三角形中的不等式

在平面几何学生关于三角形的常见的不等定理有：

(1)三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．

(2)三角形中，大角对大边，大边对大角．

(3)两个三角形中，如果有两条边对应相等，那么这两边的夹角较大的，第三边也大；反之亦然．

(4)三角形的一个外角大于任何一个不相邻的内角．

从上述基本定理出发，很容易得到下面性质：

(1)点A、B在直线l的同侧(AB不平行于l)，则l上存在一点P使它与A、B两点距离之和最小；且存在一点Q使它与A、B两点距离之差最大．设A′为A关于l的对称点，即A′B与l的交点为P；直线AB与l的交点为Q．

(2)同底等高的三角形中，等腰三角形的周长最短．

(3)P为ΔABC内一点，则AB+AC＞PB+PC；AB+BC+CA＞PA+PB+PC．

(4)P为ΔABC边BC上的一点，且BP∶BC=λ，则AP＜λ·AC+(1-λ)AB．特别地，

事实上：过P作PQ∥AC交AB于Q，易得PQ=λ·AC；AQ=(1-λ)·AB，由ΔAPQ立得结论(自己画个图)．

熟悉掌握上述的基本不等关系和结论，有助于证明三角形中的不等式．

例1 ΔABC中，∠B=2∠C，求证：AC＜2AB．

分析如图1，延长CB至P，使PB=AB，则∠ABC=2∠P=2∠C，故AP=AC，就把AC转移到ΔAPB中，问题迎刃而解．

例2 ΔABC中，E、F各是AB、AC边上的点，且BE=CF．求证：EF＜BC．

分析如图2，连结BF，由∠BFC为ΔABF的外角，得∠BFC＞∠ABF，在ΔBEF和ΔFCB中已有两对对应边相等，由性质(3)即得结论．

例3 三角形中，证明短边上的高线大于长边上的高线．

分析如图3，分别延长高线1倍，得两个等腰三角形，且腰长相等．由性质(3)立得结论．

例4 三角形中，证明短边上的中线大于长边上的中线．

分析如图4，设ΔABC中，AB＞AC，AF、CE、BD为中线，O为重心．由ΔABF和ΔAFC得出∠AFB＞∠AFC，再在ΔOBF和ΔOCF中，由性质(3)得出OB＞OC，由重心性质，得BD＞CE．

例5 证明三角形的三中线之和小于其周长，而大于其周长的一半．

分析如图4，由性质(4)得：

AB+BD+CE＜AB+BC+CA，又在ΔBOF中：BO+OF＞BF，

同理AO+OE＞AE，CO+OD＞CD．

三式相加得：

为证明三角形中的不等式还应当掌握一些常用的解题技巧——即利用图形的变位，把有关线段或角集中在同一三角形中．

1．平移

例6 如图5，ΔABC中，AB＞AC，AM为中线．求证：∠MAC＞∠MAB．

分析：把AC平移到BD位置，只须延长AM到D，使MD=AM即可．这样就把∠MAC转移到含有∠MAB的ΔABD内．由AB＞AC=BD．命题得证．

例7 D为等腰ΔABC腰AB上的一点，在另一腰AC的延长线上取一点E，使CE=BD．求证：DE＞BC．

分析：如图6．把BC平移到DF位置：CF=BD=CE．从而∠CFE=∠CEF，

又∠DFC=∠ABC=∠ACB＞∠DEC．(三角形外角)．

进而推出，∠DFE＞∠DEF，在ΔDEF中，则有DE＞DF=BC．

2．翻折

例8 在ΔABC中AB＞AC，AD是∠A平分线，E是AD上的一点．求证：(1)BD＞DC，(2)AB-AC＞BD-DC．(3)BE＞EC，(4)AB-AC＞BE-EC．

分析：如图7，因为AD为角平分线，把ΔADC沿AD翻折，使之与ΔABD叠合．AC′=AC．这样(1)，(2)就转移在ΔBC′D中．

∵∠BC′D＞∠C′DA=∠CDA＞∠DBA．

∴BD＞C′D=CD，且BC′＞BD-C′D，即AB-AC＞BD-CD．

同理可证(3)，(4)．

3．旋转

例9 已知AB=AC，D为ΔABC内一点，∠ADC＞∠ADB．求证：BD＞CD．

分析：如图8，以A为旋转中心，把ΔABD旋转到ΔACD′位置．这样∠ADB就转移到∠AD′C位置．

且∵AD=AD′，∴∠ADD′=∠AD′D，在ΔCDD′中，

∵∠ADC＞∠ADB．

∴∠D′DC＞∠DD′C．

则BD=CD′＞CD．

命题得证．

例10 已知O为ΔABC内一点，且∠AOB=∠BOC=∠COA=120°．求证：BC+AC＞OA+OB+OC．

分析：如图9，以C为旋转中心，把ΔAOC向外旋转60°到ΔA′O′C位置．这样易证：OO′=CO，A′O′=AO，且B、O、O′、A′四点共线．又AC=A′C，故命题得证．

4．对称

例11 P为RtΔABC直角边AC上一定点．试在另两边上各求一点Q与R，使ΔPQR周长最小．

分析：如图10，设P′，P″分别为P关于AB、BC的对称点．P′P″交AB于Q，BC于R．根据性质(1)知ΔPQR为所求．

例12 已知锐角∠BAC及内部一定圆O，试在角的两边及⊙O上各求一点Q、R、P，使ΔPQR周长最小．

分析：如图11，设AO交⊙O于P，P关于AB、AC的对称点为P′、P″；P′P″分别交AB于Q，AC于R，则ΔPQR为所求．这是因为：若P为定点，则根据性质(1)知ΔPQR周长的最小值是P′P″．又P′P″=2MN．而A、M、N、P四点共圆．AP为其直径．故P′P″=2MN=2AP·sin∠BAC．因此当AP最小时P′P″最小．显然这时P应为AO与⊙O的交点．