l2∥l3，

∴l1⊥l3，

故选：A．

14．（5分）若a＞b＞0，c＜d＜0，则一定有（　　）

A．ad＞bc    B．ad＜bc    C．ac＞bd    D．ac＜bd

【解答】解：∵c＜d＜0，∴﹣c＞﹣d＞0．

又a＞b＞0，

则一定有﹣ac＞﹣bd，可得ac＜bd．

故选：D．

15．（5分）无穷等差数列{an}的首项为a1，公差为d，前n项和为Sn（n∈N*），则“a1+d＞0”是“{Sn}为递增数列”的（　　）条件．

A．充分非必要    B．必要非充分

C．充要    D．既非充分也非必要

【解答】解：等差数列{an}的首项为a1，公差为d，前n项和为Sn=na1+d，

则Sn+1=（n+1）a1+，

则Sn+1﹣Sn=（n+1）a1+﹣na1﹣d=a1+nd，

若{Sn}为递增数列，a1+nd＞0，

∵S2﹣S1=a1+d＞0，

∴a1+nd＞0不能推出a1+d＞0

但a1+d能推出a1+nd，

故a1+d＞0”是“{Sn}为递增数列必要非充分，

故选：B

16．（5分）已知函数（n＜m）的值域是[﹣1，1]，有下列结论：

①当n=0时，m∈（0，2]；

②当时，；

③当时，m∈[1，2]；

④当时，m∈（n，2]；

其中结论正确的所有的序号是（　　）

A．①②    B．③④    C．②③    D．②④

【解答】解：当x＞1时，x﹣1＞0，f（x）=22﹣x+1﹣3=23﹣x﹣3，单调递减，

当﹣1＜x＜1时，f（x）=22+x﹣1﹣3=21+x﹣3，单调递增，

∴f（x）=22﹣|x﹣1|﹣3在（﹣1，1）单调递增，在（1，+∞）单调递减，

∴当x=1时，取最大值为1，

∴绘出f（x）的图象，如图：

①当n=0时，f（x）=，

由函数图象可知：

要使f（x）的值域是[﹣1，1]，

则m∈（1，2]；故①错误；

②当时，f（x）=，

f（x）在[﹣1，]单调递增，f（x）的最大值为1，最小值为﹣1，

∴；故②正确；

③当时，m∈[1，2]；故③正确，④错误，

故选C．

三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）

17．（14分）已知函数（其中ω＞0）．

（1）若函数f（x）的最小正周期为3π，求ω的值，并求函数f（x）的单调递增区间；

（2）若ω=2，0＜α＜π，且，求α的值．

【解答】解：（1）函数=sin（ωx），

∵函数f（x）的最小正周期为3π，即T=3π=

∴ω=

那么：，

由，k∈Z，

得：

∴函数f（x）的单调递增区间为，k∈Z；

（2）函数=sin（ωx），

∵ω=2

∴f（x）=sin（2x），

，可得sin（2α）=

∵0＜α＜π，

∴≤（2α）≤

2α=或

解得：α=或α=．

18．（14分）如图，已知AB是圆锥SO的底面直径，O是底面圆心，，AB=4，P是母线SA的中点，C是底面圆周上一点，∠AOC=60°．

（1）求圆锥的侧面积；

（2）求直线PC与底面所成的角的大小．

【解答】解：（1）∵AB是圆锥SO的底面直径，O是底面圆心，，AB=4，

P是母线SA的中点，C是底面圆周上一点，∠AOC=60°．

∴r==2，l===4，

∴圆锥的侧面积S=πrl=π×2×4=8π．

（2）过点P作PE⊥圆O，交AO于E，连结CE，则E是AO中点，

∴PE=PO=，CE==，

∴∠PCE是直线PC与底面所成角，

∵PE=CE，PE⊥CE，∴，

∴直线PC与底面所成的角为．

19．（14分）某公司举办捐步公益活动，参与者通过捐赠每天的运动步数获得公司提供的牛奶，再将牛奶捐赠给留守儿童，此活动不但为公益事业作出了较大的贡献，公司还获得了相应的广告效益，据测算，首日参与活动人数为10000人，以后每天人数比前一天都增加15%，30天后捐步人数稳定在第30天的水平，假设此项活动的启动资金为30万元，每位捐步者每天可以使公司收益0.05元（以下人数精确到1人，收益精确到1元）．

（1）求活动开始后第5天的捐步人数，及前5天公司的捐步总收益；

（2）活动开始第几天以后公司的捐步总收益可以收回启动资金并有盈余？

【解答】解：（1）设第x天的捐步人数为x，则f（x）=．

∴第5天的捐步人数为f（5）=10000•（1+15%）4=17490．

由题意可知前5天的捐步人数成等比数列，其中首项为10000，公比为1.15，

∴前5天的捐步总收益为×0.05=3371；

（2）设活动第x天后公司捐步总收益可以回收并有盈余，

①若1≤x≤30，则×0.05＞300000，

解得x＞log1.1591≈32.3（舍）．

②若x＞30，则[+10000•1.1529•（x﹣30）]•0.05＞300000，

解得x＞32.87．

∴活动开始后第33天公司的捐步总收益可以收回启动资金并有盈余．

20．（16分）已知椭圆的右焦点是抛物线Γ：y2=2px的焦点，直线l与Γ相交于不同的两点A（x1，y1）、B（x2，y2）．

（1）求Γ的方程；

（2）若直线l经过点P（2，0），求△OAB的面积的最小值（O为坐标原点）；

（3）已知点C（1，2），直线l经过点Q（5，﹣2），D为线段AB的中点，求证：|AB|=2|CD|．

【解答】（1）解：由椭圆，得a2=10，b2=9，则c=1．

∴椭圆的右焦点，即抛物线Γ：y2=2px的焦点为（1，0），

则，p=2，

∴Γ的方程为y2=4x；

（2）解：设直线l：x=my+2，

联立，得y2﹣4my﹣8=0．

则y1+y2=4m，y1y2=﹣8．

∴==，

即△OAB的面积的最小值为；

（3）证明：当AB所在直线斜率存在时，设直线方程为y+2=k（x﹣5），即y=kx﹣5k﹣2．

联立，可得ky2﹣4y﹣20k﹣8=0．

，．

=．

=

==．

∵C（1，2），

∴，，

则=（x1﹣1）（x2﹣1）+（y1﹣2）（y2﹣2）=x1x2﹣（x1+x2）+1+y1y2﹣2（y1+y2）+4

=，

当AB所在直线斜率不存在时，直线方程为x=5，

联立，可得A（5，﹣），B（5，2），

，，有，

∴CA⊥CB，又D为线段AB的中点，∴|AB|=2|CD|．

21．（18分）对于函数y=f（x）（x∈D），如果存在实数a、b（a≠0，且a=1，b=0不同时成立），使得f（x）=f（ax+b）对x∈D恒成立，则称函数f（x）为“（a，b）映像函数”．

（1）判断函数f（x）=x2﹣2是否是“（a，b）映像函数”，如果是，请求出相应的a、b的值，若不是，请说明理由；

（2）已知函数y=f（x）是定义在[0，+∞）上的“（2，1）映像函数”，且当x∈[0，1）时，f（x）=2x，求函数y=f（x）（x∈[3，7））的反函数；

（3）在（2）的条件下，试构造一个数列{an}，使得当x∈[an，an+1）（n∈N*）时，2x+1∈[an+1，an+2），并求x∈[an，an+1）（n∈N*）时，函数y=f（x）的解析式，及y=f（x）（x∈[0，+∞））的值域．

【解答】解：（1）由f（x）=x2﹣2，可得f（ax+b）=（ax+b）2﹣2=a2x2+2abx+b2﹣2，

由f（x）=f（ax+b），得x2﹣2=a2x2+2abx+b2﹣2，

则，∵a≠0，且a=1，b=0不同时成立，

∴a=﹣1，b=0．

∴函数f（x）=x2﹣2是“（﹣1，0）映像函数”；

（2）∵函数y=f（x）是定义在[0，+∞）上的“（2，1）映像函数”，

∴f（x）=f（2x+1），则f（0）=f（1）=f（3），f（1）=f（3）=f（7），

∴f（0）=f（3），f（1）=f（7），

而当x∈[0，1）时，f（x）=2x，

∴x∈[3，7）时，设f（x）=2sx+t，

由，解得s=，t=﹣．

∴x∈[3，7）时，f（x）=．

令y=（3≤x＜7），得，

∴x=（1≤y＜2），

∴函数y=f（x）（x∈[3，7））的反函数为y=（1≤x＜2）；

（3）由（2）可知，构造数列{an}，满足a1=0，an+1=2an+1，

则an+1+1=2（an+1），

∴数列{an+1}是以1为首项，以2为公比的等比数列，

则，即．

当x∈[an，an+1）=[2n﹣1﹣1，2n﹣1）．

令，解得s=21﹣n，t=21﹣n﹣1．

∴x∈[an，an+1）（n∈N*）时，函数y=f（x）的解析式为f（x）=．

当x∈[0，+∞）时，函数f（x）的值域为[1，2）．